10版全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版ⅱ）（含解析版）.doc

2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）复数（）2=（）A34iB3+4iC34iD3+4i2（5分）函数的反函数是（）Ay=e2x11（x0）By=e2x1+1（x0）Cy=e2x11（xR）Dy=e2x1+1（xR）3（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D44（5分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=（）A14B21C28D355（5分）不等式0的解集为（）Ax|x2，或x3Bx|x2，或1x3Cx|2x1，或x3Dx|2x1，或1x36（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12种B18种C36种D54种7（5分）为了得到函数y=sin（2x）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位8（5分）ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若=，=，|=1，|=2，则=（）A+B+C+D+9（5分）已知正四棱锥SABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A1BC2D310（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）A64B32C16D811（5分）与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A有且只有1个B有且只有2个C有且只有3个D有无数个12（5分）已知椭圆T：+=1（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A1BCD2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知a是第二象限的角，tan（+2）=，则tan= 14（5分）若（x）9的展开式中x3的系数是84，则a= 15（5分）已知抛物线C：y2=2px（p0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p= 16（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= 三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cosADC=，求AD18（12分）已知数列an的前n项和Sn=（n2+n）3n（）求；（）证明：+3n19（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1（）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（）设异面直线AB1与CD的夹角为45，求二面角A1AC1B1的大小20（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999（）求P；（）求电流能在M与N之间通过的概率21（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）（）求C的离心率；（）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切22（12分）设函数f（x）=1ex（）证明：当x1时，f（x）；（）设当x0时，f（x），求a的取值范围2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）复数（）2=（）A34iB3+4iC34iD3+4i【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果【解答】解：（）2=2=（12i）2=34i故选：A【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分2（5分）函数的反函数是（）Ay=e2x11（x0）By=e2x1+1（x0）Cy=e2x11（xR）Dy=e2x1+1（xR）【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数【解答】解：由原函数解得x=e 2y1+1，f1（x）=e 2x1+1，又x1，x10；ln（x1）R在反函数中xR，故选：D【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=（y）；（2）交换x=（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）3（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D4【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3故选：C【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题4（5分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=（）A14B21C28D35【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【分析】由等差数列的性质求解【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，a1+a2+a7=7a4=28故选：C【点评】本题主要考查等差数列的性质5（5分）不等式0的解集为（）Ax|x2，或x3Bx|x2，或1x3Cx|2x1，或x3Dx|2x1，或1x3【考点】73：一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】解，可转化成f（x）g（x）0，再利用根轴法进行求解【解答】解：（x3）（x+2）（x1）0利用数轴穿根法解得2x1或x3，故选：C【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题6（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12种B18种C36种D54种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，先从3个信封中选一个放1，2，有=3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6种放法，共有361=18故选：B【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列7（5分）为了得到函数y=sin（2x）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】1：常规题型【分析】先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可【解答】解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x）=sin2（x），所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x）的图象，故选：B【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移平移都是对单个的x来说的8（5分）ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若=，=，|=1，|=2，则=（）A+B+C+D+【考点】9B：向量加减混合运算菁优网版权所有【分析】由ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案【解答】解：CD为角平分线，故选：B【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD9（5分）已知正四棱锥SABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A1BC2D3【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值【解答】解：设底面边长为a，则高h=，所以体积V=a2h=，设y=12a4a6，则y=48a33a5，当y取最值时，y=48a33a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h=2，故选：C【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法是中档题10（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）A64B32C16D8【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】欲求参数a值，必须求出在点（a，）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=a处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到切线的方程，最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形的面积公式从而问题解决【解答】解：y=，k=，切线方程是y=（xa），令x=0，y=，令y=0，x=3a，三角形的面积是s=3a=18，解得a=64故选：A【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力11（5分）与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A有且只有1个B有且只有2个C有且只有3个D有无数个【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为=（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0a1作PE平面A1D，垂足为E，再作EFA1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离所以PF=；同理点P到直线AB、CC1的距离也是所以B1D上任一点与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个故选：D【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法12（5分）已知椭圆T：+=1（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A1BCD2【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），y1=3y2，设，b=t，x2+4y24t2=0，设直线AB方程为，代入中消去x，可得，解得，故选：B【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知a是第二象限的角，tan（+2）=，则tan=【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据诱导公式tan（+）=tan得到tan2，然后利用公式tan（+）=求出tan，因为为第二象限的角，判断取值即可【解答】解：由tan（+2a）=得tan2a=，又tan2a=，解得tana=或tana=2，又a是第二象限的角，所以tana=故答案为：【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力14（5分）若（x）9的展开式中x3的系数是84，则a=1【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得【解答】解：展开式的通项为=（a）rC9rx92r令92r=3得r=3展开式中x3的系数是C93（a）3=84a3=84，a=1故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法15（5分）已知抛物线C：y2=2px（p0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=2【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（62p）x+3=0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p【解答】解：设直线AB：，代入y2=2px得3x2+（62p）x+3=0，又，即M为A、B的中点，xB+（）=2，即xB=2+，得p2+4P12=0，解得p=2，p=6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质属基础题16（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=3【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得【解答】解法一：ON=3，球半径为4，小圆N的半径为，小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，NE=，ON=3，MN=3故填：3解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM=ON=3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB=2；所以NC=，ONC为直角三角形，NE为ONC斜边上的高，OC=MN=2EN=2CN=2=3故填：3【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cosADC=，求AD【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理菁优网版权所有【分析】先由cosADC=确定角ADC的范围，因为BAD=ADCB所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案【解答】解：由cosADC=0，则ADC，又由知BADC可得B，由sinB=，可得cosB=，又由cosADC=，可得sinADC=从而sinBAD=sin（ADCB）=sinADCcosBcosADCsinB=由正弦定理得，所以AD=【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化18（12分）已知数列an的前n项和Sn=（n2+n）3n（）求；（）证明：+3n【考点】6F：极限及其运算；R6：不等式的证明菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）由题意知，由此可知答案（2）由题意知，=，由此可知，当n1时，【解答】解：（1），所以=；（2）当n=1时，；当n1时，=所以，n1时，【点评】本题考查数列的极限问题，解题时要注意公式的灵活运用19（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1（）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（）设异面直线AB1与CD的夹角为45，求二面角A1AC1B1的大小【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HKAC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1KAC1，因此B1KH为二面角A1AC1B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F因为面AA1BB1为正方形，故A1BAB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DEBF，DEAB1作CGAB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点又由底面ABC面AA1B1B连接DG，则DGAB1，故DEDG，由三垂线定理，得DECD所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线（2）因为DGAB1，故CDG为异面直线AB1与CD的夹角，CDG=45设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=作B1HA1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1面AA1CC1，故B1H面AA1C1C又作HKAC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1KAC1，因此B1KH为二面角A1AC1B1的平面角B1H=，C1H=，AC1=，HK=tanB1KH=，二面角A1AC1B1的大小为arctan【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处20（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999（）求P；（）求电流能在M与N之间通过的概率【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p（）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B=A4+（1A4）A1A3+（1A4）（1A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案【解答】解：（）根据题意，记电流能通过Ti为事件Ai，i=1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）=（1p）3=10.999=0.001，计算可得，p=0.9；（）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B=A4+（1A4）A1A3+（1A4）（1A1）A2A3，则P（B）=P（A4+（1A4）A1A3+（1A4）（1A1）A2A3）=0.9+0.10.90.9+0.10.10.90.9=0.9891【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算21（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）（）求C的离心率；（）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题【分析】（）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率（）利用离心率将条件|FA|FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得【解答】解：（）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，得（b2a2）x24a2xa2b24a2=0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，由M（1，3）为BD的中点知故，即b2=3a2，故，C的离心率（）由知，C的方程为：3x2y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），故不妨设x1a，x2a，|BF|FD|=（a2x1）（2x2a）=4x1x2+2a（x1+x2）a2=5a2+4a+8又|BF|FD|=17，故5a2+4a+8=17解得a=1，或（舍去），故=6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MAx轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力22（12分）设函数f（x）=1ex（）证明：当x1时，f（x）；（）设当x0时，f（x），求a的取值范围【考点】6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）整理成ex1+x，组成新函数g（x）=exx1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）g（0）可得证（2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a分a0和a0两种情况进行讨论当a0时根据x的范围可直接得到f（x）不成立；当a0时，令h（x）=axf（x）+f（x）x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函数判断单调性并求出最值，求a的范围【解答】解：（1）当x1时，f（x）当且仅当ex1+x令g（x）=exx1，则g（x）=ex1当x0时g（x）0，g（x）在0，+）是增函数当x0时g（x）0，g（x）在（，0是减函数于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当xR时，g（x）g（0）时，即ex1+x所以当x1时，f（x）（2）由题意x0，此时f（x）0当a0时，若x，则0，f（x）不成立；当a0时，令h（x）=axf（x）+f（x）x，则f（x）当且仅当h（x）0因为f（x）=1ex，所以h（x）=af（x）+axf（x）+f（x）1=af（x）axf（x）+axf（x）（i）当0a时，由（1）知x（x+1）f（x）h（x）af（x）axf（x）+a（x+1）f（x）f（x）=（2a1）f（x）0，h（x）在0，+）是减函数，h（x）h（0）=0，即f（x）；（ii）当a时，由y=xf（x）=x1+ex，y=1ex，x0时，函数y递增；x0，函数y递减可得x=0处函数y取得最小值0，即有xf（x）h（x）=af（x）axf（x）+axf（x）af（x）axf（x）+af（x）f（x）=（2a1ax）f（x）当0x时，h（x）0，所以h（x）0，所以h（x）h（0）=0，即f（x）综上，a的取值范围是0，【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力估计以后对导数的考查力度不会减弱作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在第12页（共12页）