届高考数学一轮复习第八章立体几何课时跟踪训练直线平面垂直的判定与性质文.doc

课时跟踪训练(四十四) 直线、平面垂直的判定与性质 根底稳固一、选择题1(2022·湖北七市高三联考)设直线m与平面相交但不垂直，那么以下说法中正确的选项是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直解析对于A，在平面内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，只要m，过直线m必有并且也只有一个平面与平面垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面，C错误；对于D，与直线m平行且与平面垂直的平面有无数个，D错误应选B.答案B2(2022·浙江卷)互相垂直的平面，交于直线l，假设直线m，n满足m，n，那么()Aml Bmn Cnl Dmn解析对于选项A，l，l，m，m与l可能平行，也可能异面，应选项A不正确；对于选项B，D，m，n，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，应选项B，D不正确对于选项C，l，l.n，nl.应选C.答案C3(2022·湖南长沙模拟)，为平面，l是直线，假设l，那么“，是“l的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由，l可以推出l；反过来，假设l，l，那么根据面面垂直的判定定理，可知，.所以假设l，那么“，是“l的充要条件答案C4如图，ABC为直角三角形，其中ACB90°，M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPB>PCBPAPB<PCCPAPBPCDPAPBPC解析M为AB的中点，ACB为直角三角形，BMAMCM，又PM平面ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故PAPBPC.答案C5(2022·贵阳监测)如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC解析A中，因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC，又BC平面PBC，所以APBC，故A正确；C中，因为平面BPC平面APC，BCPC，所以BC平面APC，又AP平面APC，所以APBC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出APBC，应选B.答案B6.(2022·湖北孝感高中期中)如下图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，AC1A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出以下结论：C1M平面A1ABB1；A1BNB1；平面AMC1平面CBA1.其中正确结论的个数为()A0 B1C2 D3解析在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1B1C1平面ABB1A1.因为BCAC，所以B1C1A1C1.因为M为A1B1的中点，所以C1MA1B1.因为平面A1B1C1平面ABB1A1A1B1，所以C1M平面ABB1A1.故正确由知，C1MA1B，又因为AC1A1B，C1MAC1C1，所以A1B平面AMC1，所以A1BAM.因为M，N分别是A1B1，AB的中点，所以ANB1M是平行四边形，所以AMNB1.因为A1BAM，所以A1BNB1.故正确由知A1B平面AMC1，因为A1B平面CBA1，所以平面AMC1平面CBA1.故正确综上所述，正确结论的个数为3.应选D.答案D二、填空题7.(2022·河北石家庄调研)如图，PA平面ABC，BCAC，那么图中直角三角形的个数为_解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，那么PAB，PAC为直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形答案48如下图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，就有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC等)三、解答题9(2022·山东青岛质检)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积解(1)证明：由得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD.同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BCG.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内，作AOBC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC平面BCD，平面ABC平面BDCBC，AO平面ABC，知AO平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AOAB·sin60°，所以VDBCGVGBCDSDBC·h×BD·BC·sin120°·.10(2022·云南省高中毕业班统一检测)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，ABBC2a，AC2a，E是PA的中点(1)求证：平面BED平面PAC；(2)求点E到平面PBC的距离解(1)证明：在平行四边形ABCD中，ABBC，四边形ABCD是菱形，BDAC.PC平面ABCD，BD平面ABCD，PCBD.又PCACC，BD平面PAC，BD平面BED，平面BED平面PAC.(2)设AC交BD于点O，连接OE，如图在PCA中，易知O为AC的中点，E为PA的中点，EOPC.PC平面PBC，EO平面PBC，EO平面PBC，点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离PC平面ABCD，PC平面PBC，平面PBC平面ABCD，交线为BC.在平面ABCD内过点O作OHBC于点H，那么OH平面PBC.在RtBOC中，BC2a，OCACa，OBa.SBOCOC·OBBC·OH，OHa.点E到平面PBC的距离为a.能力提升11空间四边形ABCD中，ABCD2，ADBC3，M，N分别是对角线AC与BD的中点，那么MN与()AAC，BD之一垂直 BAC，BD不一定垂直CAC，BD都不垂直 DAC，BD都垂直解析连接BM，DM，AN，CN，在ABC和ACD中，ABCD，ADBC，ACCA，故ABCCDA.又M为AC中点，BMDM.N为BD的中点，MNBD.同理可证MNAC，应选D.答案D12如图，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，那么在三棱锥ABCD中，以下命题正确的选项是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，那么CDAB.又ADAB，CDADD，故AB平面ADC.平面ABC平面ADC.应选D.答案D13(2022·内蒙古包头一模)直线a，b，平面，且满足a，b，有以下四个命题：对任意直线c，有ca；存在直线c，使cb且c；对满足a的任意平面，有；存在平面，使b.其中正确的命题有_(填序号)解析因为a，所以a垂直于内任一直线，所以正确；由b得内存在一直线l与b平行，在内作直线ml，那么mb，ma，再将m平移得到直线c，使c即可，所以正确；由面面垂直的判定定理可得不正确；假设b，那么由b得内存在一条直线l与b平行，必有l，即有，而b的平面有无数个，所以正确答案14如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上点P到直线CC1的距离的最小值为_解析点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P，显然点P到直线CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值当PCDE时，PC的长度最小，此时PC.答案15(2022·北京海淀区零模)如下图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA，E是侧棱PA上的动点(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)如果E是PA的中点，求证：PC平面BDE；(3)不管点E在侧棱PA的任何位置，是否都有BDCE？证明你的结论解(1)因为PA平面ABCD，所以VPABCDS正方形ABCD·PA×12×，即四棱锥PABCD的体积为.(2)证明：如下图，连接AC交BD于点O，连接OE.因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点，又E是PA的中点，所以PCOE，因为PC平面BDE，OE平面BDE，所以PC平面BDE.(3)不管点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE.证明如下：因为四边形ABCD是正方形，所以BDAC，因为PA底面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDPA，又ACPAA，所以BD平面PAC.因为不管点E在侧棱PA的任何位置，都有CE平面PAC，所以不管点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE.16.(2022·全国卷 )如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90°.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)假设PAPDABDC，APD90°，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积解(1)证明：由BAPCDP90°，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，又CDPDD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如下图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，又ADABA，可得PE平面ABCD.设ABx，那么由可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDAB·AD·PEx3.由题设得x3，故x2.从而ABDCPAPD2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PA·PDPA·ABPD·DCBC2·sin60°62.延伸拓展(2022·山东青岛质检)如下图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是正三角形，点D是BC的中点，BCBB1.(1)求证：A1C平面AB1D；(2)试在棱CC1上找一点M，使得MBAB1，并说明理由解(1)证明：如下图，连接A1B交AB1于点O，连接OD.O，D分别是A1B，BC的中点，A1COD.A1C平面AB1D，OD平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)M为CC1的中点理由如下：在正三棱柱ABCA1B1C1中，BCBB1，四边形BCC1B1是正方形M为CC1的中点，D是BC的中点，B1BDBCM，BB1DCBM.又BB1DBDB1，CBMBDB1，BMB1D.ABC是正三角形，D是BC的中点，ADBC.平面ABC平面BB1C1C，平面ABC平面BB1C1CBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C.BM平面BB1C1C，ADBM.ADB1DD，BM平面AB1D.AB1平面AB1D，MBAB1.