河北省石家庄市2020学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)(1).pdf

石家庄市石家庄市 20202020 学年第二学期期末教学质量检测学年第二学期期末教学质量检测高二数学（理科）高二数学（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. .1.在复平面内，复数A. 第一象限限【答案】D【解析】【分析】化简复数，再判断对应象限.【详解】i的对应的点位于（）i 1B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象i1i11i，对应点位于第四象限.i1222故答案选 D【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.2.在建立两个变量y与x的回归模型时， 分别选择了 4 个不同的模型， 这四个模型的相关系数R2分别为 0.25、0.50、0.98、0.80，则其中拟合效果最好的模型是（）A. 模型 1【答案】C【解析】【分析】相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好，据此得到答案.【详解】四个模型的相关系数R2分别为 0.25、0.50、0.98、0.80相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好故答案选 C【点睛】本题考查了相关系数，相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好.3.某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、 二等奖、三等奖以及参与奖， 且奖品B. 模型 2C. 模型 3D. 模型 4的单价分别为：一等奖20 元、二等奖10 元、三等奖5 元、参与奖2 元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法正确的是（）A. 参与奖总费用最高的 2 倍C. 购买奖品的费用的平均数为9.25 元【答案】D【解析】【分析】B. 三等奖的总费用是二等奖总费用D. 购买奖品的费用的中位数为2 元先计算参与奖的百分比， 分别计算各个奖励的数学期望， 中位数，逐一判断每个选项得到答案.【详解】参与奖的百分比为：130%10%5%55%设人数为单位 1一等奖费用：205%1二等奖费用：1010%1三等奖费用：530%1.5参与奖费用：255%1.1购买奖品的费用的平均数为：4.6参与奖的百分比为55%，故购买奖品的费用的中位数为2 元故答案选 D【点睛】本题考查了平均值，中位数的计算，意在考查学生的应用能力.4.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10 组，每组罚球 40 个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）A. 甲的极差是 29C. 甲罚球命中率比乙高【答案】B【解析】【分析】B. 甲的中位数是 24D. 乙的众数是 21通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对； 找出甲中间的两个数， 求出这两个数的平均数即数据的中位数， 判断出D错；根据图的数据分布， 判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对【详解】由茎叶图知甲的最大值为 37，最小值为 8，所以甲的极差为 29，故A对甲中间的两个数为 22，24，所以甲的中位数为2224 23故B不对2甲的命中个数集中在 20 而乙的命中个数集中在10 和 20，所以甲的平均数大，故C对乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对故选：B【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据， 便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况 茎叶图不能直接反映总体的分布情况， 这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况5.5 人站成一列，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为（）A. 18【答案】D【解析】【分析】将甲、乙两人捆绑在一起，再利用排列公式得到答案.【详解】将甲、乙两人捆绑在一起，不同站法的种数为：42A4 A2 48B. 24C. 36D. 48故答案选 D【点睛】本题考查了排列组合中的捆绑法，属于简单题.6.有 6 名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6 号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6 号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4 号或 5 号选手得第一名；观众丁猜测：3 号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1 人猜对比赛结果，此人是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁猜对比赛结果，逐一判断得到答案.【详解】假设甲猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾假设乙猜对比赛：3 号得第一名，正确假设丙猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾假设丁猜对比赛：则观众甲和丙中有一人正确，矛盾故答案选 B【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.7.在R上可导的函数fx的图像如图所示， 则关于x的不等式x f (x) 0的解集为 （A.(,1)U (0,1)B.(-1,0)? (1, ? )C.(2,1)(1,2)D.(,2)U (2,)【答案】B【解析】【分析】分别讨论x 0,x 0,x 0三种情况，然后求并集得到答案.【详解】当x 0时：x f x0 f x0函数单调递增，根据图形知：x 1或x 1 x 1）当x 0时：不成立当x 0时：x f x0 f x0函数单调递减根据图形知：1 x11 x0综上所述：x1,01,故答案选 B【点睛】本题考查了根据图像判断函数的单调性，意在考查学生的读图能力.8.函数f (x) xcosx在点(, f ()处的切线方程为（）A.y 0B.2x y 0C.x y 0 x y 0【答案】C【解析】【分析】对函数函数fx xcosx求导，利用切线方程公式得到答案.【详解】函数fx xcosx f xcosxxsinxk f () 1f 切点为：,切线方程为：x y 0故答案选 C【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.9.由曲线y2 x，y = x2所围成图形的面积是（）A.13B.116C.2【答案】A【解析】【分析】D.D.403先计算交点，再根据定积分计算面积.2【详解】曲线y2 x，y = x，交点为：(0,0),(1,1)围成图形的面积：2313112( x x )dx (x x )1033302故答案选 A【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.10.一个盒子里有 7 只好的晶体管、5 只坏的晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回，在第一次取到好的条件下，第二次也取到好的概率（）3A.8B.722C.611D.712【答案】C【解析】【分析】第一次取到好的条件下，第二次即：6 只好的晶体管、5 只坏的晶体管中取到好的概率，计算得到答案.【详解】第一次取到好的条件下，第二次即：6 只好的晶体管、5 只坏的晶体管中取到好的概率P 611故答案选 C【点睛】本题考查了条件概率，将模型简化是解题的关键，也可以用条件概率公式计算.11.已知正三角形ABC的边长是a，若D是ABC内任意一点，那么D到三角形三边的距离之和是定值3a.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a的正四面体ABCD2中，若O是正四面体内任意一点，那么O到正四面体各面的距离之和等于（）A.3a3B.6a3C.6a9D.3a9【答案】B【解析】【分析】将正四面体体积分为 O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和，计算得到答案.【详解】棱长都等于a的正四面体ABCD：每个面面积为：S 正四面体的高为：体积为：V 132623a a a34312正四面体的体积分为 O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和V 231326a a (h1h2h3h4) h1h2h3h4a12343故答案选 B【点睛】本题考查了体积的计算， 将正四面体的体积分为 O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和是解题的关键.的1232a sina2346a312.定义域为R的可导函数y fx的导函数f x，满足fx f x，且f1 2，则不等式f (x) 2eA.1,x1的解集为（）B.,2C.,1D.2,【答案】A【解析】【分析】构造函数F(x) fxex，判断函数的单调性，计算特殊值，解得不等式值.【详解】构造函数F(x) fxex F (x) f xex f (x)ex(ex)2f x f (x)ex因为fx f x F(x)0 F(x)单调递减.f1 2 F(1)2ef (x)2fx 2ex1x F(x) F(1) x 1ee故答案选 A【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式，构造函数F(x) 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）fxex是解题的关键.113.若x2的展开式中x2的系数是_x【答案】35【解析】【分析】利用展开式的通项公式求得答案.71【详解】x2的展开式：x1rr143rTr1 C7(x2)7r( )r C7xx4取143r 2 r 4 C7 357故答案为 35【点睛】本题考查了二项式的展开式，属于简单题.14.已知随机变量服从二项分布 B4,，则P( 3) _31【答案】881【解析】【分析】直接利用二项分布公式得到答案.33【详解】随机变量服从二项分布 B4,，则P 3 C4( ) 131328381故答案为：881【点睛】本题考查了二项分布计算，属于简单题目.15.将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当x等于_时，方盒的容积最大【答案】a6【解析】【分析】先求出方盒容积的表达式，再利用导数根据单调性求最大值.【详解】方盒的容积为：V(x) (a2x) x(x 2aV (x) 4(a2x)x(a2x)2 (a2x)(a 6x)=0(x )2ax 6aaa当 x 时函数递减，当 x 0时函数递增266aV(x)maxV( )6a故答案为6的a)2【点睛】本题考查了函数的最大值的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.16.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于120o时， 费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角， 即该点所对的三角形三边的张角相等均为120o.根据以上性质，函数f (x) (x1)2 y2(x1)2 y2x2(y2)2的最小值为_【答案】23【解析】【分析】函数fxx12 y2x12（x,y） 到点 C （1， y2x2y2表示的是点20）的距离与到点 B（-1，0） ，到 A（0，2）的距离之和，连接这三个点构成了三角形ABC，由角 DOB 为600，角DOC 为600，OD=和即可.【详解】根据题意画出图像并建系，D 为坐标原点213，OC=，OA=2-，距离之和为：2OC+OA，求333函数fxx12 y2x12（x,y） 到点 C （1， y2x2y2表示的是点20）的距离与到点B（-1，0） ，到A（0，2）的距离之和，设三角形这个等腰三角形的费马点在高线 AD 上，设为 O 点即费马点，连接 OB，OC，则角 DOB 为600，角 DOC 为600，B（-1，0） C （1， 0） ， A （0， 2） ， OD=21143， OC=， OA=2-， 距离之和为： 2OC+OA=2-+=2+3.33333故答案为：23.【点睛】这个题目考查了点点距的公式， 以及解三角形的应用， 解三角形的范围问题常见两类， 一类是根据基本不等式求范围， 注意相等条件的判断； 另一类是根据边或角的范围计算，解题时要注意题干信息给出的限制条件. .三、解答题：共三、解答题：共7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. .17.已知函数f (x) 13121x x 2x.322（1）求函数fx的单调区间；（2）当x2,4时，求函数fx的最大值.【答案】 （1）fx的单调增区间为,1，2,；单调减区间为1,2（2）fxmax【解析】【分析】296（1）函数fx求导数，分别求导数大于零小于零的范围，得到单调区间.（2）根据（1）中的单调区间得到最大值.【详解】解： （1）f x x x22当f x 0时，x 1，或x 2；当f x 0时，1 x 2fx的单调增区间为,1，2,；单调减区间为1,2（2）分析可知fx的递增区间是2,1，2,4，递减区间是1,2，当x 1时，f1229；当x 4时，f436由于f4 f1，所以当x 4时，fxmax296【点睛】本题考查了函数的单调区间，最大值，意在考查学生的计算能力.18.某大学“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：男女合计（1）能否在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为“修统计专业与性别有关系”？（2）用分层抽样方法在上述80 名女生中按照“非统计专业”与“统计专业”随机抽取10名， 再从抽到的这 10 名女生中抽取 2 人， 记抽到“统计专业”的人数为， 求随机变量的分布列和数学期望.非统计专业8432116统计专业364884合计12080200n(ad bc)2参考公式：k ，其中n abcd；(ab)(cd)(ac)(bd)2临界值表：P(K2 k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1） 能在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为“修统计专业与性别有关系” 详见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据公式计算K2，与临界值表作比较得到答案.（2）根据分层抽样计算“非统计专业”与“统计专业”人数，计算各种情况的概率，列出分布列，求数学期望.【详解】解： （1）根据表中数据，计算K 22008448363211684120802360017.734 7.879，203因PK2 7.879 0.005所以能在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为“修统计专业与性别有关系”（2）用分层抽样方法在上述80 名女生中按照“非统计专业”与“统计专业”随机抽取10名，那么抽到“非统计专业”4 名，抽到“统计专业”6 名201102C4C6C4C68C4C21P 02，P12，P 226C1015C1015C103所以的分布列为P01221581513E 028161 2151535【点睛】本题考查了列联表，分布列，分层抽样，数学期望，属于常考题型.19.已知函数f (x) lnxax1.x（1）若fx在x 1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）当a 2时，求fx的单调区间.【答案】 （1）a 2（2）函数fx在(0,1)上递增，在(1,)上递减【解析】【分析】（1）求导数，将x 1代入导函数，值为 0，解得a.（2）当a 2时，代入函数求导，根据导数的正负确定函数单调性.【详解】解： （1）函数y fx的定义域为0,11ax2 x1又f xa2(x 0)，2xxx依题有f 1 0，解得a 2112x2 x1（2） 当a 2时，f x22(x 0)，2xxx1令f x 0，解得x 1，x （舍）2当x0,1时，f x 0，fx递增，x1,时，f x 0，fx递减；所以函数fx在0,1上递增，在1,上递减【点睛】本题考查了函数的切线，函数的单调性，意在考查学生的计算能力.20.全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平.某市的体育部门对某小区的4000 人进行了“运动参与度”统计评分 （满分 100 分） ，得到了如下的频率分布直方图：（1）求这 4000 人的“运动参与度”的平均得分x（同一组中数据用该组区间中点作代表） ；（2）由直方图可认为这4000 人的“运动参与度”的得分z服从正态分布N,2，其中， 2分别取平均得分x和方差s2， 那么选取的 4000 人中“运动参与度”得分超过84.81分（含 84.81 分）的人数估计有多少人？（3）如果用这 4000 人得分情况来估计全市所有人的得分情况，现从全市随机抽取4 人，记“运动参与度”的得分不超过84.81 分的人数为，求P( 3).（精确到 0.001）附：s2 204.75，204.75 14.31；z NP( z ) 0.6826，P(2 z 2) 0.9544； 0.84134 0.501.【答案】 （1）平均成绩x为 70.5 分（2）634人（3）0.499【解析】【分析】（1）先计算中间值和对应概率，相乘再相加得到答案.（2）先计算z服从正态分布N,P( z ) P(56.19 z 84.81) 0.6826得到答案.（3）先计算概率10.15870.8413，再利用二项分布公式得到答案.【详解】 （1）由题意知：中间值4555的,，则22 N70.5,14.31，根据公式265758595概率0.10.150.20.30.150.1x 450.1550.15650.2750.3850.15950.1 70.5，这 4000 人“运动参与度”得分的平均成绩x为 70.5 分（2） 依题意z服从正态分布N,z服从正态分布N,2， 其中 x 70.5，22 D 204.75，14.31，2 N70.5,14.31，而P( z ) P(56.19 z 84.81) 0.6826，Pz 84.8110.6826 0.15872这 4000 人中“运动参与度”得分超过84.81 分的人数估计为0.15874000634.8人634人（3）全市所有人的“运动参与度”得分不超过84.81 分的概率10.15870.8413而 B4,0.8413，P31P 41C40.8413 10.5010.49944【点睛】本题考查了平均值，正态分布，二项分布，概率.综合性较强，意在考查学生解决问题的能力.21.已知函数f (x) axln x x 2(aR ).（1）当a 1时，求函数fx在点(1, f (1)处的切线方程；（2）若函数fx有两个不同极值点，求实数a的取值范围；（3）当a 0时，求证：对任意x1,)，f (x) x (a2)x1恒成立.【答案】 （1）3x y 0（2）,2（3）见解析【解析】【分析】（1）当a 1时,求导数，将切点横坐标带入导数得到斜率，再计算切线方程.22（2）求导，取导数0，参数分离得到1lnx1x 0，设右边为新函数，求出其单调a2x性，求得取值范围得到答案.（3）将导函数代入不等式，化简得到alnx x2ax a 1 0，设左边为新函数，根据单调性得到函数最值，得到证明.【详解】 （1）当a 1时，fx xlnx x 2 x0,2f xlnx2x1f 13，又f1 3y33x1，即3x y 0函 数fx在点1, f1处的切线方程为3x y 0（2）由题意知，函数fx的定义域为0,，f x alnx2xa，令f x 0，可得alnx2xa 0，当a 0时，方程alnx2xa 0仅有一解，a 0，1lnx1x 0a2x1lnx令gxx 02x则由题可知直线y gx1与函数y gx的图像有两个不同的交点a2lnx4x2当x0,1时，gx 0，gx为单调递减函数；当x1,时，gx 0，gx为单调递增函数11又g 0，g1 ，且当x时，gx02e11 0，2aa2实数a的取值范围为,2（3）f x alnx2xa2要证对任意x1,，f x x +a2x1恒成立即证alnx2xa x +a2x1成立2即证alnx x2ax a 1 0成立设hx alnxx axa1x 12hxa2xax 1xa 0时，易知hx在1,上为减函数hx h1 2 0hx在1,上为减函数hx h1 2 0alnx x2ax a 1 0成立2即对任意x1,，f x x +a2x1恒成立【点睛】本题考查了函数的导数， 切线方程，极值点，参数分离法，恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力.（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分一题记分. .x 2cos22.在平面直角坐标系中，曲线C :（是参数）.以坐标原点O为极点，x轴y 3sin的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程：cos（1）写出曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设P1,，直线l与曲线C交于A、B两点，求| PA| PB |的值.3 2 0.4412x2y2【答案】 （1） 曲线C的普通方程是直线l的直角坐标方程为2x 2y 3 0（2）1，43167【解析】【分析】（1）直接利用参数方程公式得到曲线方程，三角函数展开代入公式得到答案.（2）写出直线的参数方程，代入曲线方程，利用韦达定理得到答案.x2y2【详解】解： （1）曲线C的普通方程是1，43直线l的直角坐标方程为2x 2y 3 0（2）直线l经过点P1,，且倾斜角是4512x 1直线l的参数方程是y 122t2（t是参数）2t2设A，B对应的参数分别为t1，t2x2y2将直线l的参数方程代入1，整理得7t2 2 2t 16 0，432 2t t 127t t 161 27由参数t的几何意义可知：PA PB t1t2167【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，利用直线参数方程和韦达定理简化了运算.23.已知f (x) | x1| | x1|，不等式fx 4的解集为M.（1）求M；（2）当a,bM时，证明：2|ab|4ab|.【答案】 （I） M(2，2) （）见解析【解析】试题分析： （1）将函数写成分段函数，再利用f (x) 4，即可求得 M；（2）利用作差法，证明4(a 2abb ) 168aba b，即可得到结论22222x,x 1试题解析： （1）f (x) x1 x1 2x,x 1，2,1 x 1当x 1时，2x4，解得1 x2；当x 1时，2x4，解得2 x1；当1 x1时，2 4恒成立；综合以上：x|2 x 2（2）证明2 ab 4ab，只需4(a 2abb ) 168aba b，只需4a24b216 a2b2a b 4a 4b 16 (a 4)(b 4)又a (0,4),b (0,4)，a2b24a24b216 0因此结果成立.考点：不等式证明；绝对值函数222222222222