四旋翼动态特性.docx

如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流四旋翼动态特性【精品文档】第 22 页四旋翼飞行器动态特性与控制方法Randal W.BeardBrigham Young University2008.2.19日1、参考系本节介绍在不同参考系和坐标系下，飞行器空间朝向的描述方法以及坐标系之间的转化关系。使用多种坐标系是很必要的，主要基于以下原因：l 牛顿运动方程是建立在以四旋翼飞机为中心的坐标系之上。l 气动力和力矩是作用在机架上面。l 加速度计和速率陀螺仪等机载传感器测量的是相对于机身框架的信息。全球定位系统测量的是相对于惯性坐标系的位置，地面速度和航向角。l 巡航地点和飞行轨迹等这些飞行任务要求，通常是在惯性坐标系下指定的。此外，地图信息也是基于惯性坐标系的。不同参考坐标系之间转换可以通过两种基本的途径：旋转和平移。1.1节描述了旋转矩阵以及其在坐标系转换中的用法。1.2节描述了用于微型飞行器系统的具体坐标系。1.3节我们推导出了科里奥利公式，它是坐标系平移和旋转变换的基础。1.1 旋转矩阵我们先考虑一下图一所示的两个坐标系统。（注：右手坐标系下，从指定的旋转轴的负半轴向正半轴望去，右旋为顺时针旋转，左旋为逆时针旋转）向量P可以在F1和F2坐标系下分别表示为：P=px0i0+py0j0+pz0k0P=px1i1+py1j1+pz1k1令这两种描述方法相等得到：px0i0+py0j0+pz0k0=px1i1+py1j1+pz1k1两侧同时点乘i1，得到:px1=px0*i0i1+py0*j0i1+pz0*k0i1同理可得py1和pz1的表达式，写成矩阵形式：P1=px1py1pz1=i1i0i1j0i1k0j1i0j1j0j1k0k1i0k1j0k1k0px0py0pz1从图一的几何关系中我们得到：P1=R01P0 (1)其中：R01=cos()sin()0-sin()cos()0001R01表示从坐标系F0到F1的一个旋转矩阵。用类似的方法处理，坐标系围绕Y轴右旋得到：R01=cos()0-sin()010sin()0cos()坐标系围绕X轴右旋得到：R01=1000cos()sin()0-sin()cos()观察三个旋转矩阵发现，负的正弦项总是出现在只包含0和1的那一行的上面。上面方程中的矩阵R01只是具有更一般性质的旋转矩阵类中的几个例子，旋转矩阵具有以下性质：l （Rab)-1=（Rab)T=Rba（正交矩阵）l RbcRab=Racl det(Rab)=1公式（1）的推导过程表明向量p是一个常量，而且新的坐标系F1是通过将F0右旋角度获得的。下面，我们将推导出一个旋转公式，它可以把向量p围绕另一个向量n左旋大小为的角度。如下图所示：向量p围绕单位向量n左旋角度得到向量q，其中p和n的夹角为。根据几何关系得出：OQ=ON+NW+WQ向量ON的模为p向量在单位向量n方向上的投影，方向和n相同，因此：ON=(pn)n向量NW的模为NQcos=NPcos，方向与(p-ON)相同。因此可以得到：NW=(p-(pn)n)NPNPcosNW=(p-(pn)n)cos向量WQ的模为NQsin=NPsin，与p向量和n向量都垂直，并且注意到：NP=|p|sin()，因此：WQ=p×n|p|sin()NPsinWQ=-n×p*sin最终我们得到：q=1-cospnn+cosp-sin()(n×p)这就是旋转方程。下面我们举个例子：向量p围绕Z轴左旋角度得到向量q，根据旋转方程得：q=1-cospkk+cosp-sink×pq=1-cospz0001+cospx0py0pz0-sin()-py0px00q=cos-sin0sincos0001p=R01p我们注意到旋转矩阵R01可以用两种不同的方式来理解。第一种解释是：它把一个固定的向量p从参考系F0中的坐标表示转换到参考系F1中的坐标表示，F1是F0经过右旋得到的。第二种解释是：在同一参考系之下，它将向量p经过左旋得到一个新的向量q。向量右旋可以通过使用(R01)T。1.2 四旋翼参考坐标系对于四旋翼来说有几种坐标系统是我们感兴趣的。在这一节中，我们将定义并且介绍一下几种坐标系统：惯性坐标系，载体坐标系，载体-1坐标系，载体-2坐标系和机身坐标系。在这本书中，我们假设地面是平的，并且不及地球的自转：这个假设对于四旋翼来说是有效的。1.2.1 惯性坐标系Fi惯性坐标系是固定在地球上面的坐标系统，原点定义在起始位置。如下图所示：单位向量ii指向北面，ji指向东面，ki指向地心。1.2.2 载体坐标系Fv载体坐标系的原点位于四旋翼的质心，坐标轴指向与惯性坐标系的相同。也就是，单位向量iv指向北，jv指向东，kv指向地心。如下图所示：1.2.3 载体-1坐标系Fv1载体-1坐标系Fv1的原点和载体坐标系Fv是相同的，即重心。然而，如果机体没有正在翻转或俯仰，Fv1会围绕kv通过偏航角来旋转，那么iv1将指向机头，jv1将指向右翼。如下图所示：从Fv到Fv1的转化：pv1=Rvv1()pvRvv1=cos()sin()0-sin()cos()00011.2.4 载体-2坐标系Fv2载体-2坐标系的原点仍然是重心，载体-2坐标系可以通过使载体-1坐标系围绕jv1右旋俯仰角得到。如果翻滚角为零，那么iv2从机头穿出，jv2从右翼穿出，kv2从机腹穿出，如下图所示：从Fv1到Fv2的变换方程为：pv2=Rv1v2()pv1，其中：Rv1v2=cos()0-sin()010sin()0cos()1.2.5 机身坐标系Fb以iv2为旋转轴，将载体-2坐标系右旋翻滚角便得到了机身坐标系。因此，机身坐标系的原点仍然是重心，ib从机头穿出，jb从右翼穿出，kb从机腹穿出。机身坐标系如下图所示：从Fv2到Fb的变换方程为：pb=Rv2b()pv2，其中：Rv2b=1000cos()sin()0-sin()cos()最后，我们得到了从载体坐标系到机身坐标系的转换公式为：Rvb(,)=Rv2b()Rv1v2()Rvv1()=1000cos()sin()0-sin()cos()cos()0-sin()010sin()0cos()cos()sin()0-sin()cos()0001=cccs-sssc-cssss+ccsccsc+sscss-sccc1.3 科氏方程在这一节当中，我们简单推导了一下著名的科里奥利方程。（后面这一句由于没有加题注所以没有翻译）如下图所示，给定了两个参考坐标系Fi和Fb。若Fi表示惯性坐标系，Fb代表四旋翼的机身坐标系。假设向量p正在机身坐标系中移动并且机身坐标系正在相对于惯性坐标系旋转和平移。我们的目标是找到在惯性坐标系中向量p对时间的微分。我们将通过两个步骤得到近似方程。首先假设Fb没有相对于Fi旋转。将在惯性坐标系中p对时间的微分记为：ddtip，于是ddtip=ddtbp。（注：这个公式没有明白，可能涉及到了向量微分的知识。向量微分得到的结果仍然是一个向量的话，就没有疑问了）另一方面，假设p在机身坐标系中是固定的而机身坐标系相对于惯性坐标系旋转，另s为顺时旋转轴，是右旋的角度。则：p+p=1-cos-ssp+cos-p-sin(-)s×p两边同时除以t并且取小角度近似得：ptts×p取t0时的极限并且定义机身坐标系相对于惯性坐标系的角速度为b/i=s，上式变为：ddtip=b/i×p因为微分是一个线性运算，因此结合两个方面的结果得到：ddtip=ddtbp+b/i×p这就是科里奥利方程。2、运动学和动力学在这一节中我们将得到刚体的运动学和动力学表达式。尽管这些表达式对于刚体都使用，我们将使用航空学中典型的符号和坐标系。特别是，2.1节中我们定义的符号将会被用作四旋翼飞行器的状态变量。在2.2节中我们将推导运动学表达式，在2.3节中我们将推导动力学表达式。2.1 四旋翼状态变量四旋翼的状态变量是下面的12个量：pn是飞行器在惯性坐标系Fi中ii轴上的位置。pe是飞行器在惯性坐标系Fi中ji轴上的位置。H是飞行器在惯性坐标系Fi中ki轴上的位置。U是速度向量在机身坐标系Fb中ib轴上的分量。V是速度向量在机身坐标系Fb中jb轴上的分量。W是速度向量在机身坐标系Fb中kb轴上的分量。是相对于Fv2定义的翻滚角。是相对于Fv1定义的俯仰角。是相对于Fv定义的偏航角。P是在机身坐标系Fb中ib轴测得的翻滚率。q是在机身坐标系Fb中jb轴测得的俯仰率。R是在机身坐标系Fb中jb轴测得的偏航率。状态变量如图所示，位置坐标（pn,pe,h）是在惯性坐标系中给出的，正的h定义在惯性坐标系的负Z半轴上。速度（u,v,w）和角速度（p,q,r）是在机身坐标系中给出的。欧拉角（，）分别是相对于载体-2、载体-1、载体坐标系给出的。2.2 四旋翼运动学状态变量（pn,pe,h）是在惯性坐标系中给出的，而速度u，v，w是在机身坐标系中给出的，因此位置和速度之间的关系式：ddtpnpe-h=Rbvuvw=(Rvb)Tuvw=ccssc-cscsc+sscssss+cccss-sc-sscccuvw绝对角度（，）和角速率p，q，r之间的关系也很复杂，因为它们是在不同的坐标系中定义的。我们需要将角速率p，q，r和，联系起来。因为，很小，所以Rv2b=Rv1v2=Rvv1=I我们可以得到：（这个等式还没有明白。目前的理解：因为速率是一个平均值，所以可以把转动分为三个部分，只要维持终止状态不变就可以。）pqr=Rv2b00+Rv2bRv1v200+Rv2bRv1v2Rvv100=00+1000cos()sin()0-sin()cos()00+1000cos()sin()0-sin()cos()cos()0-sin()010sin()0cos()00=10-sin()0cos()sin()cos()0-sin()cos()cos()反转得到：=1sin()tan()costan()0cos()-sin()0sin()sec()cos()sec)pqr（注：MEMS陀螺仪测量得到的就是机身坐标系下的角速度，原理：2.3 刚体动力学令v为四旋翼的速度向量。牛顿定律只适用于惯性坐标系，因此牛顿牛顿定律应用到平移运动是：mdvdti=f其中m代表四旋翼的质量，f代表四旋翼受到的合力，dvdti表示在惯性坐标系中速度对时间的微分加速度。根据科里奥利方程我们可以得到：mdvdti=mdvdtb+b/i×v=fb/i是机身相对于惯性系的角速度。由于控制力是在机身坐标系中计算并施加的，角速度也是在机身坐标系中测量的，因此我们将把上式在机身坐标系中表达，令vb=(u,v,w)T，b/ib=(p,q,r)T。因此在机身坐标系中，上式可以写为：（注：dvdtb=v×b/i+f）uvw=rv-qwpw-ruqu-pv+1mfxfyfz其中fb=(fx,fy,fz)T。对于旋转运动，牛顿第二定律指出：dhbdti=mH表示角动量，m表示总力矩。应用科里奥利方程得：dhdti=dhdtb+b/i×h=m同理，上式更容易在机身坐标系求解，其中hb=Jb/ib，J下面所示的是惯性常数矩阵：J=y2+z2dm-xydm-xzdm-xydmx2+z2dm-yzdm-xzdm-yzdmx2+y2dm=-Jx-Jxy-JxzJxyJy-Jyz-Jxz-JyzJz假设四旋翼由一个质量为M半径为R的球，以及距离中心为L的四个物块构成，四旋翼的转动惯量是在这个前提下计算的。上图所示的飞行器是关于三个轴对称的，因此Jxy=Jxz=Jyz=0，这就意味着：J=Jx000Jy000Jz则J-1=1Jx0001Jy0001Jz实心球的转动惯量为J=2MR25。因此Jx=2MR25+2l2mJy=2MR25+2l2mJz=2MR25+4l2m定义mb=,T，因此动量微分方程在机身坐标系中的形式为：pqr=1Jx0001Jy0001Jz0r-q-r0pq-p0Jx000Jy000Jzpqr+=Jy-JzJxqrJz-JxJyprJx-JyJzpq+1Jx1Jy1Jz四旋翼飞行器的6自由度运动学和动力学模型可以总结如下：pnpeh=ccssc-cscsc+sscssss+cccss-scs-sc-ccuvwuvw=rv-qwpw-ruqu-pv+1mfxfyfz=1sin()tan()costan()0cos()-sin()0sin()sec()cos()sec)pqrpqr=Jy-JzJxqrJz-JxJyprJx-JyJzpq+1Jx1Jy1Jz3、力和力矩这一节的目标是分析四旋翼受到的力和力矩。因为没有空气动力升力面，我们假定气动力和力矩是可以忽略不计的。四旋翼受到的力和力矩主要取决于重力和四个螺旋桨。上图是四旋翼的顶视图。每一个电机产生一个向上的力F和力矩。前后两个电极顺时针旋转，左右两个电机逆时针旋转。作用在四旋翼上的力和力矩的定义如下：如上图所示，每一个电机产生一个向上的力和一个力矩，则四旋翼受到的合力为：F=Ff+Fr+Fb+Fl翻滚力矩是由左右电机的拉力产生的：=l(Fl-Fr)同理，俯仰力矩是由前后电机的拉力产生的：=l(Ff-Fb)根据牛顿第三定律，螺旋桨的阻力在四旋翼机身上产生了一个偏航力矩。力矩的方向和螺旋桨的旋转方向相反。因此，总的偏航力矩为：=r+l-f-b螺旋桨产生的升力和阻力与角速度的平方成正比。我们假设螺旋桨的角速度与发给电机的PWM指令的占空比成正比。因此，每个电机产生的力和阻力矩为：F*=k1*=k2*k1和k2是常数，需要通过实验方法来确定，*代表电机指令信号，*代表f，r，b和l。因此，四旋翼受到的力和力矩可以写成如下矩阵形式：F=k1k1k1k10-lk10lk1lk1-k20k2lk10-k2k2frbl=Mfrbl随后的章节推到的控制策略将指定力和力矩。实际的电机指令可以找到：frbl=M-1F需要注意的是PWM指令应该在0和1之间。除了由电机施加的力以外，四旋翼还受到了重力的作用。在载体坐标系Fv中，作用在质心的重力为：fgv=00mg然而，在方程（13）中v是在机身坐标系Fb中定义的，我们必须把重力转换到机身坐标系中：fgb=Rvb00mg=-mgsinmgcossinmgcoscos因此公式（13）变为：uvw=rv-qwpw-ruqu-pv+-gsin()gcos()sin()gcos()cos()+1m00-F4、简化模型方程（16）（19）是我们六自由度仿真器使用的运动方程。然而，由于一些原因它们并不适合做控制系统设计。第一个原因就是它们太过复杂而不能对运动得到更明显的认识。第二个原因是，位置和空间朝向是相对于固定的惯性坐标系的，而摄像机测量的位置和空间朝向是相对于照相机的坐标系的。4.1 估计模型对于四旋翼来说，我们并不能够估算它的惯性坐标和方位角。而是，我们对四旋翼关于一个地面目标的相对位置和方位角。四旋翼的相对位置可以在载体-1坐标系中测量，也就是在把载体坐标系按照方位角旋转之后。载体-1坐标系使用起来非常方便，因为x，y，z坐标仍然是相对于一个平面，但是它们是以载体为中心的量而不是惯性量。用px，py，pz表示在载体-1坐标系中解得的目标和飞机之间的相对位置向量。这样方程（16）变为：pxpypz=cos()sin()sin()cossin()0cos()-sin()-sin()sin()cos()cos()cos()uvw4.2 用于控制系统设计的模型假设和很小，那么方程（18）可以简写为：=pqr假设方程（19）中科里奥利部分qr，pr，pq很小，则可以简化为：pqr=1Jx1Jy1Jz将（21）和（22）结合起来得到：=1Jx1Jy1Jz等式（16）两边取微分，忽略Rbv得到：pnpepd=ccssc-cscsc+sscssss+cccss-sc-sscccuvw忽略等式（17）中的科里奥利部分，代入等式（24）化简得到：pnpepd=00g+-csc-ss-csc+ss-ccFm因此，简化之后的惯性模型为：pn=(-cossincos-sinsin)Fmpe=(-cossinsin+sincos)Fmpe=g-(coscos)Fm=1Jx=1Jy=1Jz方程26-31是在惯性坐标系中描述四旋翼的动态特性。这对于仿真器来说是很必要的。然而，我们将通过利用相机坐标系中目标物体的位置信息来控制四旋翼的位置、高度和指向。因此，我们不采用在惯性系中描述动态特性的方法，而是在载体-1坐标系Fv1中表示它们，Fv1等价于旋转指向角之后的惯性坐标系。将等式（20）取微分并忽略Rbv1得到：pxpypz=cos()sin()sin()cossin()0cos()-sin()-sin()sin()cos()cos()cos()uvw忽略科里奥利部分，将等式（17）代入（33）中得到：pxpypz=00g+-css-ccFm因此，载体-1坐标系中简化之后的模型为：px=-cossinFmpy=sinFmpz=g-coscosFm=1Jx=1Jy=1Jz5、传感器5.1 陀螺仪测速传感器一个微机电速率陀螺包含一个小的振动杆。当振动杆经历角度旋转时，科里奥利效应会改变震动的频率，就可以检测到旋转运动。在RateSensorAppNote.pdf中有对陀螺仪的构造机理的简要介绍。陀螺仪的输出为：ygyro=kgyro+gyro+gyroygyro单位为电压，kgyro是增益，表示角速率rad/s，gyro是一个偏置项，gyro是均值为零的白噪声。增益kgyro在传感器的具体参数表中给出。然而，由于生产制造过程中存在不确定因素，它是不准确的。偏置项gyro受温度的影响很大，在每次试飞前都应该进行校正。如果在四旋翼飞行器的x，y，z轴上各放置一个陀螺仪，那么测量到的机身坐标系三个角速率如下：ygyro,x=kgyro,xp+gyro,x+gyro,xygyro,y=kgyro,yq+gyro,y+gyro,yygyro,z=kgyro,zr+gyro,z+gyro,z微机电陀螺仪是模拟器件，需要机载的处理器来进行采样。我们假定采样率由Ts决定。Kestrel自动驾驶仪对陀螺仪的采样速率大约为120Hz。5.2 加速度计微机电加速度计包含一个连接到扭力杆的小板。这个小板会在加速度作用下旋转，进而改变了小板与周围平面的电容。加速度计的输出为：yacc=kaccA+acc+accyacc单位为电压，kacc为增益。A为加速度单位m/s。acc为偏置项，acc是均值为零的白噪声。增益kacc可以在特定传感器的数据表中找到，但是由于生产制造过程中的不确定性，增益不准确。偏置项acc受温度影响很大，每次试飞前都应该进行校正。加速度计测量的是飞行器机身坐标系中受到的力。axayaz=1mF-Fgravity=v+b/ib×v-1mFgravity写成单个形式为：ax=u+qw-rv+gsinay=v+ru-pw-gcossinaz=w+pv-qu-gcoscos根据等式（17）得：ax=0ay=0az=-Fm其中F是四个电机产生的合力。对于四旋翼来说，加速度计的输出和角度无关，认识到这一点很重要。这是相对于固定翼飞行器做匀速飞行时加速度计被用来测量重力向量，并由此转换出翻滚角和俯仰角来说的。微机电加速度计是模拟器件，需要机载的处理器来采样。我么假设采样速率是用Ts来确定的。Kestrel自动驾驶仪大约以120Hz的对加速度计进行采样。5.3 相机控制目的是使用视觉传感器识别地面目标物体，进而保持四旋翼在地面物体上方的位置。在这一节中我们将简要介绍一下怎样在载体-1坐标系中估计px和py。我们假设相机是被固定的，这样的话相机的光轴和机身坐标系的z轴是对齐的，则相机的x轴从四旋翼的右方穿出，相机的y轴从四旋翼的后面穿出。相机的模型如图14所示。参照物的位置在载体-1坐标系中的位置为px，py，pz。参照物的像素在图片中的位置为x，y。py的几何表示如图15所示。从图15中，我们可以得到：py=pztan-xMx（注：原文公式里面为My，我怀疑写错了，所以改了过来。而且这个计算方法也值得怀疑，感觉不对）是相机的视场角，My是相机y轴上的像素点的数量。