2011年上海市高考数学试卷理科答案与解析.docx

2011年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1（4分）（2011上海）函数的反函数为f1（x）=，（x0）【考点】反函数菁优网版权全部【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】干脆利用函数的表达式，解出用y表示x的式子，即可得到答案【解答】解：设，可得xy2y=1，xy=1+2y，可得，将x、y互换得原函数的值域为yy|y0，（x0）故答案为：，（x0）【点评】本题考察了求函数的反函数的一般步骤，属于简洁题2（4分）（2011上海）若全集U=R，集合A=x|x1x|x0，则UA=（0，1）【考点】补集及其运算菁优网版权全部【专题】计算题【分析】由已知条件我们易求出集合A，再依据补集的定义，易求出CUA【解答】解：集合A=x|x1x|x0=x|x1，或x0CUA=x|0x1=（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考察的学问点是补集及其运算，其中求出满意条件的集合A是解答的关键3（4分）（2011上海）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=16【考点】双曲线的简洁性质菁优网版权全部【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】依据双曲线的焦点坐标推断双曲线的焦点位置是解决本题的关键，利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系，列出关于m的方程，通过解方程求出m的值【解答】解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点，故该双曲线的焦点在y轴上，从而m0从而得出m+9=25，解得m=16故答案为：16【点评】本题考察双曲线标准方程中的分母几何意义的相识，考察双曲线焦点位置与方程的关系、考察学生对双曲线中a，b，c关系式的理解和驾驭程度，考察学生的方程思想和运算实力，属于根本题型4（4分）（2011上海）不等式的解为【考点】其他不等式的解法菁优网版权全部【专题】计算题【分析】通过移项通分，利用两个数的商小于等于0等价于它们的积小于等于0，留意分母不为0；再解二次不等式即可【解答】解：原不等式同解于同解于同解于即解得故答案为：【点评】本题考察将分式不等式转化为整式不等式、留意：分母不为0；考察二次不等式的解法5（4分）（2011上海）在极坐标系中，直线（2cos+sin）=2与直线cos=1的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【考点】简洁曲线的极坐标方程；两直线的夹角与到角问题菁优网版权全部【专题】计算题【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进展代换即得直角坐标系，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可【解答】解：（2cos+sin）=2，cos=12x+y2=0与x=12x+y2=0与x=1夹角的正切值为直线（2cos+sin）=2与直线cos=1的夹角大小为arctan故答案为：arctan【点评】本题考察点的极坐标和直角坐标的互化，能进展极坐标和直角坐标的互，属于根底题6（4分）（2011上海）在相距2千米的A、B两点处测量目的点C，若CAB=75°，CBA=60°，则A、C两点之间的间隔 为千米【考点】解三角形的实际应用菁优网版权全部【专题】解三角形【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得ACB，进而表示出AD，进而在RtABD中，表示出AB和AD的关系求得x【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，CAB=75°，CBA=60°，ACB=180°75°60°=45°AD=x在RtABD中，ABsin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的间隔 为千米故答案为：下由正弦定理求解：CAB=75°，CBA=60°，ACB=180°75°60°=45°又相距2千米的A、B两点，解得AC=答：A、C两点之间的间隔 为千米故答案为：【点评】本题主要考察理解三角形的实际应用主要是利用了三角形中45°和60°这两个特别角，建立方程求得AC7（4分）（2011上海）若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权全部【专题】计算题【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积【解答】解：依据题意，圆锥的底面面积为，则其底面半径是1，底面周长为2，又，圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××=故答案为【点评】本题是根底题，考察圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考察计算实力8（4分）（2011上海）函数的最大值为【考点】三角函数的最值菁优网版权全部【专题】计算题【分析】利用诱导公式和积化和差公式对函数解析式化简整理，进而依据正弦函数的值域求得函数的最大值【解答】解：=cosxcos（x）=sin（+2x）+故答案为：【点评】本题主要考察了三角函数的最值，利用诱导公式和积化和差公式的化简求值考察了考生对三角函数根底公式的娴熟记忆9（4分）（2011上海）马教师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表：x123P（=x）？！？请小牛同学计算的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值一样据此，小牛给出了正确答案E=2【考点】离散型随机变量的期望与方差菁优网版权全部【专题】计算题；整体思想【分析】依据已知设出P（=1）=P（=3）=a，P（=2）=b，且依据离散型随机变量分布列的性质知2a+b=1，依据离散型随机变量分布列的期望求法即可求得结果在计算过程中留意整体性【解答】解：设P（=1）=P（=3）=a，P（=2）=b，则2a+b=1，E=a+2b+3a=2（2a+b）=2，故答案为2【点评】此题是个根底题考察离散型随机变量的期望和方差，在计算过程中留意离散型随机变量分布列的性质和整体代换10（4分）（2011上海）行列式（a，b，c，d1，1，2）全部可能的值中，最大的是6【考点】二阶行列式的定义菁优网版权全部【专题】计算题【分析】先依据行列式的运算法则，干脆绽开化简得adbc，再依据条件a，b，c，d1，1，2进展分析计算，比拟可得其最大值【解答】解：，a，b，c，d1，1，2ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：1×2=2，adbc的最大值是：6故答案为：6【点评】本题考察二阶行列式的定义、行列式运算法则，是根底题11（4分）（2011上海）在正三角形ABC中，D是BC上的点若AB=3，BD=1，则=【考点】向量在几何中的应用菁优网版权全部【专题】计算题；数形结合；转化思想【分析】依据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，依据向量加法满意三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值【解答】解：AB=3，BD=1，D是BC上的三等分点，=9=，故答案为【点评】此题是个中档题考察向量的加法和数量积的运算法则和定义，表达了数形结合和转化的思想12（4分）（2011上海）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份诞生的概率为0.985（默认每个月的天数一样，结果准确到0.001）【考点】古典概型及其概率计算公式菁优网版权全部【专题】概率与统计【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事务数129，至少有2位同学在同一个月诞生的对立事务是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，依据对立事务和古典概型的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事务数129，至少有2位同学在同一个月诞生的对立事务是没有人生日在同一个月，共有A129种结果，要求的事务的概率是1=10.985，故答案为：0.985【点评】本题考察古典概型及其概率计算公式，考察对立事务的概率，是一个根底题，也是一个易错题，留意本题的运算不要出错13（4分）（2011上海）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间3，4上的值域为2，5，则f（x）在区间10，10上的值域为15，11【考点】函数的周期性；函数的值域菁优网版权全部【专题】计算题；压轴题；转化思想【分析】依据已知中g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，由函数f（x）=x+g（x）在区间3，4上的值域为2，5，结合函数的周期性，我们可以分别求出f（x）在区间10，9，9，8，9，10上的值域，进而求出f（x）在区间10，10上的值域法二：可依据g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，探讨函数f（x）=x+g（x）的性质，得f（x+1）f（x）=1，由此关系求出函数在f（x）在区间10，10上的值域即可【解答】解：法一：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）又函数f（x）=x+g（x）在3，4的值域是2，5令x+6=t，当x3，4时，t=x+69，10此时，f（t）=t+g（t）=（x+6）+g（x+6）=（x+6）+g（x）=x+g（x）+6 所以，在t9，10时，f（t）4，11（1）同理，令x13=t，在当x3，4时，t=x1310，9此时，f（t）=t+g（t）=（x13）+g（x13）=（x13）+g（x）=x+g（x）13 所以，当t10，9时，f（t）15，8（2）由（1）（2）得到，f（x）在10，10上的值域为15，11故答案为：15，11法二：由题意f（x）x=g（x） 在R上成立 故 f（x+1）（x+1）=g（x+1）所以f（x+1）f（x）=1由此知自变量增大1，函数值也增大1故f（x）在10，10上的值域为15，11故答案为：15，11【点评】本题考察的学问点是函数的周期性及函数的值域，其中依据函数的周期性利用换元法将区间10，9上的值域转化为区间3，4上的值域问题，是解答本题的关键14（4分）（2011上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满意（|OQ1|2）（|OR1|2）0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满意（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，得到P1，P2，Pn，则=【考点】数列与解析几何的综合；数列的极限菁优网版权全部【专题】综合题；压轴题【分析】由题意（|OQ1|2）（|OR1|2）0，（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，依据题意推出P1，P2，Pn，的极限为：（），然后求出【解答】解：由题意（|OQ1|2）（|OR1|2）0，所以第一次只能取P1R0一条，（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，由于P1，P2，Pn，是中点，依据题意推出P1，P2，Pn，的极限为：（），所以=|Q0P1|=，故答案为：【点评】本题是根底题，考察数列的极限，数列与解析几何的综合，极限的思想的应用，留意分析题意，Pn的规律是本题解答的关键，考察逻辑推理实力二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15（5分）（2011上海）若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa2+b22abBCD【考点】根本不等式菁优网版权全部【专题】综合题【分析】利用根本不等式需留意：各数必需是正数不等式a2+b22ab的运用条件是a，bR【解答】解：对于A；a2+b22ab所以A错对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错ab0故选：D【点评】本题考察利用根本不等式求函数的最值时，必需留意满意的条件：已知、二定、三相等16（5分）（2011上海）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+）上单调递减的函数是（）ABy=x3Cy=2|x|Dy=cosx【考点】函数奇偶性的推断；函数单调性的推断与证明菁优网版权全部【专题】函数的性质及应用【分析】依据题意，将x用x代替推断解析式的状况利用偶函数的定义推断出为偶函数；求出导函数推断出导函数的符号，推断出函数的单调性【解答】解：对于函数的定义域为xR且x0将x用x代替函数的解析式不变，所以是偶函数当x（0，+）时，在区间（0，+）上单调递减的函数故选A【点评】本题考察奇函数、偶函数的定义；考察利用导函数的符号推断函数的单调性17（5分）（2011上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（）A0B1C5D10【考点】向量的加法及其几何意义菁优网版权全部【专题】计算题；压轴题【分析】依据题意，设出M与A1，A2，A3，A4，A5的坐标，结合题意，把M的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而推断M的坐标x、y的解的组数，进而转化可得答案【解答】解：依据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若=成立，得（x1x，y1y）+（x2x，y2y）+（x3x，y3y）+（x4x，y4y）+（x5x，y5y）=，则有x=，y=；只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；故选B【点评】本题考察向量加法的运用，留意引入点的坐标，把推断点M的个数转化为求其坐标即关于x、y的方程组的解的组数，易得答案18（5分）（2011上海）设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，），则An为等比数列的充要条件是（）Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比一样【考点】等比数列的性质菁优网版权全部【专题】压轴题【分析】依据题意可表示Ai，先看必要性，An为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比一样；再看充分性，要使题设成立，须要为常数，即a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相等，答案可得【解答】解：依题意可知Ai=aiai+1，Ai+1=ai+1ai+2，若An为等比数列则=q（q为常数），则a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比均为q；反之要想An为等比数列则=需为常数，即须要a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相等；故An为等比数列的充要条件是a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比一样故选D【点评】本题主要考察了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的断定考察了学生分析问题和根本的推理实力三、解答题（共5小题，满分74分）19（12分）（2011上海）已知复数z1满意（z12）（1+i）=1i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2【考点】复数代数形式的混合运算菁优网版权全部【专题】计算题【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2【解答】解：z1=2i设z2=a+2i（aR）z1z2=（2i）（a+2i）=（2a+2）+（4a）iz1z2是实数4a=0解得a=4所以z2=4+2i【点评】本题考察复数的除法、乘法运算法则、考察复数为实数的充要条件是虚部为020（12分）（2011上海）已知函数f（x）=a2x+b3x，其中常数a，b满意ab0 （1）若ab0，推断函数f（x）的单调性；（2）若ab0，求f（x+1）f（x）时的x的取值范围【考点】指数函数单调性的应用；指数函数的单调性与特别点菁优网版权全部【专题】计算题【分析】（1）先把ab0分为a0，b0与a0，b0两种状况；然后依据指数函数的单调性即可作出推断（2）把ab0分为a0，b0与a0，b0两种状况；然后由f（x+1）f（x）化简得a2x2b3x，再依据a的正负性得或；最终由指数函数的单调性求出x的取值范围【解答】解：（1）若a0，b0，则y=a2x与y=b3x均为增函数，所以f（x）=a2x+b3x在R上为增函数；若a0，b0，则y=a2x与y=b3x均为减函数，所以f（x）=a2x+b3x在R上为减函数（2）若a0，b0，由f（x+1）f（x）得a2x+1+b3x+1a2x+b3x，化简得a2x2b3x，即，解得x；若a0，b0，由f（x+1）f（x）可得，解得x【点评】本题主要考察指数函数的单调性及分类探讨的方法21（14分）（2011上海）已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为求证：；（2）若点C到平面AB1D1的间隔 为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的间隔 计算菁优网版权全部【专题】综合题；转化思想【分析】（1）此题由题意画出图形因为ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，且设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为，所以应先利用线面角及二面角的定义求出，即可得证；（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB1D1的位置，利用三角形的相像解出【解答】解：（1）由题意画出图形为：ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，底面为正方形且边长为1，又因为AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，又因为二面角AB1D1A1的大小为，且底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，AO1A1=，而底面A1B1C1D1为边长为1的正方形，（2）O1为B1D1的中点，而AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形，AO1B1D1B1D1平面ACC1A1平面AB1D1平面ACC1A1且交线为AO1，点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H，在矩形AA1C1C中，利用RtAA1O1RtCHA 得到，而，AA1=2，故正四棱锥的高为AA1=2【点评】此题重点考察了线面角，二面角，点到面的间隔 这些定义，还考察了学生的空间想象实力及计算实力22（18分）（2011上海）已知数列an和bn的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7（nN*）将集合x|x=an，nN*x|x=bn，nN*中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，cn，（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列cn中，但不在数列bn中的项恰为a2，a4，a2n，；（3）求数列cn的通项公式【考点】等差数列的通项公式；数列的概念及简洁表示法菁优网版权全部【专题】综合题；压轴题；分类探讨；转化思想【分析】（1）利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项（2）对于数列an，对n从奇数与偶数进展分类探讨，推断是否能写成2n+7的形式（3）对an中的n从从奇数与偶数进展分类探讨，对bn中的n从被3除的状况分类探讨，推断项的大小，求出数列的通项【解答】解：（1）a1=3×1+6=9； a2=3×2+6=12 a3=3×3+6=15b1=2×1+7=9 b2=2×2+7=11 b3=2×3+7=13 c1=9；c2=11；c3=12；c4=13（2）解对于an=3n+6，当n为奇数时，设为n=2k+1则3n+6=2（3k+1）+7bn当n为偶数时，设n=2k则3n+6=6k1+7不属于bn在数列cn中，但不在数列bn中的项恰为a2，a4，a2n，；（3）b3k2=2（3k2）+7=a2k1b3k1=6k+5 a2k=6k+6b3k=6k+76k+36k+56k+66k+7当k=1时，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b3=c4【点评】本题考察利用数列的通项公式求数列的项、考察推断某项是否属于一个数列是看它是否能写出通项形式、考察分类探讨的数学数学方法23（18分）（2011上海）已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的间隔 ，记作d（P，l）（1）求点P（1，1）到线段l：xy3=0（3x5）的间隔 d（P，l）；（2）设l是长为2的线段，求点的集合D=P|d（P，l）1所表示的图形面积；（3）写出到两条线段l1，l2间隔 相等的点的集合=P|d（P，l1）=d（P，l2），其中l1=AB，l2=CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种情形，则依据序号较小的解答计分A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，0）A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，2）A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0）【考点】点到直线的间隔 公式；空间点、线、面的位置菁优网版权全部【专题】计算题；压轴题；新定义【分析】（1）依据所给的是一条线段，点到线段的间隔 不肯定运用点到直线的间隔 公式得到，二是须要视察过点做垂线，垂足是否落到线段上，结果不是落到线段上，所以用两点之间的间隔 公式（2）由题意知集合D=P|d（P，l）1所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，做出面积（3）依据题意从三组点的坐标中选第一组，依据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果【解答】解：（1）点P（1，1）到线段l：xy3=0（3x5）的间隔 d（P，l）是点P到（3，0）的间隔 ，d（P，l）=，（2）由题意知集合D=P|d（P，l）1所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，S=22+=4+（3）对于所给的三组点到坐标选第一组，A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，0）利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=1，到两条线段l1，l2间隔 相等的点的集合=P|d（P，l1）=d（P，l2），依据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，到两条直线间隔 相等的点的集合是y轴选第二组点来计算：A（1，3），B（1，0），C（1，3），D（1，2），依据第一组做出的结果，视察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段间隔 相等的点是y轴非负半轴，抛物线，直线y=x1（x1）选第三组来求解到两条线段间隔 相等的点，A（0，1），B（0，0），C（0，0），D（2，0），依据两条线段分别在横轴和纵轴上，知到两条线段间隔 相等的点在一三象限的角平分线上，方程是y=x，不是这条直线上的全部的点都合题意，依据所给的点到直线的间隔 知（1，1）点左下方的符合题意，所以所求的点的集合是y=x（0x1），（1x2），（x2）或x0，y0【点评】本题考察点到直线的间隔 公式，考察两点之间的间隔 公式，考察利用两点式写直线的方程，考察点到线段的间隔 ，本题是一个综合题目