57用待定系数法求二次函数解析式.ppt

5.7用待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数解析式已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式 已知抛物线与已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式轴的两交点坐标，选择交点式一般式一般式y=ax2+bx+c (a0)顶点式顶点式 y=a(x-h)2+k (a0)交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a0)用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。的特点，恰当地选用一种函数表达式。 一、设一、设二、代二、代三、解三、解四、还原四、还原一、方法：一、方法：1. 一般式：一般式：y=ax2+bx+c (a0) 已知图象上三点坐标已知图象上三点坐标, 特别是特别是已知函数图象与已知函数图象与y轴的交点坐标轴的交点坐标 (0, c)时时, 使用一般式很方便使用一般式很方便. 例例1.已知二次函数图象经过已知二次函数图象经过A(2,-4), B(0,2), C(-1,2)三点三点, 求此求此函数的解析式函数的解析式.解解：设二次函数解析式为：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c 图象过图象过B(0,2) c=2 y=ax2+bx+2 图象过图象过A(2,-4),C(-1,2)两点两点 -4=4a+2b+2 2=a-b+2 解得解得 a=-1,b=-1 函数的解析式为：函数的解析式为： y=-x2-x+22. 顶点式顶点式 y=a(x-h)2+k (a0)已知对称轴已知对称轴方程方程x=h、最值、最值k或顶点坐标或顶点坐标(h, k) 时优先选用顶点式。时优先选用顶点式。例例2. 已知一个二次函数的图象经过已知一个二次函数的图象经过点点(4,-3), 并且当并且当x=3时有最大值时有最大值4, 试确定这个二次函数的解析式试确定这个二次函数的解析式.解法解法1：（利用顶点式）（利用顶点式）设二次函数解析式为：设二次函数解析式为： y=a(x+h)2+k (a0) 当当x=3时，有最大值时，有最大值4 顶点坐标为顶点坐标为(3,4) h= -3, k= 4 y=a(x-3)2+4 函数图象过点（函数图象过点（4，- 3） a(4 - 3)2 +4 = - 3 a= -7 y= -7(x-3)2+4 = -7x2+42x-59 二次函数的解析式为：二次函数的解析式为： y= -7x2+42x-59解法解法2：（利用一般式）（利用一般式）设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a0)由题意知由题意知 16a+4b+c = -3 -b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4解方程组得：解方程组得： a= -7 b= 42 c= -59 二次函数的解析式为：二次函数的解析式为： y= -7x2+42x-593.交点式交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与知道抛物线与x轴的两个交点的坐轴的两个交点的坐标标,或一个交点的坐标及对称轴方程或顶或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时选用两根式比较简便点的横坐标时选用两根式比较简便. (1)当当=b2- 4ac0 ,抛物线与抛物线与x轴相交轴相交 y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) =b2- 4ac0 ，交点有两个，交点有两个， 分别是分别是: (x1, 0)和和(x2, 0) =b2- 4ac =0,交点只有一个交点只有一个 即顶点即顶点-b/2a,(4ac-b2)/4a =b2- 4ac 0 ,无交点无交点 （2）当）当=b2-4ac0时，时， 方程方程ax2+bx+c0无解，无解， 二次三项式二次三项式 ax2+bx+c 不能分解不能分解, 抛物线与抛物线与x轴不相交轴不相交. （3）若抛物线与）若抛物线与x轴的两个交点轴的两个交点的横坐标分别为的横坐标分别为x1、x2，那么对称那么对称轴方程为：轴方程为： x=(x1+x2)/2例例3. 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的的图象过点图象过点A(0,-5), B(5,0)两点两点, 它的对称轴为直线它的对称轴为直线x=3, 求这求这个二次函数的解析式个二次函数的解析式.解解: 二次函数的图象过点二次函数的图象过点B(5,0), 对称轴为直线对称轴为直线x=3设抛物线与设抛物线与x轴的另一个交点轴的另一个交点C的坐标为的坐标为(x1,0) 则对称轴：则对称轴： x=(x1+x2)/2即：即： (5x1)/23 x1=1 c点的坐标为点的坐标为(1,0)设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x-5) 图象过图象过A(0,-5) - 5=a(0-1)(0-5) 即即 - 5=5a, a= -1 y=-(x-1)(x-5)=-x2+6x-5（二）练习题（二）练习题 1. 二次函数图象经过点二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和和(3,0)三点，三点，求二次函数的解析式求二次函数的解析式.解法解法1：（：（一般式一般式） 设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=ax2+bx+c 二次函数图象过点二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和和(3,0) a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 -得：得： 2b=4 b=2 代入、得：代入、得：a+c=2 9a+c=-6 - 得：得：8a=-8 , a= -1 代入代入 得：得：c=3 函数的解析式为：函数的解析式为：y= -x2+2x+3解法解法2:（顶点式顶点式） 抛物线与抛物线与x轴相交两点轴相交两点(-1,0)和和(3,0) ， 1=(-1+3)/2 点点(1,4)为抛物线的顶点为抛物线的顶点由题意设二次函数解析式为：由题意设二次函数解析式为：y=a(x-h)2+k y=a(x-1)2+4 抛物线过点抛物线过点(-1, 0) 0=a(-1-1)2+4 得得 a= -1 函数的解析式为：函数的解析式为：y= -1(x-1)2+4= -x2+2x+3解法解法3:（交点式交点式）由题意可知两根为由题意可知两根为x1=-1、x2=3设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) 则有：则有： y=a(x+1)(x-3) 函数图象过点函数图象过点(1,4) 4 =a(1+1)(1-3) 得得 a= -1 函数的解析式为：函数的解析式为： y= -1(x+1)(x-3) = -x2+2x+32.已知二次函数已知二次函数 的图像如图所示，的图像如图所示， 求其解析式。求其解析式。解法一：解法一： 一般式一般式设解析式为顶点C（1，4），对称轴 x=1.A(-1,0)与 B关于 x=1对称，B（3，0）。A(-1,0)、B（3，0）和C（1，4）在抛物线上， 即：2.已知二次函数已知二次函数 的图像如图所示，的图像如图所示， 求其解析式。求其解析式。解法二：顶点式解法二：顶点式设解析式为顶点C（1，4）又A(-1,0)在抛物线上， a = -1即： h=1, k=4.解法三：交点式解法三：交点式设解析式为抛物线与x 轴的两个交点坐标 为 A (-1,0)、B（3，0） y = a (x+1) (x- 3)又 C（1，4）在抛物线上 4 = a (1+1) (1-3) a = -1 y = - ( x+1) (x-3)即：2.已知二次函数已知二次函数 的图像如图所示，的图像如图所示，求其解析式。求其解析式。3、将抛物线、将抛物线 向左平移向左平移4个单位，个单位，再向下平移再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的个单位，求平移后所得抛物线的解析式。解析式。解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得：(1)、由 向左平移4个单位得：（左加右减）（2）、再将 向下平移3个单位得 （上加下减） 即：所求的解析式为4.4.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标现把它的图形放在坐标系里系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 解：解：设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=ax2bxc，根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过程较繁杂， 4.4.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标现把它的图形放在坐标系里系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 解：解：设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=ax2bxc，根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过程较繁杂， 4.4.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标现把它的图形放在坐标系里系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 解：解：设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=ax2bxc，根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过程较繁杂， 4.4.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标现把它的图形放在坐标系里系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 解：解：设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=ax2bxc，根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过程较繁杂， 5. 已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是是12米，当水位是米，当水位是2米时，测得水面宽度米时，测得水面宽度AC是是8米。米。（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是）当水位是2.5米时，米时，高高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。船的高度指船在水面上的高度）。即： E EFa = -0.1解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形过A、C作OB的垂线，垂足为E、F点。 OE = BF =（12-8）2 = 2。O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。设解析式为又 A（-2，2）点在图像上， 5. 已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是是12米，当水位是米，当水位是2米时，测得水面宽度米时，测得水面宽度AC是是8米。米。（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是）当水位是2.5米时，米时，高高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。船的高度指船在水面上的高度）。PQ(2)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 3.6解： 顶点（-6，3.6）,当水位为2.5米时， 船不能通过拱桥。PQ是对称轴。6.6.如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为拱的最大高度为3.6m3.6m，跨度为，跨度为7.2m7.2m一辆卡车一辆卡车车高车高3 3米，宽米，宽1.61.6米，它能否通过隧道？米，它能否通过隧道？ 即当即当x= OC=1.62=0.8米时，米时，过过C点作点作CDAB交抛物线于交抛物线于D点，若点，若y=CD3米，则卡车可以通过。米，则卡车可以通过。 分析：卡车能否通过，只要看卡分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高车在隧道正中间时，其车高3米是否米是否超过其位置的拱高。超过其位置的拱高。6.6.如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为拱的最大高度为3.6m3.6m，跨度为，跨度为7.2m7.2m一辆卡车一辆卡车车高车高3 3米，宽米，宽1.61.6米，它能否通过隧道？米，它能否通过隧道？ 解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，A（-3.6，0）， B（3.6，0），P（0，3.6）。又P（0，3.6）在图像上，当x=OC=0.8时，卡车能通过这个隧道。待定系数法求函数的解析式待定系数法求函数的解析式一般步骤是：一般步骤是：（1）写出函数解析式，其中包括未知）写出函数解析式，其中包括未知的系数；的系数；（2）把自变量与函数的对应值代入函）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。程或方程组。（3）解方程（组）求出待定系数的值，）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。从而写出函数解析式。二、求二次函数解析式的思想方法 1、 求二次函数解析式的常用方法：求二次函数解析式的常用方法： 2、求二次函数解析式的、求二次函数解析式的 常用思想：常用思想： 3、二次函数解析式的最终形式：、二次函数解析式的最终形式：待定系数法、配方法、数形结合等。转化思想转化思想 : 解方程或方程组解方程或方程组无论采用哪一种解析式求解，最后无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。结果最好化为一般式。