【人教A版】高考数学一轮课件：第2章-函数 第6节 对数与对数函数.pptx

第6节对数与对数函数,考试要求1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数(a0，且a1),知 识 梳 理,1.对数的概念 如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作_，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：alogaN_；logaabb(a0，且a1). (2)对数的运算法则 如果a0且a1，M0，N0，那么 loga(MN)_；,xlogaN,N,logaMlogaN,logaMn_(nR)；,logamMnlogaM(m，nR，且m0). (3)换底公式：_(a，b均大于零且不等于1).,3.对数函数及其性质 (1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).,logaMlogaN,nlogaM,(2)对数函数的图象与性质,(0，),R,(1，0),增函数,减函数,4.反函数 指数函数yax(a0，且a1)与对数函数_(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称.,ylogax,yx,微点提醒,1.换底公式的两个重要结论,其中a0，且a1，b0，且b1，m，nR. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)log2x22log2x.() (2)函数ylog2(x1)是对数函数.(),(4)当x1时，若logaxlogbx，则a<b.() 解析(1)log2x22log2|x|，故(1)错. (2)形如ylogax(a0，且a1)为对数函数，故(2)错. (4)当x1时，logaxlogbx，但a与b的大小不确定，故(4)错. 答案(1)(2)(3)(4),A.abc B.acb C.cba D.cab,答案D,4.(2019杭州检测)计算log29log342log510log50.25() A.0 B.2 C.4 D.6 解析原式2log23(2log32)log5(1020.25)4log525426. 答案D,5.(2019上海静安区检测)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是(),A.a1，c1 B.a1，01 D.00，即logac0，所以0<c<1. 答案D,6.(2018全国卷)已知函数f(x)log2(x2a).若f(3)1，则a_. 解析由f(3)1得log2(32a)1，所以9a2，解得a7. 答案7,考点一对数的运算,答案(1)20(2)1,规律方法1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.,解析(1)由题意知lg 2lg(2x5)2lg(2x1)， 2(2x5)(2x1)2，(2x)290，2x3，xlog23.,所以t2，则ab2. 又abba，所以b2bbb2， 即2bb2，又ab1，解得b2，a4. 答案(1)D(2)42,考点二对数函数的图象及应用 【例2】 (1)(2019潍坊一模)若函数f(x)axax(a0且a1)在R上为减函数，则函数yloga(|x|1)的图象可以是(),解析(1)由f(x)在R上是减函数，知01时，yloga(x1)的图象由ylogax向右平移一个单位得到.因此选项D正确. (2)由题意，易知a1. 在同一坐标系内作出y(x1)2，x(1，2)及ylogax的图象.,若ylogax过点(2，1)，得loga21，所以a2. 根据题意，函数ylogax，x(1，2)的图象恒在y(x1)2，x(1，2)的上方. 结合图象，a的取值范围是(1，2. 答案(1)D(2)C,规律方法1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.,【训练2】 (1)(2018湛江模拟)已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(),A.0<a1<b<1 B.0<b<a1<1 C.0<b1<a<1 D.0<a1<b1<1,解析(1)由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，又y2xb1在R上单调递增，故a1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1<logab<0，即logaa1<logab<loga1，所以，a1<b<1.综上有0<a1<b<1.,(2)作出函数yf(x)的图象(如图所示).,方程f(x)a0恰有一个实根，等价于函数yf(x)的图象与直线ya恰有一个公共点， 故a0或a2，即a的取值范围是02，). 答案(1)A(2)02，),考点三对数函数的性质及应用多维探究 角度1对数函数的性质 【例31】 已知函数f(x)ln xln(2x)，则(),A.f(x)在(0，2)上单调递增 B.f(x)在(0，2)上单调递减 C.yf(x)的图象关于直线x1对称 D.yf(x)的图象关于点(1，0)对称,解析由题意知，f(x)ln xln(2x)的定义域为(0，2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2x)ln(2x)ln xf(x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，C正确，D错误. 答案C,角度2比较大小或解简单的不等式,(2)由题意得a0且a1，故必有a212a， 又loga(a21)<loga2a<0，所以0<a<1，,答案(1)D(2)C,角度3对数型函数性质的综合应用 【例33】 已知函数f(x)loga(3ax).,(1)当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.,解(1)a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数， x0，2时，t(x)的最小值为32a， 当x0，2时，f(x)恒有意义，即x0，2时，3ax0恒成立.,(2)t(x)3ax，a0， 函数t(x)为减函数. f(x)在区间1，2上为减函数，ylogat为增函数， a1，x1，2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，,故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1.,规律方法1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. 3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.,【训练3】 (1)若ab0，0<c<1，则(),解析(1)由yxc与ycx的单调性知，C，D不正确； ylogcx是减函数，得logca<logcb，B正确；,又ab0，lg alg b，但不能确定lg a，lg b的正负， logac与logbc的大小不能确定.,所以a1，所以函数ylogaM为增函数，,所以函数f(x)的单调递增区间为(0，). 答案(1)B(2)(0，),思维升华 1.对数值取正、负值的规律 当a1且b1或00； 当a1且01时，logab<0. 2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定.,易错防范 1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论. 2.在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数). 3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.,