平面几何定理公理总结(7页).doc

-平面几何定理公理总结-第 7 页平面几何定理公理总结一、 线与角1. 两点之间，线段最短。线段的长叫两点间的距离。直线外一点到直线，垂线段最短，垂线段的长叫该点到直线的距离。一组平行线中，一条直线上一点到另一条直线的距离，叫两条平行线间的距离。2. 经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。不在同一直线上的三点确定一个角。3. 两直线相交，对顶角相等。4. 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。5. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。6. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。7. 平行线(1) 平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。(2) 平行线的判定方法：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。(3) 平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么这条直线也和另一条平行。如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。平行线间的距离处处相等；夹在两条平行线间的平行线段相等。8. 平行线等分线段定理：(1) 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。(2) 推论1：经过三角形一边的中点，且与另一边平行的直线必等分第三边。(3) 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必等分另一腰。9. 平行线分线段成比例定理：(1) 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。(2) 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）成比例。10. 线段的垂直平分线：(1) 性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。(2) 判定：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。11. 角平分线：(1) 性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。(2) 判定：在角的内部，且到此角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。二、 三角形及多边形1. 三角形的任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边。2. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。四边形内角和定理：四边形内角和等于360°。多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°。多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。3. 三角形外角性质：(1) 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。(2) 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4. 三角形中位线定理：三角形两边中点的连线叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。5. 等腰三角形的相关公理、定理：(1) 等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）。(2) 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（“等角对等边”）。(3) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（“三线合一”）。6. 等边三角形的公理、定理：(1) 三个边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形。(2) 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；有两个角为60°的三角形是等边三角形(3) 等边三角形的三边相等；等边三角形的三角相等，且都等于60°。(4) 等边三角形三条角平分线、三条中线、三条高均交于同一点，该点是等边三角形的中心。7. 直角三角形的公理、定理：(1) 直角三角形的两锐角互余。(2) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（斜边是其外接圆直径，斜边上的中点是其外接圆圆心）。若三角形一边的中线等于这边的一半，那此三角形为直角三角形。(3) 直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那它所对的角等于30°。(4) 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(5) 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。8. 三角形全等：(1) 性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。(2) 判定：有三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。9. 相似三角形的判定：(1) 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比例叫做相似比（或相似系数）。(2) 预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形于原三角形相似。(3) 判定：两角对应相等，两三角形相似。两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。三边对应成比例，两三角形相似。(4) 引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。(5) 直角三角形相似的判定：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，两三角形相似。如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么两三角形相似。如果两个直角三角形的斜边和一条直角边于另一个三角形的斜边和一条直角边成比例，那么两三角形相似。10. 相似三角形的性质定理：(1) 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。(2) 相似三角形周长的比等于相似比。(3) 相似三角形面积比等于相似比的平方。(4) 相似三角形的外接圆、内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆、内切圆的面积比等于相似比的平方。11. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它在斜边上的射影于斜边的比例中项。也可表述为：直角三角形的直角顶点，到斜边端点和斜边上高的垂足三点中其中一点的距离（线段），是该点到其它两点的距离（线段）的比例中项。12. 三角形垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这点到三个顶点距离相等，这点为三角形外接圆的圆心（简称“外心”）。13. 三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线相交于一点，且这点到三边距离相等，这点为三角形内切圆的圆心（简称“内心”）。14. 三角形中线的性质：三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。15. 三角形高的性质：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。三、 多边形16. 四边形内角和定理：四边形内角和等于360°。17. 多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°。18. 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。19. 如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分。四、 特殊四边形1. 平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对角相等。(2) 平行四边形的对边相等。(3) 平行四边形的对角线互相平分。2. 平行四边形的判定：(1) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(2) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(4) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(5) 两组邻角分别互补的四边形是平行四边形。(6) 对角线互相平分的四边形是平行四边形。3. 矩形的性质：(1) 矩形的四个角都是直角。(2) 矩形的对角线相等。4. 矩形的判定：(1) 有三个角是直角的四边形是矩形。(2) 对角线相等且互相平分的四边形是矩形。(3) 有一个角是直角的平行四边形是矩形。(4) 对角线相等的平行四边形是矩形。5. 菱形的性质：(1) 菱形的四条边相等。(2) 菱形的对角线互相垂直，并且每一组对角线平分一组对角。6. 菱形的判定：(1) 四边都相等的四边形是菱形。(2) 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。(3) 邻边相等的平行四边形是菱形。(4) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(5) 两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形。(6) 有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。7. 正方形的性质：(1) 正方形的四个角都是直角，四条边都相等(2) 邻边相等且垂直的是正方形；对角线垂直且相等的平(3) 正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。8. 正方形的判定：(1) 邻边相等的矩形是正方形。(2) 对角线互相垂直的矩形是正方形。(3) 有一个角是直角的菱形是正方形；(4) 对角线相等的菱形是正方形。(5) 邻边相等且垂直的是平行四边形正方形。(6) 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。(7) 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。9. 等腰梯形的性质：(1) 等腰梯形在同一底上的两个角相等；(2) 等腰梯形的两对角线相等；10. 等腰梯形的判定：(1) 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(2) 对角线相等的梯形是等腰梯形。11. 梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线叫做梯形的中位线。梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半。五、 圆1. 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹（集合），是以定点为圆心，定长为半径的圆。2. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。3. 有关圆周角、圆心角的定理和性质：(1) 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。(2) 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。(3) 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。(4) 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。(5) 统一推论：在同圆或等圆中，两个圆心角（圆周角）、两条弧、两条弦、两个弦的弦心距，只要有一组量相等，那么其余对应的各组量均相等。(6) 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。4. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。(1) 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。(2) 推论2：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。(3) 推论3：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。推论：一条直线，只要满足以下中的2条作为条件就可以推知其他3条，知二推三。(1)平分弦所对的优弧； (2)平分弦所对的劣弧；（即：平分弦所对的两条弧）；(3)平分不是直径的弦； (4)垂直于弦； (5)经过圆心。(4) 在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。两条相等的弧两个外端点的连线于两个内端点的连线平行。5. 关于两圆及其连心线的性质与定理：(1) 两圆内切时，两圆连心线过切点且与公切线垂直。推论：两圆相切时，以下4条，知二推二：(1)过一圆圆心； (2)过另一圆圆心； (3)过两圆切点； (4)公切线垂直。(2) 两圆相交时，两圆的连心线垂直平分公共弦。推论：两圆相交时，以下4条，知二推二：(1)过一圆圆心； (2)过另一圆圆心； (3)过公共弦中点； (4)垂直公共弦。(3) 两圆相切时，两圆的连心线过切点且与一条公切线垂直。推论：两圆相切时，以下4条，知二推二：(1)过一圆圆心； (2)过另一圆圆心； (3)过两圆切点； (4)内公切线垂直。(4) 两圆相离时，两圆的连心线过内公切线交点，且平分内公切线所成夹角。推论：两圆相切时，以下4条，知二推二：(1)过一圆圆心 (2)过另一圆圆心； (3)过内公切线交点； (4) 平分内公切线所成夹角。注：满足(4)条件时，已经满足(3)条件，故知(1)(2)(3)其中两条可推知其它两条，知(4)可推知(1)(2)(3)。(5) 两圆关系不为内切时，两圆连心线平分两外公切线所成夹角（两圆半径相等）或于两外公切线平行（两圆半径相等）逆定理亦成立，同时也可作为上面三条的条件。6. 切线的性质及判定：(1) 性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。(2) 判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(3) 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。(4) 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。7. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。8. 弦切角定理：(1) 弦切角的定义：定点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫弦切角。(2) 定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角（或表述为：弦切角等于弦所对的圆周角）。9. 圆内接四边形的性质和判定：(1) 性质1：圆的内接四边形的对角互补。(2) 性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。(3) 判定1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。(4) 判定2：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。10. 圆幂定理：过任意不在圆上的一点引两条直线，分别与圆交于两点（重合时为切线），则该点到每条线与圆的交点的两条线段的乘积相等，该乘积叫做该点到圆的幂。(1) 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。(2) 切割线定理：从圆外一点引圆的一条切线和一条割线，切线长的平方是从割线上从这点到两个交点的线段长的乘积。(3) 割线定理：过圆外一点引圆的两条割线，交点到每条割线于圆的交点的两条线段的积相等。(4) 切线长定理。六、变换1. 轴对称：(1) 关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；(2) 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；(3) 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；(4) 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。2. 平移：(1) 平移不改变图形的形状和大小（即平移前后的两个图形全等）；(2) 对应线段平行且相等（或在同一直线上），对应角相等；(3) 经过平移，两个对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。3. 旋转：(1) 旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的两个图形全等）；(2) 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等（都是旋转角）；(3) 经过旋转，对应点到旋转中心的距离相等。4. 中心对称：(1) 关于中心对称的两个图形是全等形；(2) 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心；(3) 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。5. 位似：(1) 如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比；(2) 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。2016年5月2日