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-上海师范大学-高等数学教学大纲-第 19 页上海师范大学高等数学教学大纲高等数学第六版、同济大学数学系编、高等教育出版社适应专业：本科一 课程性质、任务和基本要求（一）课程的性质与任务高等教学课程是高等院校计划中的一门重要的基础理论课，它是为培养适应我国社会主义现代化建设需要的高质量专门人才服务的。通过本门课的学习，使学生获得：1函数、极限、连续；2一元函数微积分学；3常微分方程；4向量代数与空间解析几何；5多元函数微积分学；6级数（包括傅氏级数）；等方面的知识、基本理论和基本运算技能。为学习后继课程以及进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有比较教练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。还要培养学生具有抽象概括问题的能力和综合运用知识来分析解决问题的能力。（二）课程的基本要求（）函数、极限、连续1理解函数概念；Z理解函数的单调性、周期性、奇偶性；3了解反函数、复合函数的概念；4熟练掌握基本初等函数图象；5能将简单实际问题中的函数关系表达出来；6能正确应用极限四则运算法则；7理解两个重要极限，会用两个重要极限求极限；8理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较；9了解函数在一点的连续和间断的概念；10知道初等函数的连续性；11知道闭区间上连续函数的性质。（二）一元函数微分学1理解导数和微分的概念，能用导数描述一些物理量，了解函数可导与连续的关系；2熟悉导数和微分的运算法则，导数的基本公式，能熟练计算初等函数的一、二阶导数；3会求隐函数的导数，会求参数方程的导数和二阶导数；4理解罗尔、拉格朗日定理，会应用拉格朗日定理证明一些简单问题；5理解函数极值的概念；6能用导数求函数的极值，判断函数的增减性、凹凸性，会求曲线的拐点；会解决应用问题中的最大、最小值问题。7能用罗必塔法则求极限。（五）一元函数积分学1理解不定积分与定积分的概念及性质；2熟悉不定积分基本公式，熟练掌握不定积分、定积分的换元法，分部积分法；掌握简单的有理函数积分；3理解变上限定积分作为上限的函数及其求导方法，熟悉牛顿莱布尼兹公式；4了解广义积分概念；5熟练掌握用定积分表达一些物理量（如面积、体积、弧长、压力、功、引力等）的方法。（四）常微分方程l了解微分方程、解、通解、特解和初始条件的概念；2会识别下列几种一阶微分方程：可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程，伯努里方程和全微分方程；。3熟练掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法；4会解齐次方程和伯努里方程；5知道下列几种特殊的高阶方程：y=f（x），y=f（x，y），y=f（y，y）的降阶法。6了解二阶线性方程解的结构；7熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。8掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（五）向量代数与空间解析几何1理解向量概念；2掌握向量运算，两向量夹角的求法与两向量垂直与平行的条件；4熟悉平面方程和直线方程的求法。5理解曲面方程的概念，掌握常用的二次曲面的方程及其图形，掌握坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行坐标轴的柱面方程；6知道空间曲线的参数方程和一般方程。（六）多元函数微分学1理解多元函数概念；”2理解偏导数、全微分的概念；3了解方向导数和梯度概念，并掌握它们的计算方法。4熟练掌握复合函数微分法，会求二阶偏导数；5会来隐函数的偏导数；6了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面、法线，并掌握它们方程的求法。7理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念；会求一些简单的最大、最小值问题。（七）多元函数积分学。1理解二重积分，三重积分的概念，知道积分的性质；2熟练掌握二重积分的计算方法，（直角坐标、极坐标）；掌握三重积分计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）；3理解两类曲线积分的概念；知道两类曲线积分的性质；4掌握两类曲线积分的计算方法；5熟悉格林公式，会运用平面曲线积分与路经无关的条件；6知道两类曲面积分的概念，熟悉高斯公式，会计算两类曲线积分；7知道散度、旋度的概念。（八）无穷级数1无穷级数收敛与发散的概念，理解无穷级数收敛的必要条件，知道无穷级数的基本性质；2熟悉几何级数与P-级数的敛散性；3掌握正项级数的比较判别法，熟练掌握正项级数的比值判别法；4掌握交错级数的莱布尼兹定理，并能估计交错级数的截断误差；5了解无穷级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；6知道函数项级数收敛域及和函数的概念；7掌握简单的幂级数收敛域的求法；8知道幂级数在收敛区内的性质；9掌握e， sinx， cosx， In（1x），（lx）的麦克劳林展开式，并能利用这些x展开式将一些简单的函数展成幂级教；10知道函数展成傅氏级数的充分条件，井能把在（-，）（-1， l）上定义的函数展成为正弦级数或余弦级数。二课程内容第一章 函数与极限1. 映射与函数；2. 数列的极限；3函数的极限；4无穷小与无穷大；5极限运算法则；6极限存在准则 两个重要极限；7无穷小的比较；8函数的连续性与间断点；9. 连续函数的运算与初等函数的连续性；10. 闭区间上连续函数的性质。第二章 导数与微分1. 导数概念；2函数的求导法则；3高阶导数；4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率；5函数的微分。第三章 中值定理与导数应用1微分中值定理；2洛必达法则；3泰勒公式4. 函数的单调性与曲线的凹凸性；5函数的极值与最大值最小值；6函数图形的描绘；7曲率；8方程的近似解。第四章 不定积分1不定积分的概念与性质；2换元积分法；3分部积分法；4有理函数的的积分；5. 积分表的使用。第五章 定积分1定积分的概念及性质；2微积分基本公式；3定积分的换元法与分部积分法；4反常积分；*5. 反常积分的审敛法G函数。第六章 定积分的应用1定积分的元素法；2定积分在几何学上的应用；3定积分在物理学上的应用。第七章 微分方程1微分方程的基本概念；2可分离变量的微分方程；3齐次方程；4一阶线性微分方程；5可降阶的高阶微分方程；6高阶线性微分方程；7常系数齐次线性微分方程；8常系数非齐次线性做分方程；*9欧拉方程；*10. 常系数线性微分方程解法举例。第八章 空间解析几何与向量代数1向量及其线性运算；2数量积 向量积 *混合积；3曲面及其方程；4空间曲线及其方程；5平面及其方程；6空间直线及其方程。第九章 多元函数微分法及其应用1多元函数的基本概念；2偏导数；3全微分；4多元复合函数求导法则；5隐函数求导公式；6多元微分学的几何应用；7方向导数与梯度；8多元函数极值及其求法；*9. 二元函数的泰勒公式*10. 最小二乘法。第十章 重积分1二重积分的概念及性质；2二重积分的计算方法；3三重积分；4重积分应用；*5含参变量的积分。第十一章 曲线积分与曲面积分1对孤长的曲线积分；2对坐标的曲线积分；3格林公式及其应用；4对面积的曲面积分；5对坐标的曲面积分；6高斯公式 *通量与散度；7斯托克斯公式 *环流量与旋度。第十二章 无穷级数1常数项级数的概念与性质；2常数项级数的审敛法；3幂级教；4函数展成幂级数；5. 函数的幂级数展开式的应用；6. 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的性质；7. 傅里叶级数；8. 一般周期函数的傅里叶级数。三 学时分配表序号章 节名 称理论课时习 题总课时1第一章函数与极限102122第二章导数与微分102123第三章中值定理与导数应用122144第四章不定积分122145第五章定积分82106第六章定积分的应用102127第七章微分方程122148第八章空间解析几何与向量代数122149第九章多元函数微分法及其应用1221410第十章重积分1822011第十一章曲线积分与曲面积分1621812第十二章无穷级数14216四 说明（一）本课程与其它课程的联系学好高等数学课必须有良好的数学基础，高数课是一门工科院校的重数学要基础课，是后继课的工具。（二）课程内容的重点及深广度函数、极限、连续重点：函数概念、极限概念、无穷小、极限的运算法则，函数的连续性。对分段函数和复合函数要有足够训练。 导数与微分重点：导数概念、导数几何意义，初等函数求导法则，微分的概念。 正确理解导数作为变化率的概念，微分是函数增量的线性主部的概念。熟练掌握初等函数求导法。中值定理及导数应用重点：拉格朗日中值定理、罗必塔法则。函数增减性的判别法，函数极值及其求法，最大、最小值间题。不定积分重点；原函数与不定积分的概念，不定积分的性质。基本积分公式，换元积分法，分部积分法。在讲有理函数的积分时，对于化有理真分式为部分分式的问题，可以只提出结论而不加证明。定积分及其应用重点：定积分概念，定积分中值定理，定积分作为变上限函数及其求导定理，牛顿莱布尼兹公式。要求学生学会正确使用定积分的换元积分法、分部积分法。在定积分的应用中；应把重点放在培养学生运用微元法建立积分表达式的能力上，、定积分在物理学中应用具体例子可根据需要选择，要配置把所求量分割成环城的例子。微分方程重点：微分方程的概念、解、通解、特解。可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程，二阶线性常系数微分方程。变量置换法解一阶方程，可用齐次方程和贝努利方程为例，着重说明通过变量置换来解方程的思想。线性微分方程解的结构包括齐次与非齐次两种情况，对于非齐次方程要讲明自由项为两项之和时，其特解等于自由项为各项时的特解之和。关于二阶常系数非齐次线性方程，包括自由项为多项式，指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积几种。向量代数与空间解析几何重点：向量概念、向量的坐标、向量的数量积，向量的向量积。平面的点法式方程，直线的对称式方程。曲面方程的概念，空间曲线的参数方程。空间解析几何应以向量为主要工具，注意培养学生对向量的运用间图形的想象能力。 要求熟悉标准二次曲面的方程与图形，标准二次曲面以它们所围的简单立体，关于旋转曲面可以只讲以坐标轴为旋转轴的旋转曲面。多元函数微分学重点：多元函数的概念，偏导数与全微分概念，多元复合函数的来导法则，多元函数极值存在的充分条件（叙而不证），极值应用题由方程组确定的隐函数的求导公式可以不讲重积分重点：二重积分的概念、二重积分计算法、三重积分计算法。二重积分化为累次积分的公式、以及二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的交换公式，都只作几何说明，不作分析证明。三重积分与此类同重积分的应用着重于运用微元分析法，具体例子可以根据需要选择。曲线积分与曲面积分重点：曲线积分的概念及其计算法，格林公式，曲线积分与路经无关的条件。曲面积分的概念及其计算法。曲线积分要讲平面曲线与空间曲线两种情况，但以平面曲线为主。梯度、散度、旋度可供不单独学场论的专业选用、需学场论的专业，还得增加学时。 无穷级数重点：无穷级数收敛和发散的概念，正项级数的比值审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间，泰勒级数，函数的幂级数展开式，函数的傅立叶级数，函数展开为正弦级数或余弦极数。级数的绝对收敛和收敛的关系，绝对收敛级数的性质可灵活掌握。幂级数的四则运算，和函数的连续性、逐项微分与逐项积分均不证。（三）实践环节要求凡有专职助课教师的可上习题课，凡没有助课教师的，可单设习题课，也可边讲边练，不单设习题课。作业要每节必留，部分批改。（四）本课教学方法 讲授为主（五）其它说明本大纲及大纲说明书是根据工科数学指导委员会提出的对本科课程的基本要求制定的。 本课程基本要求的高低用不同的词汇加以区别：对概念、理论从高到低用“理解” 、“了解”、“知道”三级区分；对运算、方法从高到低用“熟练掌握”、“掌握”、“会”、或“能”三级区别。“熟悉”一词相当于“理解”。五选用教材及主要参考书选用教材：高等数学（第六版） 同济大学数学系主编高等数学解题方法与同步训练同济大学出版社