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第三章 刚体力学基础,3-1 刚体运动的基本形式,1. 平动 刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。,一、平动和转动,刚体运动学的主要任务：研究物体的转动及转动状态变化的规律。,刚体可视为无数个连续分布的质点组成的质点系，组成刚体的每个质点称为刚体的一个质量元。每个质量元都服从质点力学规律。,刚体 在外力作用下不产生形变的物体。,特点：任意两点间的距离始终保持不变,一、平动和转动,2. 转动 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。,定轴转动整个转轴相对参考系静止。,3-1 刚体运动的基本形式,一、平动和转动,刚体的复杂运动平动和转动的叠加。,是平动还是转动？,专题讲座,刚体定轴转动的动力学描述,一、描述刚体转动的物理量,用角量描述定轴转动,刚体定轴转动的特点：,1. 转动平面垂直于转轴。 2. 转动平面上各点均做圆周运动，角量相同，线量不同。 3. 定轴转动刚体上各点的角速度矢量的方向均沿轴线。,角坐标: 单位：弧度（rad）,角位移： ，,角速度的大小：,单位：弧度/秒（rad/s）,角加速度的大小：,单位：弧度/秒（rad/s）,注意：、是矢量，在定轴转动中由于轴的方位不变，故用正负表示其方向。,定义力矩的大小:,方向: 与 、 成右手螺旋关系,力矩为矢量。用矢量表示为,二、对转轴的力矩,单位：Nm,二、对转轴的力矩,单位：Nm,在垂直于转轴的平面内，外力 在该平面内的分量 与力线到转轴的距离d 的乘积定义为对转轴的力矩。,大小:,方向: 与 、 成右手螺旋关系,二、刚体定轴转动定律牛顿定律的应用,定轴转动中的基本关系式,把刚体看作一个质点系，研究其中一个质量元mi,根据牛顿第二定律：,用 上式两边,两边取，得,合外力矩,合内力矩,二、刚体定轴转动定律牛顿定律的应用,则,因为,所以,故，,令,转动惯量,从而得转动定律:,合外力矩,合内力矩,二、刚体定轴转动定律,刚体定轴转动定律：刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。,转动定律和牛顿第二定律的比较,m 是物体平动惯性的量度； J 是物体转动惯性的量度。,转动定律在刚体定轴转动中的地位与牛顿第二定律在刚体平动（或质点运动）中的地位是相当的。,三、转动惯量,1. 定义,单位: m s2,刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和。,影响 J 的因素,刚体的总质量 (同分布Mm , JMJm) 刚体质量分布 (同m, J中空J实) 转轴的位置,外力矩和力、角量和线量、转动惯量和质量这三对对应关系，贯穿了整个刚体定轴转动的讨论。,2. 计算,(1) 分离质点系,例3-1. 由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量。,解：由定义式,思考： A点移至质量为2m的杆中心处 J=?,转轴,例3-2. 一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。,解: (1) 轴过中点,在杆上任取dm,(2) 轴过一端端点,在杆上任取dm,2. 计算,(1) 分离质点系,(2) 若质量连续分布,例3-3. 求质量为m，半径为R的细圆环和均匀薄圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动时的转动惯量,R,dl,解: (1)在细圆环上取一质量元,(2)在距O为r处取一宽为dr的圆环，,R,r,dr,其质量为,O,O,若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d 的平行轴z的转动惯量Jz是,四、平行轴和正交轴定律,1、平行轴定律,四、平行轴和正交轴定律,2、正交轴定律,几何形状不规则的刚体的转动惯量，由实验测定。,设一薄板如图所示，过其上一点O作z轴垂直于板面，x、y轴在板面内。,Jx、Jy、Jz分别为绕x、y、z轴的转动惯量。,例3-3. 质量为M = 16kg的实心滑轮，半径为R = 0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m = 8kg的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，求：(1) 由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。(2) 绳子的张力。,解：对滑轮、物体受力分析如图,由转动定律,由牛顿定律,(1),(2),例3-4. 如图所示，一质量为M的滑轮挂有重物m1、m2，已知m2 m1，求 T1、T2和a 。,解：,受力分析如图所示,由转动定律和牛顿第二定律可得,又有,可解得,例3-5. 一质量为m，长为l 的均质细杆，可绕垂直于平面、穿过O点的转轴转动，转轴距A 端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕 O点转动，求：(1) 水平位置的角速度和角加速度。(2) 垂直位置时的角速度和角加速度。,(1),解：已知,由平行轴定理,由转动定律可得,(2),垂直时，力矩为零。故,设棒在任意时刻位置如图,由转动定律,刚体定轴转动的机械能和力矩的功,专题讲座,一、刚体的转动动能,质元动能：,二、刚体的重力势能,刚体的重力势能,结论：刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重力势能,2. 刚体的机械能,三、力矩的功和功率,1.力矩的功：,2.合力矩的功：,3.力矩功率：,注：力矩求和只能对同一参考点(或轴)进行。,四、刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。,五、刚体定轴转动的功能原理,由动能定理,重力做功由势能计算，因此机械能为,六、刚体定轴转动的机械能守恒定律,如果A外 = 0，则,例3-7、 一质量为M、半径R的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为m的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体由静止下落高度h时其速度为多大？,解法1：受力分析如图所示,解得,对圆盘：由动能定理,对物体：由动能定理,例3-7、 一质量为M、半径R的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为m的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体由静止下落高度h时其速度为多大？,解法2：受力分析如图所示,解得,假设初始的机械能为零，则,角动量定理及角动量守恒定律,专题讲座,引人与动量对应的角量,角动量,(又称: 动量矩),1. 质点相对某一固定点的角动量,定义,问题：图示圆盘视为一个质点系，vc= 0miv= Mvc=0，如何量度转动物体的机械运动量？,一、 角动量,大小:,方向: 满足右手螺旋关系,单位:kg m2 s-1,注意: 在说明一个质点的角动量时，必须指明是对哪一个固定点而言的。,2.质点对定轴的角动量,质点绕某一定轴作平面圆周运动， 与 相互垂直，则,对照,mi对z轴的角动量：,大小：,刚体对z轴的总角动量为,1. 质点的角动量定理,二、刚体的角动量定理,质点的角动量：,对时间t求导:,质点角动量对时间的变化率等于质点所受的合力矩。,质点角动量定理微分式：,3.刚体定轴转动的角动量,称为质点所受合外力矩的冲量矩（或称角冲量），单位：m N s。,质点角动量定理积分式：,质点的角动量定理：质点在t1t2时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内质点角动量的增量。,2. 质点系的角动量定理,质点系的角动量：,对于定轴转动的刚体来说，力矩和角速度只沿着Z轴方向。,三、角动量守恒定律,当,角动量守恒定律:刚体所受合外力矩为零，则刚体的角动量保持不变。,下面看几个角动量守恒实例,3.定轴刚体的角动量定理,刚体的角动量定理：刚体在t1t2时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量的增量。,中国跳水运动员郭晶晶,例3-9. 质量为M、长为2l的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设碰撞为弹性碰撞，求碰后小球的回跳速度以及棒的角速度。,由系统角动量守恒,由机械能守恒定律,解得,解:,取向上为y正方向,解：角动量守恒,机械能守恒,例3-10. 一长为l、质量为M的杆可绕支点O自由转动。一质量为m、速度为v 的子弹射入距支点为a的棒内。若棒最大偏转角为 30o , 问子弹的初速度是多少？,解得,