大学物理电荷与真空中的静电场.ppt

2020/10/25,第二篇 电磁学,电荷与真空中的静电场 导体和电介质中的静电场 恒定电流与真空中的恒定磁场 磁介质中的恒定磁场 电磁场与麦克斯韦方程组,2020/10/25,第4章 静电场和稳恒电场,4.1 电场和电场强度 4.2 电通量 真空中静电场的高斯定理 4.3 静电场力的功 电势 4.4 电场强度和电势的关系,内容提要,2020/10/25,4.1 电荷的量子化,1.,自然界只存在两种电荷，分别称为正电荷和负电荷。,同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。,2. 电荷的量子化：电荷量不连续的性质.,通常的计算中, e 取:,带电体所带的电量： q=ne (n=1, 2, ),硬橡胶棒与毛皮摩擦后所带的电荷为负电荷。,玻璃棒与丝绸摩擦后所带的电荷为正电荷。,电荷量：物体带电荷的多少。,4.1 电场和电场强度,（微观）,（宏观）,电荷量可以看作是连续的,2020/10/25,4.2 电荷守恒定律,一个孤立系统（即与外界无电荷交换的系统）的总电荷数（正负电荷的代数和）保持不变，即电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一个部分转移到物体的另一部分。,电荷的代数和不变性,孤立系统中正、负电荷各自的量,可能发生变化，但其代数和恒保持不变。,电荷的相对论不变性,孤立系统的电量，与其运动状态无关。,电荷守恒定律对宏观过程和微观过程均适用。,2020/10/25,4.3 真空中的库仑定律,1. 点电荷,在具体问题中，当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可以忽略时，可以把带电体看作点电荷.,2. 库仑定律,真空中两个静止的点电荷之间存在着相互作用力,其大小与两点电荷的电量乘积成正比，与两点电荷间的距离平方成反比；作用力的方向沿着两点电荷的连线，同性电荷互相排斥，异性电荷互相吸引,其数学表达形式 :,静电力(库仑力),d<<r,2020/10/25,矢量形式:,真空中的电容率（介电常数）,说明,(1) 库仑定律只适用于真空中静止的点电荷；,(2) 静电力(库仑力)满足牛顿第三定律；,受力点电荷,施力点电荷,(3) 此矢量表达式不论q1、q2为同号还是异号；不论q1、q2谁是受力者都成立,电荷q2受到q1的作用力 :,2020/10/25,4.4 电场,法拉第提出近距作用,并提出力线和场的概念.,电场是物质存在的一种形态,它分布在一定范围的空间里,并和一切物质一样,具有能量、动量、质量等属性., 电场的特点:,(1) 对位于其中的带电体有力的作用;,(2) 带电体在电场中运动,电场力要做功.,电场2,电场1,2020/10/25,4.2.5 电场强度,1. 试验电荷q0,带电量足够小,点电荷,例:,将同一试验电荷 q0 放入电场的不同地点：,q0 所受电场力大小和方向逐点不同.,电场中某点P处放置不同电量的试验电荷:,所受电场力方向不变，大小成比例地变化.,电场力不能反映某点的电场性质.,2020/10/25,比值 与试验电荷 无关，仅与该点处电场性质有关.,单位：牛顿/库仑(N/C)或伏特/米(V/m).,2. 电场强度,电场中某点的电场强度 的大小,等于单位试验电荷在该点所受到的电场力的大小,其方向与正的试验电荷受力方向相同.,2020/10/25,4.6 点电荷与点电荷系的电场强度,1. 点电荷的电场强度,试验电荷q0所受的电场力为:,由场强的定义可得场强为:,点电荷的场强,(1) 的大小与 q 成正比，与 r2成反比；,(2) 的方向取决于 q 的符号.,讨论,q为正点电荷,方向和 相同,方向和 相反,q为负点电荷,2020/10/25,点电荷的电场是辐射状球对称分布电场.,2020/10/25,2. 点电荷系的电场强度,设空间电场由点电荷q1、q2、qn激发.,则各点电荷在P点激发的场强分别为:,P点的总场强为:,点电荷系在某一点产生的场强，等于每一个点电荷单独存在时在该点分别产生的场强的矢量和,电场强度叠加原理,2020/10/25,例：电偶极子的场强,有两个电荷相等、符号相反、相距为l 的点电荷+q和 -q，它们在空间激发电场。若场点P到这两个点电荷的距离比 l 大很多时，这两个点电荷构成的电荷系称为电偶极子.,由-q指向+q的矢量 称为电偶极子的轴,称为电偶极子的电偶极矩(电矩)，用表示,下面讨论：,电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度.,2020/10/25,中垂线上：,r,r,由图可知：,2020/10/25,3. 连续分布的任意带电体场强,整个带电体在P点产生的总场强为:,在带电体上任取一个电荷元 dq， dq在某点P处的场强为:,: 电荷线密度,: 电荷面密度,: 电荷体密度,2020/10/25,矢量积分步骤：,(1) 确定电荷的分布密度；,(6) 分别积分： ;,(7) 写出合场强： .,(5) 根据几何关系统一积分变量;,(4) 写出 的投影分量式: ;,(3) 选择合适的直角坐标系；,(2) 选积分元 ，得出 ;,大小：,方向在图中标出；,2020/10/25,它在空间一点P产生的电场强度. （P点到杆的垂直距离为a),解:,dq,r,由图上的几何关系:,例:,长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为 .,求:,x,则,2020/10/25,无限长带电直线,则P点的电场强度为,2020/10/25,圆环轴线上任一点P 的电场强度.,R,P,解:,dq,r,例:,半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为q .,求:,圆环上电荷分布关于x 轴对称,x,2020/10/25,求面密度为 的带电薄圆盘轴线上的电场强度,解：,P,r,例：,R,2020/10/25,(1) 当R x ，圆盘可视为无限大薄板,(2),讨论,P,x,方向:垂直于薄板,垂直于薄板向内,垂直于薄板向外,2020/10/25,2020/10/25,一、电场线,1. 定义,一组能形象地描绘电场中场强的大小分布和方向的曲线。,2. 规定,(1) 曲线上各点的切线方向为该点场强的方向,4-2 电通量 高斯定理,(2) 通过电场中某点且垂直于该 点场强的单位面积的电力线 数等于该点E的大小。,2020/10/25,2. 静电场中电场线的性质,1）电场线起始于正电荷，终止于负电荷；,2）电场线永不闭合；,3）电场线永不相交.,有源场,无旋场,2020/10/25,4.2.2 电通量,通过电场中某一曲面的电场线数.,1. 电场强度通量的定义：,2. 电场强度通量的计算:,1) 均匀电场中,平面 S 的法向矢量与场强成 角,平面 S 与场强垂直,则:,则:,平面 S 与场强不垂直,平面 S是矢量,方向：,2020/10/25,2. 非均匀电场的电通量,对闭合曲面的通量：,规定：外法线方向为正,穿出闭合曲面的电通量为正 入 负,2020/10/25,9.3.3 真空中静电场的高斯定理,Carl Friedrich Gauss (17771855) 德国数学家和物理学家,高斯定理讨论的是:,封闭曲面的电通量与该曲面内包围的电荷之间的关系,真空中的高斯定理：,在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/0倍。,表示高斯面内电荷的代数和。,S 高斯面,2020/10/25,1. 点电荷的情况,1) 通过以点电荷为球心, 半径为R的球面的电通量:,与 方向相同, 即:,对以q为中心而 R不同的任意球面而言, 其电通量都相等.,推论：,2020/10/25,2) 点电荷不位于球面的中心,3) 点电荷位于任意形状的封闭曲面内,结论: e 与曲面的形状及 q 在曲面内的位置无关.,以 q为中心作一球面S通过S的电力线都通过S.,同理:,4) 点电荷位于封闭曲面外,穿入、穿出S的电力线数相等,2020/10/25,2. 多个点电荷的情况,根据场强叠加原理:,推广: 点电荷系的情况,2020/10/25,3. 静电场的高斯定理（Gauss theorem）,(1) 高斯定理反映了静电场的性质有源场;,在真空静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的所有电量的代数和的 倍.,讨论:,(2) 是所有电荷产生的，e 只与内部电荷有关.,闭合面上各点的E是由闭合面内、外所有电荷共同激发的。,闭合面外的电荷对通过闭合面的电通量没有贡献,2020/10/25,高斯定理计算电场强度的注意点,（1） 从电荷分布的对称性来分析电场强度的对称性，判定电场强度的方向。,（2）根据电场强度的对称性特点，作相应的高斯面（通常为球面、圆柱面等），使高斯面上各点的电场强度大小相等。,（3）确定高斯面内所包围的电荷之代数和。,（4）根据高斯定理计算出电场强度大小。,选取高斯面的原则：,2) 高斯面是简单的几何面（球面、圆柱面等）或是它们的组合；,4) 选取高斯面时，可以将E从积分号内提出.,1) 所求的场点必须在高斯面上；,3) 面积元dS的法线方向与该处的电场强度的方向一致。,2020/10/25,利用高斯定理解题的一般步骤：,2) 选择适当的闭合积分曲面（高斯面）,3) 计算,4) 计算,1) 分析电场所具有的对称性质,球对称 柱对称 面对称,点电荷 球体或球面,无限长柱体 无限长柱面,无限大的平板 无限大的平面,原则：,球对称选取空的球面（乒乓球）,柱（面）对称选取空的圆柱体面（罐头盒）,使积分面上的E的大小满足相同，积分面 通过所求的场点,6) 讨论场强方向,2020/10/25,R,求均匀带电球壳内、外任一点的场强. (已知球体半径为 R , 带电量为 Q ),例:,解：,（1）求球体外任一点的场强,( r R ),作如图所示高斯面, 由高斯定理有:,电场分布具有球对称性,Q,2020/10/25,（2）求球体内任一点的场强,（ r < R ）,作如图所示高斯面, 由高斯定理有:,若为一均匀带电球体，总电量为Q，半径为R, 结果又如何?,R,Q,2020/10/25,求无限长均匀带电直线在空间任一点的场强. （已知线电荷密度为 ）,例:,解:,电场分布具有柱对称性,过直线外任一点P作一个以带电 直线为轴，以l 为高的圆柱形闭 合曲面S 作为高斯面.,r,2020/10/25,解:,电场分布具有面对称性,选取一个圆柱形高斯面（空罐头盒）,已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为.,电场强度分布,求:,例:,电场分布曲线,2020/10/25,点电荷的场中移动点电荷 从 到 ,电场做的功：,点电荷q0所受电场力为：,1 静电场力做功的特点,4.3 静电场力的功 真空中静电场的环路定理,(与路径无关),电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关。,2020/10/25,结论,一试验电荷q0在静电场中从一点沿任意路径运动到另一点时, 静电场力对它所做的功, 仅与试验电荷 q0 及路径的起点和终点的位置有关, 而与该路径的形状无关.,静电力保守力; 静电场保守力场,静电场的保守性还可表述为：在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。,静电场的环路定理,2020/10/25,3 电势能,q0 在电场中某点 a 的电势能：,点电荷q0 在电场中某点处电势能, 在数值上等于把它从该点移到零势能处静电场力所做的功.,表明：,电场力是保守力，可引入电势能的概念。,因为保守力所作的功等于势能增量的负值。,令,即选定b点为电势能零点。,电势能是相对值，大小决定于零势能点的选取,正功， 减少。,电场力作负功，电势能增加。,2020/10/25,电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为：,意义：电荷q0在静电场中某点的电势能等于将该电荷由该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。,即：,对有限带电体，通常规定无穷远处为电势能零点。, 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点.,2020/10/25,定义电势：,意义：把单位正电荷从场点a经过任意路径移到零电势参考点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在a点所具有的电势能。,将上式两边同除以q0，得：,这一比值与q0的值无关，仅取决于电场的性质及场点的位置。,已知a点的电势能：,4 电势,单位：伏特（V ）,电势和电势能一样都是相对量,通常规定无穷远处为电势零点。, 实际应用中取大地、仪器外壳等为电势零点.,2020/10/25,电势差：静电场中两点电势值的差。,意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电场力所作的功。,把q从点A移到点B 时，静电场力做的功可表示为:,已知,5 电势差,2020/10/25,1.电势能、电势、电势差都是标量，只有大小正负之分，没有方向。,2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。,对有限带电体一般选无穷远为电势零点。,注意几点：,3. 电势零点的选择：,在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。,2020/10/25,6 点电荷的电势 电势的叠加原理,取无限远处为零电势参考点，a点电势为：,1. 点电荷电场中的电势,积分路径：沿矢径方向,电场强度大小为,所以点电荷的电势为,2020/10/25,讨论：,电场线的方向指向是电势降落的方向,q0：,取无限远处为零电势参考点,各点的电势为正,电势愈低，在无限远处电势最低并为零；,顺着电场线的方向电势是逐渐减小的,结论：,当r相同,则电势相同,称为等势线（面）,由电势相等的点连成的曲线（面）,等势线（面）与电场线的关系：,等势线（面）与电场线处处正交。,电场线指向是电势降低的方向。,等势线（面）和电场线密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。,当r越来越大,2020/10/25,讨论：,电场线的方向指向是电势降落的方向,q<0：,取无限远处为零电势参考点,各点的电势为负,电势愈低,顺着电场线的方向电势是逐渐减小的,结论：,当r相同,则电势相同,等势线（面）,等势线（面）与电场线的关系：,等势线（面）与电场线处处正交。,电场线指向电势降低的方向。,等势线（面）和电场线密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。,当r越来越小,电场中任意两个相邻等势线（面）之间的电势差相同,2020/10/25,2020/10/25,2. 电势叠加原理,(1) 对q1、q2、qn构成的点电荷系:,点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点建立的电势的代数和.,电势叠加原理,(2) 电荷连续分布带电体电场中的电势,任取一电荷元dq， a点的电势为:,a点的总电势为:,2020/10/25,(2) 电荷连续分布带电体电场中的电势,任取一电荷元dq， a点的电势为:,a点的总电势为:,电势的计算,方法,（2）已知电荷分布,（1）已知场强分布,2020/10/25,(1) O点到四个顶点的距离均为:,例:,求:,(1) 正方形中心O处的电势； (2) 如果将试验电荷q0从无限远处 移到O点，电场力做功多少？,四个电量均为 q 的点电荷，分别放在边长为 a 的正方形的四个顶点上.,解：,(2),2020/10/25,例:,求同号电荷和异号电荷的电场强度和电势,解：,当q1和q2是等量同种电荷,因电场强度的方向相反,方向如图所示,电场强度为0处，电势不一定为0,2020/10/25,例:,求同号电荷和异号电荷的电场强度和电势,解：,当q1和q2是等量异种电荷,因电场强度的方向相同,方向如图所示,电势为0处，电场强度不一定为0,2020/10/25,均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为.,解:,建立如图坐标系，选取电荷元 dq.,例:,圆环轴线上一点的电势.,求:,2020/10/25,求圆盘轴上一点的电势.,取微元:,例:,解：,当 xR 时,2020/10/25,例：,求均匀带电球壳的电场的电势分布.,解：,设无限远处为电势零点, 则距离球心rP的P点处电势为：,根据高斯定理可得：,2020/10/25,讨论：,(1) 球壳内任一点的电势与球壳的电 势相等(等势);,(2) 球壳外的电势与球壳上的电荷集 中于球心的点电荷的电势相同.,2020/10/25,半径为R ，带电量为q 的均匀带电球体.,解:,根据高斯定理可得：,求:,带电球体的电势分布.,例:,对球外一点P ：,对球内一点P1 ：,2020/10/25,求电荷线密度为 的无限长带电直线的电势分布.,解：,分析: 选择某一定点为电势零点, 现选距离线长为 a 处的P0点为电势0点.,例:,2020/10/25,9.6 电场强度和电势的关系,9.6.1 等势面,电场中电势相等的点所构成的面称为等势面.,等势面的性质:,(1) 沿等势面移动电荷, 电场力不做功;,(2) 等势面处处与电场线正交;,q 0 E 0 d l 0,(3) 等势面稠密处 电场强度大.,规定: 电场中任意两个相邻等势面之间的电势差都相等,2020/10/25,2020/10/25,9.6.2 电场强度与电势梯度,取两个相邻的等势面，等势面法线方向为,把点电荷从P移到Q，电场力做功为：,，设,的,相同，,方向与,任意一场点P 处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减小的方向。,2020/10/25,讨论：,(3) 电势为零处, 场强不一定为零； 场强为零处，电势也不一定为零;,(1) 静电场各点场强的大小等于该点电势空间变化率的 最大值，方向垂直于等势面指向电势降落的方向;,(2) 在电势不变的空间, 电势梯度为零, 则场强必为零;,(4) 为我们了提供一种计算场强的方法.,某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电场强度与电势梯度的关系.,2020/10/25,静电场的基本定律库仑定律 静电场的两条基本定理高斯定理和环路定理 描述静电场的两个基本物理量电场强度和电势,本章主要内容:,第4章 电荷与真空中的静电场 小结,2020/10/25,1. 库仑定律,矢量形式:,2. 电场强度E,电场中某点处的电场强度 E 等于位于该点处的单位试验电荷所受的电场力.,一个孤立系统（即与外界无电荷交换的系统）的总电荷数（正负电荷的代数和）保持不变，即电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一个部分转移到物体的另一部分。,2020/10/25,(1) 点电荷的场强:,(2) 点电荷系的场强:,(3) 电荷连续分布的带电体的场强:,2020/10/25,矢量积分步骤：,(1) 选取坐标系;,(5) 分别积分： ;,(6) 写出合场强： .,(4) 根据几何关系统一积分变量;,(2) 选积分元，写出 ;,(3) 写出 的投影分量式: ;,2020/10/25,3. 电场强度通量的计算:,4. 静电场的高斯定理（Gauss theorem）,（不连续分布的带电体）,（连续分布的带电体）, 为电荷体密度，V 为高斯面所围体积.,在真空静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的所有电量的代数和的 倍.,2020/10/25,利用高斯定理解题的一般步骤：,2) 选择适当的闭合曲面（高斯面）,3) 计算,4) 计算,1) 分析电场所具有的对称性质,2020/10/25,5. 静电场的环路定理,在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分(环流)为零.,6. q0 在电场中某点 A 的电势能：,7. 电势:,电势的计算,方法,（2）已知电荷分布,（1）已知场强分布,2020/10/25,