古典概率.ppt

关于古典概率现在学习的是第1页，共29页概率论与数理统计序言概率论与数理统计序言一、一、 数学的特征数学的特征 1、高度抽象性、高度抽象性 2、论证方法上的演绎性、论证方法上的演绎性 3、应用的极端广泛性、应用的极端广泛性数学内部的统一性以及它与其他学科的一致性是宇宙统一性的反映 推理的这种令人惊叹的胜利,使人类的理智为今后的成就获得了所需要的信心 自然这部伟大的书是用数学语言写成的 很少有人认识到当今如此广泛称颂的高技术在本质上是一种 数学技术 现在学习的是第2页，共29页（1）是专业课必不可少的知识工具）是专业课必不可少的知识工具工具性；工具性；（2） 是培养理性思维能力最好的知识载体；是培养理性思维能力最好的知识载体；（3） 是提高科学审美意识的重要途径是提高科学审美意识的重要途径. 归纳总结的能力 演绎推理的能力 准确计算的能力 抽象的能力 联想的能力 学习新知识的能力 口头和书面表达的能力 创新的能力 灵活应用数学软件的能力 提出问题、分析问题、解决问题的能力 主动探索并善于抓住数学问题中的背景和本质的素养善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化与量化，建立数学模型的素养以数学方式理性思维，从多角度探寻解决问题的道路的素养具有良好的科学态度和创新精神，能合理提出数学猜想、数学概念的素养熟练运用准确、严格、简练的数学语言表达自己的数学思想的素养创造性原则寓于数学之中二、数学与素质培养二、数学与素质培养现在学习的是第3页，共29页三、三、 数学内容数学内容概率论与数理统计的基本内容 概率论、 数理统计与回归分析1、欧几里德几何原本2、牛顿，莱布尼兹微积分的创立3、罗巴切夫斯基非欧几何的创立 阿贝尔群论的创立基本理论基础现在学习的是第4页，共29页 如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗传因子和染色体的游动、以及处于紧张社会中的人们的行为一样，自然界中的不定性是固有的. 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象； 从婴儿的出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化， 我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.在我们所生活的世界上充满了不确定性在我们所生活的世界上充满了不确定性 这些与其说是基于决定论的法则不如说是 基于随机论法则的不定性现象，已经成为自然科学、 生物科学和社会科学理论发展的必要基础.现在学习的是第5页，共29页 从Aristoteles(亚里士多德(前384-前322)时代开始哲学家们就已认识到随机性在生活中的作用, 他们没有认识到有可能去研究随机性,甚至是去测量不定性.他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西. 将不定性数量化来尝试回答这些问题，是直到20世纪初叶才开始的. 还不能说这个努力已经十分成功了，但就是这些已得到的成果，已经给人类活动的一切领域带来了一场革命. 这场革命为研究新的设想，发展自然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道路. 而且也改变了我们的思维方法，使我们能大胆探索自然的奥秘.现在学习的是第6页，共29页 这门这门“将不定性数量化将不定性数量化”的课程就是的课程就是研究随机现象的统计规律性 起源 博弈 16 世纪, 意大利的学者 17 世纪中叶, Pascal(帕斯卡, 法), Fermat(费玛)和Huygens(惠更斯,荷) 18世纪初(1713),奠基人 Bernoulli(柏努利，法)Gauss(德)，De. Moivre (棣莫费,法)Probabiliti theory and mathematical statisties 大数定律 1812年, Laplace(拉普拉斯，法) 19世纪(1866), Chebyhev(切比雪夫，俄)概率的分析理论 中心极限理论 20世纪(1933), kolmogorov (柯尔莫哥洛夫，俄) 概率公理化定义现在学习的是第7页，共29页 一定要做到课前预习，认真听讲，课后复习，并配合做课后练习题. 提升上课的学习效率: 几乎在人类活动的一切领域中都能够不同程度几乎在人类活动的一切领域中都能够不同程度地应用概率统计所提供的地应用概率统计所提供的数学模型或方法数学模型或方法. 保持主动学习的精神保持主动学习的精神: 积极探索概念、定理的内涵与关联积极探索概念、定理的内涵与关联. . 在基本概念上在基本概念上多下功夫多下功夫. . 勤于思考，培养能力勤于思考，培养能力. .15%25%课程特点： 应用性、抽象性、逻辑性强四、 如何学好概率统计60%多做练习啊 ！ 以课堂教学为主，采用计算机课件教学以课堂教学为主，采用计算机课件教学 注重讲解知识产生的背景，结构及应用注重讲解知识产生的背景，结构及应用 抓紧课下辅导答疑抓紧课下辅导答疑 保持与教师的接触、加强同学之间的合作: 多提出问题、讨论问题.现在学习的是第8页，共29页 在一定的条件下对它加以观察时，观察的结果是多个可能结果中的某一个. 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 概率论的基础内容概率论的基础内容1 随机事件 确定现象 随机现象 一定条件下必然发生的现象；对现象的观察 实验 而且在每次观察前都无法确知其结果，即呈现出“偶然性.”或说，出现哪个结果凭机会而定. 带有随机性、偶然性的现象 在一定条件下可能发生也可能不发生的现象现在学习的是第9页，共29页 如一定的命中率，一定的分布规律等等. 但大量炮弹的弹着点则会表现出一定的规律性，A. 太阳从东方升起；B. 明天的最高温度；C. 上抛物体一定下落；D. 新生婴儿的体重.下面的现象哪些是随机现象？随机现象是不是没有规律可言?我们的生活和随机现象结下了不解之缘我们的生活和随机现象结下了不解之缘.在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性否！例如: 一门火炮在一定条件下进行射击， 个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，现在学习的是第10页，共29页 在一个容器内有许多气体分子，每个气体分子的运动存在着不定性，无法预言它在指定时刻的动量和方向. 又如又如:再如: 测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能是有差异的. 但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性， 如在一定的温度下气体对器壁的压力是稳定的，呈现“无序中的规律”. 但多次测量结果的平均值随着 测量次数的增加逐渐稳定于一常数， 并且诸测量值大多落在此常数的附近，越远则越少， 因此其分布状况呈现“两头小，中间大，左右基本对称”.现在学习的是第11页，共29页 从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的， 但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中又存在着必然的规律. 也就是说，随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面， 随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，这正是概率论所研究的对象.随机现象的统计性规律相同条件下进行大量重复试验，随机现象所呈现的规律性. 这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性，称为 为了用数学方法对这种统计规律进行研究，我们首先要对随机现象给出规范的数学描述，或说为其建立一个数学模型：现在学习的是第12页，共29页一、随机实验一、随机实验 可在相同条件下重复进行；可在相同条件下重复进行；每次试验可出现多种可能结果；每次试验可出现多种可能结果；每次试验前能明确试验的所有可能结果，但不能确定试验后会出每次试验前能明确试验的所有可能结果，但不能确定试验后会出现哪一个结果现哪一个结果. 如果试验满足：则称其为随机实验.简称试验，用 E 表示.例1(P2 例1) 掷一枚均匀对称的骰子, 观察着地时的点数. 二、随机事件 随机试验的每一个可能的结果 随机事件.简称事件，用大写字母 A、B、C 表示.例2(P2 例2) 记录一段时间内某城市110 报警次数. 出现 1 点 出现 4 点 出现奇数点 6 次报警 多于10 次报警 基本事件复合事件由多于一个的基本事件构成相对于实验目的不能再分解 例3(P2 例3) 从含有三件正品a1, a2, a3和两件次品b1, b2的五件产品中任取二件，观察抽到产品的情况. 例4(P2 例4) 从一批电脑中任取一台观察无故障运行的时间. 现在学习的是第13页，共29页 “天气可以预报” 指的是研究者从大量的气象资料来探索这些偶然现象的规律性. 随机事件发生的可能性大小是人为的吗? 随机事件发生的可能性大小是不以人们的意志为转移的, 就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样 . “天有不测风云天有不测风云” 和和 “天气可以预报天气可以预报” 矛盾吗矛盾吗?随机事件有什么特点? 首先，随机事件的发生具有偶然性，在一次试验中，可能发生，也可能不发生； 其次，在大量重复试验中，随机事件的发生具有某种规律性. * 两个极端事件每次实验都发生的事件每次实验都不发生的事件不可能事件，记为 . 记为 . 必然事件， “天有不测风云” 指的是随机现象一次实现的偶然性.掷出点数小于 7掷出点数 8 我们的工作目标就是度量随机事件发生可能性大小的方法. 现在学习的是第14页，共29页除了对案情的深入了解和分析;运用英文字母出现的规律.福尔莫斯为什么能破译出那份密码福尔莫斯为什么能破译出那份密码 ?汉字在中文文章中的出现是否也有规律 ? 人们如何利用这些规律 ?汉字编码等.现在学习的是第15页，共29页出现次数 60 62 67 68 64 56 62 44 58 67 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9你能猜出他怀疑的理由吗 ? 各数码出现次数应该近似相等，或者说，它们出现的的频率应该都接近于0.1. 7 44 但是，几十年后，曼彻斯特的费格森统计了 的611位小数后，得到下面的表，从而对它的正确性产生了怀疑.我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后 7 位，这个记录保了1000 多年！圆周率圆周率 = 3.1415926 是一个无限不循环小数，是一个无限不循环小数， 1873年，英国学者Shanks(尚克斯)公布了一个 的数值，它在小数点后共有 707 位之多!出现的次数过少！现在学习的是第16页，共29页 若将试验目的改为“观察出现正品和次品的情况”， 必然事件； 基本事件； * 样本空间就是一类特殊的集合，为了研究样本空间，必须把集合论中的结论用“事件”表述出来.如例3，(出现 1 点 ),(出现 2 点),(出现 6 点 ) 三、样本空间三、样本空间 . 6, 5, 4, 3, 2, 11 . , 2, 1, 02 ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),(212313221232211131213bbbabababaaababaaaaa 随机试验 E 的所有基本事件构成的集合称为样本空间，称 的每个元素为一个样本点， 记为 ；记为 ；即 = . 集合例1 例2 例3 例4 :,04小小时时单单位位为为无无故故障障运运行行的的时时间间ttt 数集 数集 数集 无限集 无限集 出现奇数点 = 135 多于10 次报警 = 111213 * 样本空间的元素决定于试验的目的. . ),(),(),(3次次次次，次次正正，正正正正则则 * 随机试验 E 任一事件 A 就是样本空间 的子集，由一个样本点构成的单点集： ： ： 这是我们下步讨论的重点. * 事件 A 发生 A 所包含的某样本点在实验 E 中出现.不可能事件 . 不可数集 用现代集合论这个简单的工具表述随机试验现在学习的是第17页，共29页 则称事件 A 与事件 B 相等(或等价)， 即 A 的每个样本点必在 B 中，且 B 中的每个样本点必在 A 中 . 四、事件的关系及运算四、事件的关系及运算 ，8,2,1,0 . 3, 2, 1, 0 A. 8, 7, 6, 5, 4 D1. 事件的包含与相等 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A ，记作A B 或 B A .即 A 中的每个样本点必在 B 中. 若事件 A 与 B 满足：A B 且 B A ，记作 A = B . 例5 (P4 例5 ) 在某公路随机抽查 8 辆汽车考察其中违章车的辆数. 样本空间 A: “违章车不超过 3 辆 ”， C: “有 2 至 5 辆违章”， D: “有 4 至 8 辆违章”， . 5432， CE: “违章车不少于2 辆且不多于 5 辆 ”， . 5432， E显然，.,ECDF F: “违章车多于 4 辆 ”， . 8765， F BAB: “有 2 或 3 辆违章”， . 32 ， B现在学习的是第18页，共29页推广：称 “ A1, A2, , An 中至少有一个发生 ” 为事件 A1, A2, , An 的和(并)，即 AB = | A 且 B . 2. 事件的和事件的和( (并并) ). 3, 2 . 32, 1, 0， 称事件 “ A 与 B 至少有一个发生 ”记作AB . 即 AB = | A 或 B . 称事件“A 与 B 同时发生”记作 AB ， 例5中， AB3. 事件的积(交)例5中， A B 也简记为 AB . 记作 A1A2 An ，.1iniA 或或 .,1iiA 或或 推广 称 “ A1, A2, , An 同时发生 ” 为事件 A1, A2, , An 的积(交)，记作 A1A2 An ，.1iniA 或或 .,1iiA 或或为事件 A 与 B 事件的和(并)，为事件 A 与 B 的积(交)，4. 事件的差 称事件 “ A 发生且 B 不发生”为事件 A 与 B 事件的差，记作A - B . 即 A - B = | A 且 B . 例5中， A - C. 1,0 BA BAA BABA-B现在学习的是第19页，共29页 则称事件 A 与 B 互为逆事件(对立事件). 则称事件 A 与 B 互不相容(互斥)， 5. 互不相容互不相容( (互斥互斥) )事件事件 A AA 若事件 A 与事件 B 不能同时发生，例5中，即 AB = ，或说 A 与 B 没有公共的样本点 . 推广： 若 A1, A2, , An中的任意两个事件都互不相容，则称事件 A1, A2, , An 两两互不相容 .), 2, 1,(njijiAAji 即即A 与 F ，A 与 D 都是互不相容的.6. 互逆事件(对立事件) 若事件 A 与事件 B 必有一个、且仅有一个发生，即 AB = ，AB = ， 你能说出一组两两不相容的事件吗？ 基本事件组 BAA ， AA ， A,A A .A例5中，A 与 D 互为逆事件. 互逆事件 ？ 互不相容 注 AB = 时，AB 可记为 A + B .现在学习的是第20页，共29页A( )7. 事件的运算性质事件的运算性质;BA ABABA 事件运算具有下列性质：集合;)()(,)()(CBACBACBACBA ;)(, )( )()(ACBACBACABABCA .,BABABABA 10 交换律40 对偶律30 分配律20 结合律De Mogen.BAABA ;,ABBAABBA 例6 (P7 例6 ) 设 A, B, C 为三个事件，用 A, B, C 表示下列事件: (1) A 发生，且 B 与 C 至少有一个发生； (2) A 与 B 发生，而 C 不发生； (3) A , B, C 中恰有一个发生； (4) A , B, C 中至少有两个发生； (5) A , B, C 中至多有两个发生； (6) A , B, C 中不多于一个发生. BC A BABC 不发生； CCBACBACBAACBCABABCACBCABCBACBACBACBA现在学习的是第21页，共29页事件的概率就是事件发生的可能性大小的一个数值度量. 更重要的对事件出现的可能性的大小有一个定量的描述.2 频率与概率频率与概率 研究随机现象不仅关心试验中会出现哪些事件，或者某事件发生的可能性大不大， 准确了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有重要意义. 即只有一个定性的描述是不够的， 这就需要有一个度量事件发生可能性大小的数量指标， 例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额. 了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员. 了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.现在学习的是第22页，共29页 则称n为事件A 发生的频数，特殊特殊1933年, kolmogorov 柯尔莫哥洛夫 随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形； 将等可能思想发展到含无穷多个元素的样本空间输光、得分问题克服等可能观点不易解决的问题公理化定义古典、几何定义 频率定义一、频率及其稳定性定义1(P8定义1) 如果在 n 次重复试验中事件A 发生了n 次, nn 称比值 为事件 A 在 n 次试验中发生的频率，记为 f n ( A )，nAfnn )(即A 发生的频繁程度基本性质;1)(0)1( Afn(3) 设A1, A2, , Ak 两两互不相容的事件，则;1)()2( nf)()()()(2121knnnknAfAfAfAAAf 稳定性参见P9 的三个例子事件的统计规律性？现在学习的是第23页，共29页 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦. 它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式. 如果对于 中的每一个事件A，都对应一个实数 P(A)，(2) P( )= 1 ， (3) 若事件A1 , A2 , , An , 两两互不相容，则有 )()()()(2121nnAPAPAPAAAP(1) 0 P(A) 1 ， 设 E 是随机试验， 是它的样本空间，二、概率二、概率定义2(P10定义2) 使得P(A) 满足下述三个条件： 称P(A)为事件A的概率，集合函数概率的公理化定义 在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础. 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，非负性规范性可列可加性 由概率的三条公理，我们可推导出概率的若干重要性质. 数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.)()(,APAfnn 时时现在学习的是第24页，共29页；)()(BPAP 0)( BAP又又;)()()(BPAPBAP ,)( BAB)()() )(BAPBPBABP )(AP基本性质基本性质P( ) = P( ) = P( )+ P( ) 1 = 1 + P( )= 0 ;设边长为1个单位的正方形表示样本空间 封闭曲线所围点的 集合表示事件 A把图形的面积理解为相应事件的概率 若事件 A1 , A2 , , An 两两互不相容，则有)()(2121 nnAAAPAAAP )()()()(1 PPAPAPn )()()(21nAPAPAP )()()(21nAPAPAP 对任一事件A ， A,互斥互斥与与AAAA )()()(1APAPP )(1AP )(AP 设、B是两个事件，且 B , 则有; )()()()1( BPAPBAP ).()()2(APBP 对任意两个事件A、B，有 40-BB)()()()(ABPBPAPBAP BAB,)( ABBA)(ABBABA ) )()(ABBAPBAP )()(ABBPAP )()()()(ABPBPAPBAP 50BAB 加法公式推广.)() 1()()()()(2111111nnnkjikjinjijiininiiAAAPAAAPAAPAPAP 10 20 30)(1)(APAP 可以通过计算 得到 P(A)(AP可加性区别 ？余概公式余概公式保号性现在学习的是第25页，共29页(3) 解 (1)(2),( BAP设 P(A)= 0.4, P(B)= 0.3, P(AB)= 0.6, 求P(AB), 例例7 ( (P12 例例7) ) ).(BAP, )()()()(ABPBPAPBAP )()()(PPP)()()()(BAPBPAPABP = 0. 4 + 0. 3 - 0. 6 = 0. 1 ;由加法公式 BBAABABA BA )()(ABPAP AB A= 0. 4 - 0. 1 = 0. 3 ; )(BAP余概公式)( )(1 )(BAPBPAP = 0. 4 + ( 1- 0. 3 ) - 0. 3 = 0. 8 ;)()()(BAPBPAP B现在学习的是第26页，共29页 解 设 P(A)= P(B)= P(C)= 1/4 , P(AC)= P(BC)= 1/6 , P(AB)= 0，例例8 ( (P12 例例8) ) )(CBAP)(CBAP )(1CBAP 1-(1/4 + 1/4 + 1/4 - 0 - 1/6 - 1/6 + 0 ) = 3/8 .由概率的非负性可知 ，ABABC )()()()()()()(1ABCPBCPACPABPCPBPAP 对偶律余概公式加法公式求事件 A , B, C 全不发生的概率.，又又0)( ABP，)()(ABPABCP ,0)( ABCP )(CBAP现在学习的是第27页，共29页随机实验随机事件样本空间事件的关系及运算小结小结n基本概念基本概念n概率概率 基本事件复合事件必然事件不可能事件 三个限定条件 所有基本事件构成的集合 四种关系和三种运算定义性质 5 条 定义在样本空间上满足三条公理的集合函数 计 算 ？ 现在学习的是第28页，共29页感谢大家观看现在学习的是第29页，共29页