状态方程与输出方程.ppt

现代控制理论,电子与信息工程学院,主讲人：赫健,2.1 状态空间描述的概念 2.2 一般时域描述化为状态空间描述 2.3 频域描述化为状态空间描述 2.4 根据状态变量图列写状态空间描述 2.5 根据方块图导出状态空间描述 2.6 将状态方程化为规范形式 小结,第2章 状态方程与输出方程,系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入-输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入-单输出系统极为有效，可从传递函数的零极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量，因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入-多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法状态空间分析法。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,2.1 状态空间描述的概念,一、基本定义,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,如图2.1所示的RLC网络，u为输入变量，uc为输出变量，试求其数学描述。,例题2.1,解：由图分析可知,列写该回路的微分方程为,图2.1 RLC网络图,第一种形式的数学描述,第二种形式的数学描述,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,一阶微分方程组表示形式为,向量矩阵方程表示形式为,传递函数表示形式为,第三种形式的数学描述,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,由例题2.1可知，系统的描述可分为外部描述和内部描述两种。,外部描述(输入-输出描述)：描述的前提是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系，即输入-输出间的因果关系。表征这种描述的数学方法为传递函数表示式。,内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模型，它需要有两个数学方程来组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数学表达式，称状态方程；另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换关系的数学表达式，称输出方程。,传递函数,向量矩阵方程,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,同时可以建立以下几个基本概念。,1、状态变量,状态变量是能够完整地准确地描述系统的时域行为的最小一组变量。即 、 、 。,满足： 在任何时刻t=t0，这组状态变量的值 、 、 、 都表示系统在该时刻的状态； 只要t0时状态已知，tt0时的输入电压u(t)已知，则今后的运动状态也唯一地确定了。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,2、状态向量,以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。即,3、状态空间,以各状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。,4、状态空间描述,在状态空间中建立的描述系统性能的数学模型，包括状态方程和输出方程。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,二、状态空间描述的建立,通过实际的物理模型来了解系统的建模步骤及思想，同时说明状态变量的特点。,如图2.2所示的机械系统，外力u(t)为系统的输入量，位移y(t)为系统的输出量，试求其数学描述。,例题2.2,图2.2 机械系统图,解：根据牛顿第二定律分析可得,建立步骤,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,令 、 ，则动态方程为,则系统的状态空间描述为,1、由已知条件分析得出系统的微分方程；,2、确定系统的状态变量；,3、列写系统的状态空间描述。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,如图2.3所示的RLC网络，u为输入变量，uc为输出变量，试求其数学描述。,例题2.3,解：由图分析可知,图2.3 RLC网络图, 选取状态变量x1=uc、x2=i，则,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,列写状态空间描述为, 选取状态变量x1=i、x2=uc，则,列写状态空间描述为,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,由此可见，状态变量选择的不同，则系统的状态空间描述的表达形式也是不同的。但它们描述的都是同一个物理过程，所以在它们之间一定存在某种坐标变换关系，即可以通过一个变换矩阵来相互转化。,状态变量的特点,1、状态变量的选取不唯一；,2、状态变量的个数唯一。,三、状态空间描述的表示形式,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,1、单输入-单输出(SISO)线性定常系统,在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量为阶跃函数，即u的导数为零。SISO线性定常连续系统，其状态变量为x1、x2、 、xn，则一般形式的状态空间描述写作：,式中常系数 与系统特性有关。,系统矩阵，由系统内部结构及其参数决定， 体现了系统内部的特性；,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,其中，,输入矩阵，体现了系统输入的施加情况；,输出矩阵，表达了输出变量与状态变量之间 的关系；,直接转移矩阵(或称关联矩阵)，表示了控制 向量u直接转移到输出变量y的转移关系。,以上方程可写成矩阵形式，即,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,用方块图表示如图2.4所示。,2、多输入-多输出(MIMO)线性定常系统,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,MIMO线性定常连续系统一般形式的状态空间描述为：,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,其中， 、 、 、 ，n表示系统维数，r表示输入向量的维数，m表示输出向量的维数。,以上方程可写成矩阵形式，即,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,3、多输入-多输出(MIMO)线性时变系统,4、非线性定常系统,5、非线性时变系统,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,四、系统状态空间描述的特点, 状态空间描述考虑了“输入-状态-输出”这一过程，因此它提示了问题的本质。 输入引起的状态变化是一个运动过程，数学上表现为向量微分方程，即状态方程；状态决定输出是一个变换过程，数学上表现为变换方程，即代数方程。, 对于给定系统，状态变量的选择不是唯一的。 一般来说，状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量，但从便于控制系统的结构来说，把状态变量选为可测量或可观察更为合适。系统的状态变量个数仅等于系统包含的独立贮能元件的个数。, 系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法。,要解决的问题：选取适当的状态变量，并由 确定出相应的系数矩阵A、B、C、D。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,在经典控制理论中，控制系统的时域模型：,线性定常系统的状态空间描述为：,2.2 一般时域描述化为状态空间描述,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,一、微分方程中不包含输入函数的导数,系统的微分方程：,1、选取状态变量,若给定初始条件 、 、 和t0时的输入 ，则系统的行为被完全确定，故选择 、 、 作为系统的一组状态变量，即,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,2、列写一阶微分方程组,3、列写系统的状态空间描述,状态方程：,输出方程：,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,其中， 称为酉矩阵， ， ， 。,系统结构图如图2.5所示。,注意： 状态变量是输出y及y的各阶导数； 系统矩阵A特点。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,二、微分方程中包含输入函数的导数,系统的微分方程：,1、选取状态变量,状态变量的选择原则：使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。即,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,式中 为待定系数，通过计算可得,并且 。,2、列写一阶微分方程组,3、列写系统的状态空间描述,状态方程：,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,输出方程：,选取状态变量，,例题2.4,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,解：,列写系统的一阶微分方程组，,系统的状态空间描述，,则待定系数 ，即,选取状态变量，,例题2.5,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,解：,已知系数,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,列写系统的一阶微分方程组和输出关系式，,系统的状态空间描述，,化为状态空间描述的方法采用部分分式法，按极点情况的不同分为以下两种。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,控制系统的频域描述(即传递函数)：,极点为重根,极点为互异根,2.3 频域描述化为状态空间描述,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,一、极点为互异根的情况,系统的传递函数用部分分式法可化为：,其中， 为待定系数，用留数定理可求。即,则系统输出为,令,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,1、选取状态变量,则,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,将状态变量进行拉式反变换可得,2、列写一阶微分方程组和输出关系式,而系统输出关系式进行拉式反变换可得,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,状态方程和输出方程分别为,3、列写系统的状态空间描述,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,二、极点为重根的情况,系统的传递函数用部分分式法可化为：,其中， 为待定系数，用留数定理可求。即,则系统输出为,1、极点为一个重根(即s1为n重根),(1) 选取状态变量,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,将状态变量进行拉式反变换可得,(2) 列写一阶微分方程组和输出关系式,而系统输出关系式进行拉式反变换可得,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,状态方程和输出方程分别为,(3) 列写系统的状态空间描述,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,则系统状态空间描述中的A、B、C阵形式如下：,2、极点为两个重根(即s1为l重根， s2为n-l重根),现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,则系统状态空间描述中的A、B、C阵形式如下：,3、极点既有重根，又有互异根(即s1为m重根， n-m个单根),式中，b0是直接联系输入、输出量 的前馈系数， 是严格有理真分式， 其系数用综合长除法得，,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,注意：n阶系统的传递函数为,应用长除法可得,(1-45),现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,其状态空间描述为,式中，A、B、C阵由实现方式确定，其形式不变，唯有输出方程中需要增加一项。,即,例题2.6,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,解：传递函数可化为,则待定系数为,系统的状态空间描述为,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,则,例题2.7,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,解：已知系统的极点为,待定系数为,系统的状态空间描述为,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,即,例题2.8,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,解：传递函数可化为,则系统输出为,系统的状态空间描述为,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,则待定系数为,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,状态变量图：由积分器、加法器、放大器所构成的图形表示。,根据系统状态变量图列写状态空间描述的基本思想是：把状态变量图中每个积分器的输出作为系统的状态变量。,注意： 负反馈时为“”,注意： 有几个状态变量，就建几个积分器。,2.4 根据状态变量图列写状态空间描述,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,一、一阶系统的状态空间描述,已知一阶系统的传递函数为,系统的方块图为,相当于积分环节,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,一阶系统的状态变量图为,由状态变量图可直接写出状态空间描述为,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,二、二阶系统的状态空间描述,已知二阶系统的传递函数为,相当于两个积分器串联,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,二阶系统的状态变量图为,由状态变量图可直接写出状态空间描述为,化简为,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,三、高阶系统的状态空间描述,已知高阶系统的传递函数为,则,令,高阶系统的状态变量图如图2.9所示。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,则,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,图2.9 高阶系统状态变量图,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,高阶系统的状态空间描述为,例题2.9,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,解：传递函数可化为,试绘制系统的状态变量图，并根据状态变量图写出系统的状态空间描述。,令,则,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,系统的状态变量图为,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,系统的状态空间描述为,已知系统方块图如图2.11所示，试导出系统状态空间描述。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,解： 把各环节传递函数化为最简形式,例题2.10,只有积分环节和惰性环节,2.5 根据方块图导出状态空间描述,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,则原方块图变为, 把具有简单函数相乘的环节化为单元方块的串联,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程, 选取状态变量,则,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,系统的状态空间描述为,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,在建立系统的状态空间描述时，由于状态变量选择的非唯一性，使得给定系统的状态空间描述具有不同的形式。这些不同的形式之间有一定的转换关系。,转换方法,将状态方程化为规范形式,2.6 将状态方程化为规范形式,一个n维系统的 方阵A有且仅有n个特征值。,系统的特征值就是其系数矩阵A的特征值，即特征方程 的根，也是系统传递函数的极点。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,一、系统的特征值及其不变性,线性定常系统的状态方程为 ，则,1、特征值的定义,2、系统特征值的形态不同，其状态方程的规范形式也不同。,3、特征值的性质,(3) 对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。,(2) 物理上存在的系统，方阵A为实数阵，其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。,证：设线性非奇异变换,应证明,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,证明：,对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。,(4) 设 为A的一个特征值，若存在某个n维非零向量 ，使 ，则称 为A的属于 的特征向量。即,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,(5) 设 为系数矩阵A的特征值， 是矩阵A的分别属于这些特征值的特征向量，当 两两相异时， 线性无关。因此，由这些特征向量组成的变换矩阵P必是非奇异的。即,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,(6) 若 ， 其特征多项式为 ， 特征方程为 ， 特征方程的根就是系统的特征值，即系统的极点。,定理：对于线性定常系统，如果其特征值 是两两相异的，则必存在非奇异矩阵P，通过变换 ，状态方程被化为对角规范型。即,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,二、将状态方程化为对角规范型,1、系数矩阵A具有任意形式,式中， 。,互异特征值所对应的特征向量线性无关 P是非奇异的,根据特征值与特征向量的关系 ，有,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,证明：,选择特征值 所对应的特征向量构成P矩阵，即,所以，上述等式两端左乘 为,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,将非奇异变换 ，代入 可得, 其中,求对角规范型的步骤,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,1、求系统特征值，看其是否互异；,2、求特征向量 ；,3、求变换矩阵 ， 并求出 、 、 、 ；,4、求出系统的对角规范型。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,2、系数矩阵A具有特定形式,定理：对于线性定常系统，如果其特征值 是两两相异的，且系数矩阵A具有如上形式，则将 系统化为对角规范型的变换矩阵P可取为,结论：对系统 ，设其特征值 为两两互异，并利用它们的特征向量组成变换矩阵,那么，系统的状态方程在线性变换 下，必可化为如下的对角规范型,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,对角规范型：,在对角规范型下，各个状态变量间实现了完全解耦，可表示成几个独立的状态变量方程。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,三、将状态方程化为约当规范型,1、系数矩阵A具有任意形式,式中,定理：对于线性定常系统，如果其有k个 重特征值 ，则必存在非奇异矩阵Q，通过线性 变换 ，状态方程被化为约当规范型。即,为 重特征值 所对应的约当块,证明：,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,通过非奇异线性变换 ，使,求特征向量，有 ，设 ，则,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,对于 重特征值 ，Q中有 个列向量 与 对应，即,对于其它的重特征值所对应的特征向量的求法如上，最终求出变换矩阵Q。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,2、系数矩阵A具有特定形式,定理：对于线性定常系统，系数矩阵A的形式如上，如果 其特征值 为m重根， 是两两相异的， 则变换矩阵Q为,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,令 ，其中 ，则,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,例题2.11,化为对角规范型。,例题2.12,化为对角规范型。,例题2.13,化为约当规范型。,1、状态空间描述的基本概念(状态变量、状态空间描述)； 2、状态空间描述的一般建立步骤，四种不同类型建立状态 空间描述的方法； 3、状态方程化为规范型。,现代控制理论,第2章 状态方程与输出方程,本章小结,