矩阵的特征值与矩阵的相似对角化.ppt

试卷和课件下载地址,二. 矩阵相似对角形,定义:,推论2:阶方阵相似于对角阵的充要条件是的,每一个,重特征值对应个线性无关的特征向量,把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且 在理论和应用上都有意义。,可对角化的矩阵主要有以下几种应用：,1. 由特征值、特征向量反求矩阵,例3：已知方阵 的特征值是,相应的特征向量是,解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。,因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。,即存在可逆矩阵 , 使得,其中,求得,2. 求方阵的幂,例4：设 求,解：,可以对角化。,系数矩阵,令 得基础解系:,系数矩阵,令 得基础解系:,令,求得,即存在可逆矩阵 , 使得,3. 求行列式,解：,方法1 求 的全部特征值， 再求乘积即为行列式的值。,设,的特征值是,方法2：已知 有 个不同的特征值，所以 可以对角化，,即存在可逆矩阵 , 使得,4. 判断矩阵是否相似,的特征值为,令,3阶矩阵 有3个不同的特征值，所以 可以对角化。,即存在可逆矩阵 , 使得,方法2：因为矩阵 有3个不同的特征值，所以可以对角化，,所以矩阵 能与对角阵相似。,例7：设 阶方阵 有 个互异的特征值，,阶方阵 与 有相同的特征值。,证：设 的n个互异的特征值为,则存在可逆矩阵 , 使得,所以存在可逆矩阵 , 使得,即,即存在可逆矩阵 ,使得,即 与 相似。,例8,取何值时，,方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷,多解时，求通解。,解,对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形矩阵,例9,R(A) = R(B) = 2 < 3 ,有无穷多解，此时,原方程组的同解方程组是,方程组,R（A）= 2 ，R（B）= 3 ，方,程组无解。,得通解为：,