线性空间与线性变换(重要).ppt

第三章 线性空间与线性变换,3.1 线性空间的定义与性质,0,数轴,平面,三维空间,常见的几何空间：,几何空间R3的运算,运算规律,加法：,数乘：,对几何空间进行推广，通过抽象出几何空间线性运算的本质； 在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。,线性空间,若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作,定义 设 是一个非空集合， 为一个数域如果 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律:,那么 就称为数域 上的线性空间,2 判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间,注,1 凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算,特别地，当集合中定义的加法和乘数运算是通常 的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性,例1 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ,注,加法：,数乘:,例3 全体正实数R+,定义加法和数量乘法如下：,解：,零元为常数1,故在该加法和数乘运算下，对应集合构成实数域上的线性空间。,负元为1/a,注：线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.,线性空间的简单性质： 零元素是唯一的； 负元素是唯一的； 0=0;k0=0;(-1)=- ； 如果k=0,那么k=0或=0。,01=01+02=02,-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2),=(-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2,3.4 线性子空间,对三维几何空间：,任何过原点的平面是R3的子集,在该平面上的所有向量对于向量的加法和数乘运算构成一个二维的线性空间。,线性子空间,定义：设W是数域F上线性空间V的非空子集合.如果 W中的向量对V中所定义的向量加法和数乘运算也构成 F上的线性空间，则称W为V的线性子空间,简称子空间.,定理: W是V的非空子集合，则W是V的子空间的充要 条件是,V的子空间,注,V和零子空间是V的平凡子空间；,其它子空间称为V的真子空间.,生成子空间,3.2 向量的线性相关性,如果线性空间V以通常的向量作为元素，即V中含有无穷多个向量。如何用有限个向量刻划空间中的所有向量？需要讨论向量间的关系.,如三维几何空间：,线性组合与线性表示,设V是数域F上的一个线性空间， 是V 中的一组向量， 是数域F 中的数，那么向量,称为向量 的一个线性组合，有时也称向量 可以由 线性表示。,例1:,线性相关与线性无关,设V是数域F上的一个线性空间，且 如果在数域F中存在s 个不全为零的数 ,使得,则称向量组 线性相关.,否则称向量组 线性无关，即若,则必有,进一步来理解向量组的线性相关与线性无关,考虑等式,注：(1)给定向量组 ，该向量组要么线性相关，要么线性无关。,(2)含有零向量的向量组一定线性相关。,(3)向量组只包含一个向量 时：,若 ,则说 线性相关；,若 ,则说 线性无关。,解：令,即,故,解：令,即,系数矩阵为方阵,故方程组Ax=0存在非零解. 即 线性相关.,即r(A)=2<3，故Ax=0存在非零解.,另解：,同理，对 ,令,即,故 线性无关.,注：向量组只包含两个非零向量 时，则,定理1 n维列向量组 线性相关的充要条件是r(A)< s，其中,线性相关性的判定,推论 n个 n维列向量组 线性相关的充要条件是|A|=0，其中,注：若给定的是行向量组，需要将其转化成列向量组。,例5 设,判断 是线性相关还是线性无关？,解,故r(A)=3<5,28,证,定理2 向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其他向量线性表示.,定理3,线性相关,线性相关,定理4,线性无关,线性相关,部分相关, 则整体相关;,整体无关, 则部分无关.,向量组的等价,性质,定理1 下列命题等价,(1),(2) C的行向量组可由B的行向量组线性表示,(3) C的列向量组可由A的列向量组线性表示,推论1 矩阵A经过初等行(列)变换化为B, 则,A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。,定理2 若向量组 线性无关，且可由 线性表示，则,推论2 等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量.,3.4 线性子空间,对三维几何空间：,任何过原点的平面是R3的子集,在该平面上的所有向量对于向量的加法和数乘运算构成一个二维的线性空间。,线性子空间,定义：设W是数域F上线性空间V的非空子集合.如果 W中的向量对V中所定义的向量加法和数乘运算也构成 F上的线性空间，则称W为V的线性子空间,简称子空间.,定理: W是V的非空子集合，则W是V的子空间的充要 条件是,V的子空间,注,V和零子空间是V的平凡子空间；,其它子空间称为V的真子空间.,生成子空间,如果线性空间中含有无穷多个向量。如何找出有限个向量刻划空间中的所有向量？,如三维几何空间：,3.4 线性子空间,基、维数和坐标,注: (1)规定V= 为零维空间. (2)有限维线性空间V的基不唯一.,向量组的秩,(一) ：若以 的部分组为基,寻基求秩 的过程,明确向量组线性 关系的过程,(找最大线性无关组的过程),43,解,继续行变换,(行最简形),总结：求列向量组最大线性无关组或生成子空间,的基：,(1)将向量按列写成矩阵：,(2)用初等行变换将矩阵化为行阶梯形；,(3)行阶梯形非零行的行数r即为空间的维数；,(4)如果行阶梯形每个非零行的首非零元对应列指标为 ，则,(5)若要明确其他向量和最大无关组的线性关系，需继 续进行行变换将矩阵化为行最简形.,注：若生成向量组为行向量组，则可以转置为列向量组，选取部分组为对应子空间的基.,转置不改变行向量组的线性关系。,(二) ：若不以 的部分组为基,则需要找与 等价的线性无关向量组,(二) ：若不以 的部分组为基,Recall 推论 矩阵A经过初等行(列)变换化为B, 则,A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。,初等行变换,(行阶梯形),解：,行变换,故,是所求空间的一组基.,矩阵的行秩与列秩,给定矩阵A，,称矩阵A的行向量组生成的子空间R(A), 对应空间的维数为矩阵的行秩；,称矩阵A的列向量组生成的子空间C(A)， 对应空间的维数为矩阵的列秩.,回顾：求列向量组生成子空间的维数：,(1)将向量按列写成矩阵：,(2)用初等行变换将矩阵化为行阶梯形；,(3)行阶梯形非零行的行数即为空间的维数。,初等行变换,行向量组：,(行秩=矩阵的秩),(列秩=矩阵的秩),3.6 欧氏空间,对三维几何空间：,定义了向量长度，向量夹角,线性空间中对向量如何度量？,向量的内积,向量的长度与夹角,欧氏空间的标准正交基,59,得,即,解：,施密特正交化,61,例2. 用施密特正交化方法, 将向量组,化成标准正交向量组.,先正交化：,取,解：,62,再单位化：,得规范正交向量组如下,63,证明,定理,A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列(行)向量,都是单位向量且两两正交.,正交矩阵,64,例3. 判别下列矩阵是否为正交阵,所以它不是正交矩阵,(1) 考察矩阵的第一列和第二列,由于,65,所以它是正交矩阵,(2) 由于,66,有关正交矩阵的一些结论:,设 A, B 都是 n 阶正交矩阵, 则,