2022年八种求数列通项的方法已知递推公式求通项公式 .pdf

名师精编优秀资料八种求数列通项公式的方法一、公式法例 1 已知数列na满足123 2nnnaa，12a，求数列na的通项公式。解：123 2nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 2nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列na的通项公式。. 二、累加法例 2 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()2(1)12(2)1(221)(21 1)12(1)(2)21(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页名师精编优秀资料例 3 已知数列na满足112 313nnnaaa，求数列na的通项公式。解：由12 31nnnaa得12 31nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan评注：本题解题的关键是把递推关系式12 31nnnaa转化为12 31nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa， 即得数列na的通项公式。例4已知数列na满足1132 313nnnaaa，求数列na的通项公式。解：132 31nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(1 3)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页名师精编优秀资料评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa，即得数列3nna的通项公式，最后再求数列na的通项公式。三、累乘法例 5 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1) (2)2 1(1)122(11)52(21)52(21)5 2(11)5 32 (1)3253325!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn所以数列na的通项公式为(1)12325!.n nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana， 进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列na的通项公式。例 6 已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan， 求na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan所以1123123(1)nnnaaaanana用式式得1.nnnaana则1(1)(2)nnana n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页名师精编优秀资料故11(2)nnanna所以13222122! (1)4 3.2nnnnnaaanaan naaaaa由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入得!1 3 4 52nnan。所以，na的通项公式为!.2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaa， 从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列na的通项公式。四、待定系数法例 7已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1152(5 )nnnnaxax将123 5nnnaa代入式，得123 55225nnnnnaxax，等式两边消去2na， 得13 5525nnnxx， 两 边 除 以5n， 得352 ,1,xxx则代 入 式 得1152(5 )nnnnaa由1156510a及式得50nna，则11525nnnnaa，则数列5 nna是以1151a为首项，以2 为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式123 5nnnaa转化为1152(5 )nnnnaa，从而可知数列5 nna是等比数列，进而求出数列5 nna的通项公式，最后再求出数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页名师精编优秀资料na的通项公式。例 8 已知数列na满足1135 241nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1123(2)nnnnaxyaxy将13524nnnaa代入式，得1352423(2)nnnnnaxyaxy整理得(52 )24323nnxyxy。令52343xxyy，则52xy，代入式得115 223(5 22)nnnnaa由115 221 12130a及式，得5220nna，则115223522nnnnaa，故数列5 22nna是以115 221 1213a为首项，以3 为公比的等比数列，因此15 2213 3nnna，则113 3522nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nnnaa转化为115 223(5 22)nnnnaa，从而可知数列522nna是等比数列，进而求出数列5 22nna的通项公式，最后再求数列na的通项公式。例 9 已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz将212345nnaann代入式，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页名师精编优秀资料2222345(1)(1)2()nnannx ny nzaxnynz，则222(3)(24)(5)2222nnax nxynxyzaxnynz等式两边消去2na，得22(3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz，解方程组3224252xxxyyxyzz，则31018xyz，代入式，得2213(1)10(1) 182(31018)nnannann由213 110 1 181 31320a及式，得2310180nann则2123(1)10(1) 18231018nnannann，故数列231018nann为以213 110 1 181 3132a为首项，以2 为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1) 182(31018)nnannann，从而可知数列231018nann是等比数列， 进而求出数列231018nann的通项公式， 最后再求出数列na的通项公式。五、对数变换法例 10 已知数列na满足5123nnnaa，17a，求数列na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，所以100nnaa，。在512 3nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页名师精编优秀资料将式代入11 式，得5lglg 3lg 2(1)5(lgnnanx nyaxny，两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg 255x nxyxny，则lg35lg 25xxxyy，故lg 34lg 3lg 2164xy代入11 式，得1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan12由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg1lg 71041644164a及12 式，得lg 3lg 3lg 2lg04164nan，则1lg3lg3lg 2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan，所以数列lg 3lg 3lg 2lg4164nan是以lg 3lg 3lg 2lg 74164为首项，以5 为公比的等比数列，则1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg(lg 7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg2lg3lg 3lg2lg(lg 7)54164464(lg 7lg3lg3lg2 )5lg3lg 3lg 2lg(7 332 )5lg(332 )lg(7 332 )5lg(332 )lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式512 3nnnaa转化为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页名师精编优秀资料1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg 3lg 3lg 2lg4164nan是等比数列，进而求出数列lg 3lg 3lg 2lg4164nan的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。六、迭代法例 11 已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa所以12323(112nnnnnnnnnaaa2(2 )(1)32(2)(1)3(3)(2 )(1)112(3)(2 )(1)(1)123(1)223(2) 23(1)233(2)(1)2332 3(2) (1)213! 21nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaa又15a，所以数列na的通项公式为(1)123!25n nnnna。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21nnnnaa两边取常用对数得1lg3(1) 2lgnnnana，即1lg3(1)2lgnnnana，再由累乘法可推知(1)123! 213211221lglglglglglglg5lglglglgn nnnnnnnnaaaaaaaaaa，从而1(1)3! 225nn nnna。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页名师精编优秀资料七、数学归纳法例 12 已知数列na满足11228(1)8(21) (23)9nnnaaann， 求数列na的通项公式。解：由1228(1)(21) (23)nnnaann及189a，得2122322243228(1 1)88224(2 1 1) (2 13)99 25258(21)248 348(221) (223)2525 49498(3 1)488 480(231) (233)4949 8181aaaaaa由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n时，212(2 1 1)18(2 1 1)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，1228(1)(21) (23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1)(21)(21) (23)(21)1(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(21)(21) (23)(23)1(23)2(1) 112(1) 1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页名师精编优秀资料由此可知，当1nk时等式也成立。根据（ 1） ， （2）可知，等式对任何*nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例 13 已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa， 求数列na的通项公式。解：令124nnba，则21(1)24nnab故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得221111(1)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为1240nnba，故111240nnba则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以3nb是以1131243124 132ba为首项，以21为公比的等比数列，因此12113 2( )( )22nnnb，则21()32nnb，即21124( )32nna，得2 111()()3 423nnna。评注：本题解题的关键是通过将124na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列3nb为等比数列， 进而求出数列3nb的通项公式，最后再求出数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页