大学课件 高等数学 下学期 7-1（多元函数）.ppt

1/37,第一节 多元函数,一、平面点集,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,五、小结,2/37,一、平面点集,1. 平面点集、n 维空间,一元函数,平面点集,n 维空间,实数组(x, y)的全体,即,建立了坐标系的平面称为坐标面.,坐标面,坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为,平面点集,记作,二元有序,3/37,2.邻域,设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点,几何表示：,. P0,令,有时简记为,称之为, 将邻域去掉中心, 也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界),称之为,的全体点称之为点P0邻域.,去心邻域.,4/37,(1) 内点,显然, E的内点属于E.,(2) 外点,如果存在点P的某个邻域,则称P为E的,外点.,(3) 边界点,如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.,3. 任意一点,与任意一点集,之间,必有以下三种关系中的一种:,设E为一平面点集,若存在,称P为E的,内点.,E的边界点的全体称为E的,边界,记作,使U(P) E = ,5/37,4.聚点,如果对于任意给定的,点P的去心邻域,内总有E中的点,则称P是E的,聚点.,例如, 设点集,(P本身可属于E,也可不,属于E ),则P为E的内点;,则P为E的边界点,也是E的聚点.,E的边界,为集合,6/37,6.平面区域,设D是开集.,连通的开集称区域,连通的.,如对D内任何两点,都可用折线连,且该折线上的点都属于D,称开集D是,或开区域.,如,都是区域.,5.开集,若E的任意一点都是内点,例,称E为开集.,E1为开集.,结起来,7/37,开区域连同其边界,称为,7.有界区域,否则称为,都是闭区域 .,如,总可以被包围在一个以原点为中心、,适当大的圆内的区域,称此区域为,半径,(可伸展到无限远处的区域 ).,闭区域.,有界区域.,无界区域,8/37,有界开区域,有界半开半闭区域,有界闭区域,无界闭区域,9/37,n 元有序数组,的全体,n 维空间中的每一个元素,称为空间中,称为该点的第k个坐标.,n维空间中两点,的距离定义为,n 维空间中点,记作,及,的邻域为,8. n 维空间,n 维空间.,称为,即,的一个点,10/37,二、多元函数的概念,1. 二元函数的定义,(1) 定义,按着这个关系有唯一确定的,称为该函数的,则称z是x, y的,若变量z与D,中的变量x, y之间有一个依赖关系,设D是xOy平面上的点集,使得在D内,每取定一个点P(x, y)时,z值与之对应,记为,称x, y为,的,数集,二元(点)函数.,称z为,自变量,因变量,定义域,值域.,点集D称为该函数,11/37,二元及二元以上的函数统称为,(2) 多元函数定义域,定义域为符合实际意义的,自变量取值的全体.,记为,函数 在点 处的函数值,或,类似,可定义n元函数.,多元函数.,实际问题中的函数:,自变量取值的全体.,纯数学问题的函数:,定义域为使运算有意义的,12/37,例1. 求下面函数的定义域.,解.,无界闭区域,即定义域为,13/37,解.,定义域是,有界半开半闭区域,14/37,2. 二元函数的几何意义,二元函数的图形通常是一张,曲面.,15/37,的图形是双曲抛物面.,如,由空间解析几何知,函数,的图形是以原点为中心,R为半径的上半球面.,又如,最后指出,从一元函数到二元函数,在内容,和方法上都会出现一些实质性的差别,而多元,函数之间差异不大.,因此研究多元函数时,将以,二元函数为主.,16/37,三、多元函数的极限,讨论二元函数,(1) P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的,路径又是多种多样的.,方向有任意多个,17/37,(2) 变点P(x,y),这样,可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.,总可以用,来表示极限过程:,与定点P0(x0,y0)之间的距离记为,不论,的过程多复杂,18/37,记作,1、定义,有,成立.,的极限.,设二元函数,P0(x0, y0)是D的聚点.,的定义,域为D,如果存在常数 A,也记作,19/37,相同点,多元函数的极限与一元函数的极限的,一元函数在某点的极限存在的充要,?,定义相同.,差异为,必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋,而多元函数,于P0时,相同点和差异是什么,条件是左右极限都存在且相等;,都有极限,且相等.,想一想：,20/37,则当,例2.,证.,取,有,证毕.,21/37,2、确定极限,不存在,的常用方法,则可断言极限不存在;,若极限值与 k 有关,(1),(2),此时也可断言,找两种不同趋近方式,但两者不相等,处极限不存在.,存在,沿直线,(3),22/37,设函数,证明:,证.,函数的极限不存在.,例3.,当P(x, y) 沿直线 y = kx 的方向,其值随k的不同而变化.,所以,极限不存在,无限接近点(0,0)时,23/37,取,解.,例4.,极限不存在.,取,24/37,四、多元函数的连续性,设二元函数,则称函数,1、定义,P0(x0, y0)为D的聚点，且 P0D.,如果,连续.,如果函数 f (x, y) 在开区域(闭区域)D内的,每一点连续,则称函数,在D内连续,或称函数,是 D内的连续函数.,的定义域为D,25/37,的不连续点,若函数 在点 P0(x0, y0)不连续,称P0为函数,间断点.,若在D内某些孤立点,没有定义,或沿D内某些曲线,但在D内其余部分,都有定义,则在这些孤立点或这些曲线,上,即间断点.,函数,都是函数,则,在单位圆,函数,处处是间断点.,26/37,称为多元初等函数,积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.,同一元函数一样,多元函数的和、差、,每个自变量的基本初等函数经有限次四则,运算和有限次复合,由一个式子表达的函数,处均连续.,在它们的定义域的内点,27/37,有界闭区域上连续的多元函数的性质,至少取得它的最大值和最小值各一次,介于这两值之间的任何值至少一次,(1) 最大值和最小值定理,(2) 介值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上,在有界闭区域D上的多元连续函数,如果,在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得,2、,28/37,多元函数的极限的基本问题有三类,(1) 研究二元函数极限的存在性.,常研究,若其依赖于k,则,欲证明极限存在,*,特别对于,*,不存在.,常用定义或夹逼定理.,欲证明极限不存在,(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.,(2) 求极限值.,常按一元函数极限的求法求之.,(3) 研究二重极限与累次极限(二次极限)间的关系.,(罗必达法则除外),3、,29/37,例5. 求极限,解.,其中,30/37,例6. 求极限,解.,将分母有理化,得,31/37,证明 f( x, y)在,证.,xOy面上处处连续.,是初等函数，,处处连续.,例7.,32/37,又,于是,即证明了f(x, y)在,由于,xOy面上处处连续.,33/37,五、小结,多元函数的极限,多元函数连续性,有界闭区域上连续多元函数的性质,(与一元函数的极限加以比较:注意相同点与差异),多元函数的概念,内点, 边界点, 聚点, 开集, 连通, 区域,