定点乘法运算定点乘法运算讲稿.ppt

定点乘法运算定点乘法运算第一页，讲稿共三十二页哦1.1.串行加法器的优劣分析串行加法器的优劣分析 不需要很多器件，硬件结构简单；不需要很多器件，硬件结构简单；速度太慢，执行一次乘法操作的时间至少是加法操速度太慢，执行一次乘法操作的时间至少是加法操 作的作的n n倍；倍；由于乘法操作大约占全部算术运算的由于乘法操作大约占全部算术运算的1/31/3，故采用高速乘，故采用高速乘法部件是非常必要的。法部件是非常必要的。2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第二页，讲稿共三十二页哦 设设n n位位被乘数和乘数用定点小数表示被乘数和乘数用定点小数表示(定点整数也同样适用定点整数也同样适用)被乘数被乘数 x x 原原x xf f.x.xn n1 1 x x1 1x x0 0 乘数乘数 y y 原原y yf f.y.yn n1 1 y y1 1y y0 0 则乘积则乘积 z z 原原(x xf fy yf f)(0.(0.x xn n1 1 x x1 1x x0 0)(0.)(0.y yn n1 1 y y1 1y y0 0)式中，式中，x xf f为被乘数符号，为被乘数符号，y yf f为乘数符号。为乘数符号。2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法2.2.乘法的手工算法乘法的手工算法第三页，讲稿共三十二页哦(2)(2)习惯方法求乘积的运算过程：习惯方法求乘积的运算过程：设设0.1101,0.1101,0.10110.1011 0.1 1 0 1 (x)0.1 0 1 1 (y)1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0+1 1 0 10.1 0 0 0 1 1 1 1 (z)解解:(1):(1)乘积符号的运算规则乘积符号的运算规则：同号相乘为正，异号相乘为负。同号相乘为正，异号相乘为负。2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第四页，讲稿共三十二页哦3.3.不带符号的阵列乘法器不带符号的阵列乘法器设有两个不带符号的二进制整数设有两个不带符号的二进制整数 Aam1a1a0 ,Bbn1b1b0它们的数值分别为它们的数值分别为a和和b,即：即：10101010102222njminjnmkkkjijijjmiiipbabaabp)()()(2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法m-1a ai2ii0n-1b bj2jj0在二进制乘法中在二进制乘法中,被乘数被乘数A与乘数与乘数B相乘相乘,产生产生mn位乘积位乘积P：Ppmn1p1p0 乘积乘积P 的数值为的数值为:第五页，讲稿共三十二页哦 am-1 am-2 a1 a0 )bn-1 b1 b0 am-1b0 am-2b0 a1b0 a0b0 am-1b1 am-2b1 a1b1 a0b1 .+)am-1bn-1 am-2bn-1 a1bn-1 a0bn-1pm+n-1 pm+n-2 pm+n-3 pn-1 p1 p0(1)(1)习惯方法运算过程：习惯方法运算过程：2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第六页，讲稿共三十二页哦(2)(2)并行乘法器并行乘法器 这种乘法器要实现这种乘法器要实现n n位位n n位时位时,需要需要n n(n n1)1)个全加器和个全加器和n n2 2个个“与与”门。门。2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第七页，讲稿共三十二页哦2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第八页，讲稿共三十二页哦 令令T Ta a为为“与门与门”的传输延迟时间，的传输延迟时间，T Tf f为为全加器全加器(FA)FA)的进位传输延迟时间，假定的进位传输延迟时间，假定用用2 2级级“与非与非”（2 2T T）逻辑来实现逻辑来实现FAFA的进位链功的进位链功能，那么就有：能，那么就有：T Ta a T Tf f 2 2T T阵列乘法器延迟时间阵列乘法器延迟时间2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第九页，讲稿共三十二页哦BiCi&Ai&Ci+1&ACiBiCiAiBiACiBiCiAiBiCi+1 2TC1C2C32T2T3T3TCn-1Cn2T3TS0S1S2Sn-1ta(n-1)n-1)2 2T T3 3T T3T3T第十页，讲稿共三十二页哦T Tm m T Ta a(n n2)2)6T 6T 3T 3T T Tf f (n-2)(n-2)T Tf f+3T+3T 2 2T T(n n2)2)6 6T T 3T 3T 2T 2T (n-2)(n-2)2T+3T2T+3T (8(8n n6)6)T T最坏情况下延迟途径最坏情况下延迟途径,即是沿着矩阵即是沿着矩阵P P4 4垂直线和最下面的一行垂直线和最下面的一行。因而得。因而得n n位位n n位不带符号的阵列乘法器总的乘法时间为：位不带符号的阵列乘法器总的乘法时间为：第十一页，讲稿共三十二页哦 例例16 16 已知两个不带符号的二进制整数已知两个不带符号的二进制整数 A A 11011,11011,B B 10101,10101,求每一部分乘积项求每一部分乘积项a ai ib bj j 的值与的值与p p9 9p p8 8p p0 0的值。的值。2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法 1 1 0 1 1=A(2710)1 0 1 0 1=B(2110)1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 +1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1=P第十二页，讲稿共三十二页哦解解:a4b01 a3b01 a2b00 a1b01 a0b01 a4b10 a3b10 a2b10 a1b10 a0b10 a4b21 a3b21 a2b20 a1b21 a0b20 a4b30 a3b30 a2b30 a1b30 a0b30 a4b41 a3b41 a2b40 a1b41 a0b41 Pp9p8p7p6p5p4p3p2p1p01000110111(56710)2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第十三页，讲稿共三十二页哦4.4.带符号的阵列乘法器带符号的阵列乘法器(1)(1)对对2 2求补器电路求补器电路例例1 1：对对10101010求补。求补。1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0例例2 2：对对10111011求补。求补。1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1方法（变补）：方法（变补）：从数的最右端从数的最右端a a0 0开始开始,由由右向左右向左,直到找出第一直到找出第一个个“1 1”,例如例如a ai i1,1,00i in n。这样这样,a ai i以左以左的每一个输入位都求反的每一个输入位都求反,即即1 1变变0,00,0变变1 1。2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第十四页，讲稿共三十二页哦 1 0 1 0 0 1 1 0 12.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法E=0 E=0 则则 a ai i*=a=ai iE=1 E=1 则则 a ai i*=a=ai i 变补变补第十五页，讲稿共三十二页哦 用这种对用这种对2 2求补器来转换一个求补器来转换一个(n n1)1)位带符号的数，位带符号的数，所需的总时间延迟为：所需的总时间延迟为：t tTCTCn n2 2T T5 5T T(2(2n n5)5)T T 其中每个扫描级需其中每个扫描级需2 2T T延迟，而延迟，而5 5T T则是由于则是由于“与与”门门和和“异或异或”门引起的。门引起的。延迟时间：延迟时间：2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第十六页，讲稿共三十二页哦(2)(2)带符号的阵列乘法器带符号的阵列乘法器2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第十七页，讲稿共三十二页哦包括求补级的乘法器又称为包括求补级的乘法器又称为符号求补的阵列乘法器。符号求补的阵列乘法器。在这种逻辑结构中，共使用三个求补器在这种逻辑结构中，共使用三个求补器:两个算前求补器两个算前求补器 作用是：将两个操作数作用是：将两个操作数A A和和B B在被不带符号的乘法阵列在被不带符号的乘法阵列(核心部件核心部件)相乘以前，先变成正整数。相乘以前，先变成正整数。算后求补器算后求补器 作用则是：当两个输入操作数的符号不一致时作用则是：当两个输入操作数的符号不一致时，把运算结果变成带符号的数把运算结果变成带符号的数(补码补码)结构结构:2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第十八页，讲稿共三十二页哦 设设A A=a an na an-1n-1a a1 1a a0 0和和B B=b bn nb bn-1n-1b b1 1b b0 0均为用定点表示均为用定点表示的的(n n1)1)位带符号整数。位带符号整数。在必要的求补操作以后，在必要的求补操作以后，A A和和B B的码值输送给的码值输送给n nn n位不位不带符号的阵列乘法器，并由此产生带符号的阵列乘法器，并由此产生2 2n n位的乘积位的乘积:A AB BP PP P2 2n n1 1P P1 1P P0 0p p2 2n na an nb bn n 其中其中P P2 2n n为符号位。为符号位。运算：运算：2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第十九页，讲稿共三十二页哦带求补级的阵列乘法器用于原码乘法带求补级的阵列乘法器用于原码乘法 在原码乘法中，算前求补和算后求补都不需要，因在原码乘法中，算前求补和算后求补都不需要，因为输入数据都是立即可用的。为输入数据都是立即可用的。例例 设设x=+15x=+15，y=-13y=-13，用带求补器的原码阵列乘法用带求补器的原码阵列乘法求出乘积求出乘积x x*y=y=？解：设最高位为符号位，输入数据为原码：解：设最高位为符号位，输入数据为原码：xx原原=0 011111111 yy原原=1 111011101 因符号单独考虑，所以：因符号单独考虑，所以：|X|=1111X|=1111，|y|=1101|y|=11012.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第二十页，讲稿共三十二页哦 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 +1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 符号位运算：符号位运算：0 0 1=11=1 加上乘积符号位加上乘积符号位1 1，得：，得：x x*yy原原=1 11100001111000011 换算成二进制数真值是换算成二进制数真值是:X X*Y=(-11000011)Y=(-11000011)2 2=(-195)=(-195)1010 十进制乘法验证：十进制乘法验证：15 15*（-13-13）=-195=-1952.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第二十一页，讲稿共三十二页哦带求补级的阵列乘法器用于补码乘法需使用求补器。带求补级的阵列乘法器用于补码乘法需使用求补器。例例 设设x=15x=15，y=-13y=-13，用带求补器的补码阵列乘法器求出用带求补器的补码阵列乘法器求出乘积乘积x x*y=y=？并用十进制乘法进行验证。并用十进制乘法进行验证。解：设最高位为符号位，输入数据用补码表示：解：设最高位为符号位，输入数据用补码表示：xx补补=01111=01111 yy补补=10011=10011 乘积符号位运算：乘积符号位运算：X X0 0 Y Y0 0=0=0 1=1 1=1 表示乘积为负表示乘积为负的。的。算前求补器输出为算前求补器输出为|X|=1111X|=1111，|y|=1101|y|=11012.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法第二十二页，讲稿共三十二页哦2.3.3 2.3.3 原码并行乘法原码并行乘法 201122niiinnaaN补码与真值转换公式补码与真值转换公式:1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1+1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 因乘积为负的，所以算后求补器输出时应按因乘积为负的，所以算后求补器输出时应按负数求补码的变换方法将结果变为：负数求补码的变换方法将结果变为：1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 10 1 1补补=00111101=00111101 并在最高位加上乘积符号并在最高位加上乘积符号1 1，最后得补码的乘积值，最后得补码的乘积值：x x*yy补补=1 10011110100111101。利用补码与真值换算公式，补码二进制数真值是利用补码与真值换算公式，补码二进制数真值是X X*Y=Y=-1-1*2 28 8+1+1*2 25 5+1+1*2 24 4+1+1*2 23 3+1+1*2 22 2+1+1*2 20 0=(-195)=(-195)1010 十进制数乘法验证：十进制数乘法验证：X X*Y=15Y=15*（-13-13）=-195=-195第二十三页，讲稿共三十二页哦2.3.4 2.3.4 补码并行乘法补码并行乘法1.1.补码与真值的转换公式补码与真值的转换公式 补码乘法因符号位参与运算补码乘法因符号位参与运算,可以完成补可以完成补码数的码数的“直接直接”乘法乘法,而不需要求补级（节省而不需要求补级（节省时间）。这种直接的方法排除了较慢的对时间）。这种直接的方法排除了较慢的对2 2求求补操作补操作,因而大大加速了乘法过程。因而大大加速了乘法过程。第二十四页，讲稿共三十二页哦 202niiia 20211niiia)(N=an-1=0(N补补为正为正)an-1=1(N补补为负为负)现考虑一个定点补码整数现考虑一个定点补码整数 N N 补补a an n1 1a an n2 2a a1 1a a0 0，其中其中 a an n1 1是符号位是符号位。根据根据 N N 补补的符号，补码数的符号，补码数 N N 补补和真值和真值N N的关系，可以表示成：的关系，可以表示成：2.3.4 2.3.4 补码并行乘法补码并行乘法第二十五页，讲稿共三十二页哦 将负权因数将负权因数 -2-2n n-1-1强加到符号位强加到符号位a an n-1-1上，可以把上述方程上，可以把上述方程组中的两个位置表达式合并成下面的统一形式：组中的两个位置表达式合并成下面的统一形式：201122niiinnaaN121212011 niiinnaaN)()(以上两式是等价的。以上两式是等价的。2.3.4 2.3.4 补码并行乘法补码并行乘法第二十六页，讲稿共三十二页哦 例例19 19 已知已知:N N 补补 01101,-01101,-N N 补补10011,10011,求求 N N 补补,-,-N N 补补具有的数值。具有的数值。2.3.4 2.3.4 补码并行乘法补码并行乘法 解解:N N 补补01101 01101 具有的数值为：具有的数值为：N N0 02 24 41 12 23 31 12 22 20 02 21 11 12 20 0 (13)13)1010 N N 补补10011 10011 具有的数值为：具有的数值为：N N1 12 24 40 02 23 30 02 22 21 12 21 11 12 20 0 (-13)(-13)1010第二十七页，讲稿共三十二页哦类型类型 逻辑符号逻辑符号操作操作0类类加法器加法器 X Y)ZCS X Y)Z C(S)2类类加法器加法器XY)Z (C)S 3类类加法器加法器 X Y)Z(C)(S)1类类加法器加法器 这种加法器通过把正权或负权加到输入这种加法器通过把正权或负权加到输入/输出端，可以输出端，可以归纳出四类加法单元。归纳出四类加法单元。2.2.一般化的全加器形式一般化的全加器形式第二十八页，讲稿共三十二页哦对对0 0类、类、3 3类全加器而言有：类全加器而言有：S SXYZXYZXYZXYZXYZXYZXYZXYZC CXYXYYZYZZXZX0类类加法器加法器 X Y)ZCS3类类加法器加法器 X Y)Z(C)(S)一位全加器真值表一位全加器真值表输入输入输出输出XiYiZiSiCi10000000110010100110110010101011100111111四类全加器的逻辑方程式四类全加器的逻辑方程式第二十九页，讲稿共三十二页哦 X Y)Z C(S)2类类加法器加法器XY)Z (C)S 1类类加法器加法器对对1类、类、2类全加器类全加器,则有则有SXYZXYZXYZXYZCXYXZYZ第三十页，讲稿共三十二页哦3.3.直接补码阵列乘法器直接补码阵列乘法器利用混合型全加器可以构成直接补码数阵列乘法利用混合型全加器可以构成直接补码数阵列乘法器。器。设被乘数设被乘数A A和乘数和乘数B B是两个是两个5 5位二进制补码数，即：位二进制补码数，即：A A(a a4 4)a a3 3a a2 2a a1 1a a0 0B B(b b4 4)b b3 3b b2 2b b1 1b b0 0它们具有带负权的符号位它们具有带负权的符号位a a4 4和和b b4 4,并用括号标注并用括号标注 2.3.4 2.3.4 补码并行乘法补码并行乘法第三十一页，讲稿共三十二页哦 (a4)a3 a2a1a0 A)(b4)b3 b2 b1 b0B (a4b0)a3b0a1b0a1b0a0b0 (a4b1)a3b1 a2b1a1b1a0b1 (a4b2)a3b2 a2b2 a1b2 a0b2 (a4b3)a3b3 a2b3 a1b3 a0b3+)a4b4 (a3b4)(a2b4)(a1b4)(a0b4)p9 p8 p7 p6 p5 p4 p3 p2 p1 p0 P 用括号来标注负的被加项，例如用括号来标注负的被加项，例如(a ai ib bJ J)，那么那么A A和和B B相乘过程中所包含的操作步骤如下面矩阵所示：相乘过程中所包含的操作步骤如下面矩阵所示：2.3.4 2.3.4 补码并行乘法补码并行乘法第三十二页，讲稿共三十二页哦