2022年第四章随机变量的数字特征 .pdf

2015 年考研概率统计强化讲义44 第四章随机变量的数字特征一考研内容提要1随机变量的数学期望及性质（1）离散型随机变量及其函数数学期望的定义；（2）连续型随机变量及其函数数学期望的 定 义；（3）性 质：（i）线 性 性 质：设X、Y是 随 机 变 量，,a b c为 常 数，则()E aXbYcaEXbEYc；（ii）若X、Y相互独立，则()E XYEXEY2随机变量的方差及性质（1）随机变量方差及标准差的定义；（2）性质（i）设,a b是常数，则2()D aXba DX，特别地2()0,()D bD a Xa D X（ii）若X、Y相互独立，则()D XYDXDY（可推广到有限的情形）3重要分布随机变量的期望和方差（1）(01)分布(1,)Bp：EXp，(1)DXpp（2）二项分布(,)B n p：EXnp，(1)DXnpp（3）Poisson分布()P：EX，DX（4）几何分布：1EXp，21pDXp（5）超几何分布：nMEXN，2()()(1)nM NMNnDXNN（6）均匀分布(,)U a b：2abEX，2()12baDX（7）正态分布2(,)N：EX，2DX（8）指数分布()E：1EX，21DX名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义45 4二维随机变量的协方差、相关系数和不相关（1）协方差、相关系数和不相关的定义：（2）性质：（i）协方差的性质：cov(,)X XDX；cov(,)cov(,)X YY X；cov(,)cov(,)aXb cYdacX Y；1212cov(,)cov(,)cov(,)XX YX YX Y；()()()2cov(,)D XYD XD YX Y。（ii）相关系数的性质：1XY；若X、Y相互独立，则0XY；反之不然。1,0,()1XYa b aP YaXb常数使得5矩的概念和关系6正态分布的几个重要结果（1）设X、Y相互独立，且都服从正态分布，则X、Y的任一线性组合ZaXbYc（,a b不全为零）仍服从正态分布，且22(,)ZN aEX bEY c a DX b DY；（2）(,)X Y服从二维正态分布。则X、Y不相关X、Y相互独立；（3）(,)X Y服从二维正态分布对于任意不全为零常数,a b，ZaXbY服从一维正态分布；（4）设X、Y相互独立，且都服从正态分布，则(,)X Y服从二维正态分布；（5）若一多维随机变量是另一多维正态随机变量的线性变换，则该多维随机变量是多维正态随机变量。二考研题型解析1选择题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义46 例 1已知随机变量X服从二项分布，2.4,1.44EXDX，则二项分布的参数,n p的值为（）。（A）4,0.6np（B）6,0.4np（C）8,0.3np（D）24,0.1np解 应选（B）。例 2已知离散型随机变量的可能取值为1231,0,1,()0.1,()0.89xxxED，则对应于123,x xx的概率为（）。（A）1230.4,0.1,0.5ppp（B）1230.1,0.4,0.5ppp（C）1230.5,0.1,0.4 ppp（D）1230.4,0.5,0.1ppp解 应选（A）。例 3 设随机变量X的分布函数为1()0.3()0.7()2xF xx，其中()x为标准正态的分布函数，则EX（）。（A）0（B）0.3（C）0.7（D）1 解 应选（C）。例 4设随机变量12,(1)nXXXn独立同分布，且方差20，令11niiYXn，则（）。（A）21cov(,)XYn（B）21cov(,)X Y（C）212()nD XYn（D）211()nD XYn解 应选（A）。例 5 设随机变量X和Y独立同分布，记,UXYVXY，则随机变量U和V（）。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义47（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零解 应选（D）。例 6 设随机变量X和Y的方差存在且不等于零，则()D XYDXDY是X和Y（）。（A）不相关的充分条件，但不是必要条件（B）独立的充分条件，但不是必要条件（C）不相关的充分必要条件（D）独立的充分必要条件解 应选（C）。例 7 设随机变量X与Y独立同服从(0,)(0)上的均匀分布，则min(,)EX Y（）。（A）2（B）（C）3（D）4解 应选（C）。例 8 设随机变量(0,1),(1,4)XNYN，且相关系数1XY，则（）。（A）(21)1P YX（B）(21)1P YX（C）(21)1P YX（D）(21)1P YX解应选（D）。例9 设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立，且EX与EY存 在，记max,UX Y，min,VX Y，则()E UV（）。(A)EUEV(B)EXEY(C)EUEY(D)EXEV解 应选(B)。由于1max,2X YXYXY，1min,2X YXYXY，因此11(max,min,)()22EUVEX YX YEXYXYXYXY221()()4EXYXYEXYEXEY故选(B)。例 10 将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义48(A)1(B)12(C)12(D)1解应选(D)。设,X Y分别表示所截成两段木棒的长度，则(1)1P XY，即(1)1P YX，从而1XY，故选(D)。例 11设连续型随机变量1X与2X相互独立，且方差存在，其概率密度分别为11()Xfx与22()Xfx。随 机 变 量1Y的 概 率 密 度 为1121()()()2YXXfyfyfy，随 机 变 量2121()2YXX。则（）。(A)1212,EYEY DYDY(B)1212,EYEY DYDY(C)1212,EYEY DYDY(D)1212,EYEY DYDY解应选(D)。由于11212111()()()()()22YXXXXEYyfy dyyfyfy dyyfy dyyfy dy121211()()()22XXxfx dxxfx dxEXEX2121211()()22EYEXXEXEX因此12EYEY又1X与2X相互独立，且方差存在，故2121211()()24DYDXXDXDX1121222222111()()()()()22YXXXXEYy fy dyyfyfy dyy fy dyy fy dy1222221211()()()22XXx fx dxx fx dxEXEX22222111121211()()()22DYEYEYEXEXEXEX名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义49 222212121211111()()22442EXEXEXEXEXEX2212121211111()44442DXDXEXEXE X X22121212111(2)444DXDXE XXX X2121211()()44DXDXE XX由于212()0E XX，事实上假设212()0E XX，则12()1P XX，从而121X X，即1X，2X不是不相关，这与1X，2X相互独立矛盾，因此212()0E XX，从而11221()4DYDXDXDY，故选(D)。2填空题例 1 已知随机变量X的概率密度函数为2211()xxf xe，则X的期望为，方差为。解 应填11,2EXDX。例 2 设X表示 10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射击目标的概率为0.4，则2X的数学期望2EX。解 应填18.4。例 3 设随机变量()XP，且已知(1)(2)1EXX，则。解 应填1。例 4 设随机变量X服从参数为的指数分布，则()()P XEXP XDX。解 应填1e。例 5 设一次试验成功的概率为p，进行 100 次独立重复试验，当p时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义50 解 应填12p，5。例 6 设随机变量()XP，且(1)(2)P XP X，则EX；DX。解 应填2EX，2DX。例 7 设随机变量的概率密度为2,01()0,axbxcxx其它，已知0.5E，0.15D，则a，b，c。解 应填a12，b12，c3。例 8 投掷n枚骰子，则出现点数和的数学期望为。解 应填72n。例 9设2(0,1),()nNn为正整数，则。解应填0。例 10设X和Y是两个相互独立同服从正态分布1(0,)2N的随机变量，则随机变量XY的数学期望E XY；方差D XY。解 应填2E XY，21D XY。因为X和Y是两个相互独立同服从正态分布1(0,)2N，因此(0,1)XYN，从而()0E XY，()1D XY，于是222()()()1E XYE XYD XYE XY，又222222+0022222tttE XYt edttedte，所以222()1D XYE XYE XY。例 11 设随机变量X服从标准正态分布(0,1)N，则2()XE Xe。解应填22e。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义51 由于X的概率密度为221(),2xf xex，因此22(2)222222211()()222xxXxxE Xexef x dxxeedxexedxe例 12设随机变量(,1,2,2)ijXi jn n独立同分布，2ijEX，则行列式111212122212nnnnnnXXXXXXYXXX的数学期望EY。解 应填 0。例 13设随机变量X的概率分布为(),0,1,2,!CP Xkkk，则2EX。解 由于0011!kkCCCekk，故1Ce，从而X的分布律为1(),0,1,2,!P Xkke k即X服从参数为1 的 Poisson分布，故1EXDX，于是22()2EXDXEX。例 14设(,)X Y的联合分布律为YX10 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 则22cov(,)XY，XY。解 应填22cov(,)0.02XY，0XY。例 15设二维随机变量(,)X Y服从22(,;,;0)N，则2()E XY。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义52 解 由于22(,)(,;,;0)X YN，0，因此,X Y相互独立，且EXEY，2DY，从而2222223()()()E XYEXEYEX DYEY。3.解答题例 1 设,是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为1()3Pi，1,2,3i，又设max,X，min,Y，（i）写出二维随机变量(,)X Y的联合分布律；（ii）求出随机变量X的数学期望EX。解（i）X和Y的可能取值为1,2,3。由于总有YX，故(,)0()P Xi Yjij111(,)(,)()()(1,2,3)339P Xi YiPiiPi Pii112(,)(,)(,)+=()999P Xi YjPij Pjiij故(,)X Y的联合分布律为YX1 2 3 1 190 0 3 2919193 292919（ii）由（i）中(,)X Y的联合分布律可得X的边缘分布律故X的数学期望125221239999EX。X1 2 3 P193959名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义53 例 2设某种商品每周的需求量X是服从区间10,30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间10,30中的某一整数，商店每销售1 单位商品可获利500 元，若供大于求则削价处理，每处理1 单位商品亏损100 元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时 1 单位商品仅获利300 元，为使商店所获利润期望值不少于9280 元，试确定最小的进货量。解 设进货量为a，则利润为500300(),30300200,30()500100(),10600100,10aXa aXXa aXH XXaXXaXaXa期望利润30211202010()(600100)(300200)7.53505250aaE H Xxa dxxa dxaa依题意，有27.535052509280aa，27.53504030 0aa，解之得220263a，故最小进货量为21 单位。例 3已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3 件合格品和3 件不合格品，乙箱中仅有3件合格品，从甲箱中任取3 产品放入乙箱后，求：（i）乙箱中次品件数X的数学期望；（ii）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。解（i）X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布为33336(),0,1,2,3kkC CP XkkC，即X0 1 2 3 P120920920120故199130123202020202EX（ii）设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式，有3019192131()()()0202062062064iP AP Xk P A Xk名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义54 例 4设二维随机变量(,)X Y的概率分布为YX10 1 0 130a1 14b112且1(10)3P XYX，求（i）常数,a b；（ii）cov(,)X Y。解（i）(1,0)3(10)(0)13P XYXaP XYXP Xa，由31133aa，解得16a；再由11113412ab，得16b。（ii）由(,)X Y的概率分布可得,X Y XY的分布律分别为X0 1 Y10 1 XY10 1 P1212P7121614P142311212EX，711110112643EY，121110143126EXY，故111cov(,)()0623X YEXYEXEY。例 5箱中装有6 个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3 个，现从箱中随机地取出 2 个球，记X为取出的红球数，Y为取出的白球数。（i）求随机变量(,)X Y的概率分布；（ii）求cov(,)X Y。解（i）X的可能取值为0，1，Y的可能取值为0，1，2 23261(0,0)5CP XYC，1123262(0,1)5C CP XYC22261(0,2)15CP XYC1113261(1,0)5C CP XYC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义55 1112262(1,1)15C CP XYC，(1,2)0P XY即(,)X Y的概率分布为YX0 1 2 0 15251151 152150（ii）由(,)X Y的概率分布可得,X Y XY的分布律分别为X0 1 Y0 1 2 XY0 1 P2313P25815115P131521513EX，2812012515153EY，215EXY故2124cov(,)153345X YEXYEXEY例 6设随机变量X与Y的概率分布分别为且22()1P XY。（i）求二维随机变量(,)X Y的概率分布；（ii）求ZXY的概率分布；（iii）求X与Y的相关系数XY。解（i）由22()1P XY，得22()0P XY，所以(0,1)(0,1)(1,0)0P XYP XYP XY故(,)X Y的概率分布为X01Y101P1323P131313名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义56 YX10 1 0 0130 1 13013（ii）ZXY的可能取值1,0,1，由(,)X Y的概率分布可得Z的概率分布为Z101P131313（iii）由,X Y及Z的概率分布，得23EX，29DX，0EY，23DY，0EZEXY所以cov(,)0X Y，从而0XY。例 7假设二维随机变量(,)X Y在区域(,)02,01Gx yxy上服从均匀分布，记0,1,XYUXY若若，0,21,2XYVXY若若（i）求U和V的联合分布；（ii）求U和V的相关系数UV。解（i）由于二维随机变量(,)X Y在区域(,)02,01Gx yxy上服从均匀分布，故其联合概率密度为1,02,01(,)20,xyf x y其它U和V的可能取值为0，1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义57 1(0,0)(,2)()(,)4xyP UVP XY XYP XYf x y dxdy(0,1)(,2)0P UVP XY XY21(1,0)(,2)(2)(,)4yxyP UVP XY XYP YXYf x y dxdy21(1,1)(,2)(2)(,)2xyP UVP XY XYP XYf x y dxdy即(,)U V的联合分布律为VU0 1 0 140 1 1412（ii）由(,)U V的联合分布律得,U V UV的分布律分别为U0 1 V0 1 UV0 1 P1434P1212P1212故331311111,4441622242EUDUEVDVEUV从而1311cov(,)2428U VEUVEUEV所以1831164cov(,)13UVU VDUDV例 8设随机变量X的概率密度为1,1021(),0240,Xxfxx其它，令2YX，(,)F x y为二维名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义58 随机变量(,)X Y的分布函数，求(i)Y的概率密度()Yfy；（ii）cov(,)X Y；（iii）12(,4)F。解(i)先求Y的分布函数2()()()YFyP YyP Xy当0y时，()0YFy；当01y时，2()()()(0)(0)YFyP XyPyXyPyXPXy0112403244yyyydxdxy；当14y时，222()()(1)(1)(10)(0)YFyP XyP XPXyPXPXy0112410124yydxdx；当4y时，()1YFy。再求Y的概率密度()Yfy时。()()0YYfyFy；当01y时，3()()8YYfyFyy；当14y时，1()()8YYfyFyy当4y时，()()0YYfyFy，故Y的概率密度为3818,01(),140,yYyyfyy其它（ii）021124101()4XEXxfx dxxdxxdx，0222221124105()6XEYEXx fx dxxdxxdx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义59 0233331124107()8XEXYEXx fx dxxdxxdx故7152cov(,)8463X YEXYEXEY。（iii）2111(,4)(,4)(,4)222FP XYP XX11(,22)(2)22P XXPX1212111(1)24PXdx例 9设二维随机变量(,)X Y的概率分布为YX10 1 1a0 0.2 0 0.1 b0.2 1 0 0.1 c其中,a b c为常数，0.2EX，(00)0.5P YX，记ZXY，求（i）,a b c的值；（ii）Z的概率分布；（iii）()P XZ。解（i）由联合概率分布律的性质知，0.61abc，即0.4abc由0.2EX，得(0.2)(0.1)0.2ac，即0.1ac再由(0,0)0.10.5(00)(0)0.5P XYabP YXP Xab，即名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义60 0.3ab解以上关于,a b c的三个方程得0.2,0.1,0.1abc（ii）Z的可能取值为2,1,0,1,2(2)(1,1)0.2P ZP XY(1)(1,0)(0,1)0.1P ZP XYP XY(0)(1,1)(1,1)(0,0)0.3P ZP XYP XYP XY(1)(0,1)(1,0)0.3P ZP XYP XY(2)(1,1)0.1P ZP XY（iii）()(0)0.10.2P XZP Yb例 10设,A B是随机事件，且111(),(),()432P AP B AP A B，令1,0,AXA发生发生，1,0,BYB发生发生求（i）(,)X Y的联合分布律；（ii）XY；（iii）22ZXY分布。解（i）,X Y的可能取值为0，1，由题设111()()()4312P ABP A P B A，11212()1()()6P ABP BP A B，故1112(0,0)()1()1()()()146123P XYP ABP ABP AP BP ABZ210 1 2 P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义61 111(0,1)()()()()()61212P XYP ABP BAP BABP BP AB111(1,0)()()()()()4126P XYP ABP ABP AABP AP AB1(1,1)()12P XYP AB，即(,)X Y的联合分布律为YX0 1 0 231121 16112（ii）因为,X Y都服从01分布，所以111(),(),()4612EXP AEYP BEXYP AB，于是1111cov(,)124624X YEXYEXEY，又2211(),()46EXP AEYP B，故222113()()4416DXEXEX，222115()()6636DYEYEY，从而124351636cov(,)115XYX YDXDY（iii）Z的可能取值为0,1,2。2(0)(0,0)3P ZP XY111(1)(0,1)(1,0)1264P ZP XYP XY1(1)(1,1)12P ZP XY即Z的分布律为例 11设随机变量X的概率密度为1(),2xf xex，求（i）,EX DX；（ii）cov(,)XX，问,X X是否相关；（iii）问,XX是否独立，为什么？Z0 1 2 P2314112名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义62 解（i）12()0 xEXxf x dxx edx222221200()xxxEXx f x dxxedxx e dxx de20000222220 xxxxxx exe dxxdexee dx22()2DXEXEX（ii）由于12()0 xE X Xx x f x dxx xedx，所以cov(,)0X YE X XEXE X从而,XX不相关。（iii）由于(2)0,(1)0P XP X，但(2,1)0(2)(1)P XXP XP X，即事件2X与1X不独立，故,XX不独立。例 12设随机变量22(1,3),(0,4)XNYN，X与Y的相关系数12XY，令32XYZ，求（i）,EZ DZ；（ii）XZ。解（i）11132323XYEZEEXEY1111112cov(,)2cov(,)3294329432XYXYDZDDXDYDXDYX Y221111111112342()343943294322XYDXDYDXDY（ii）1111cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)323232XYXYX ZXX XX YDXDXDY21113()340322，从而0XZ。例 13设随机变量X与Y在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量UXY的方差。解 设(,)01,01,1Gx yxyxy，依题设(,)X Y的联合概率密度为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义63 2,(,)(,)0,(,)x yGf x yx yG11120102(,)223xEXxf x y dxdydxxdyx dx11122230101(,)222xEXx f x y dxdydxx dyx dx所以22141()2918DXEXEX同理可得21,318EYDY而1101(,)2xEXYxyf x y dxdyxdxydy112200215(1(1)(2)3412xxdxxxxdx所以541cov(,)12936X YEXYEXEY于是1121()2cov(,)18183618DUD XYDXDYX Y例 14设二维离散型随机变量(,)X Y的概率分布为YX01 2 0 140141 01302 1120112（i）求(2)P XY；（ii）求Cov(,)XY Y。解（i）由(,)X Y的概率分布得11(2)(0,0)(2,1)044P XYP XYP XY名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义64（ii）由(,)X Y的概率分布可得，,X Y XY的概率分布分别为X0 1 2 Y0 1 2 XY0 1 2 P121316P131313P71213112所以11120122363EX，1110121333EY，7112012123123EXY，从而22Cov(,)1033X YEXYEXEY，又222211150123333EY，22252()133DYEYEY故22Cov(,)Cov(,)Cov(,)Cov(,)033XY YX YY YX YDY。例 15设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1 的指数分布，记max,UX Y，min,VX Y。（i）求V的概率密度()Vfv；（ii）求()E UV。解（i）由题设知X与Y的分布函数均为1,0()0,0 xexF xx由于X与Y相互独立，因此min,VX Y的分布函数为()()(min,)1(min,)1(,)VFvP VvPX YvPX YvP Xv Yv21()()1 1()1()1(1()P Xv P YvP XvP YvF v21,00,0vevv故V的概率密度为22,0()()0,0vVVevfvFvv（ii）解法一：由于X与Y相互独立，因此max,VX Y的分布函数为2()()(max,)(,)()()()UFuP UuPX YuP Xu YuP Xu P YuFu名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义65 2(1),00,0ueuu故U的概率密度为2(1),0()()0,0uuUUeeufuFuu所以200()()()2(1)2uuvUVE UVEUEVufu duvfv dvueeduvedv22000022222uuvuue duueduvedvue du解法二：因为max,min,UVX YX YXY，所以()()2E UVE XYEXEY例 16设随机变量X与Y具有相同的分布，且X的分布律为1(0)3P X，2(1)3P XX与Y的相关系数12XY，试求：（i）(,)X Y的联合分布律；（ii）(1)P XY。解（1）X，Y的可能取值为0，1，且23EX，23EY，212339DX，212339DY()(1,1)E XYP XY22(1,1)1cov(,)()3322299XYP XYX YE XYEX EYDXDYDXDY解之得5(1,1)9P XY从而251(1,0)399P XY名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 23 页 -2015 年考研概率统计强化讲义66 251(0,1)399P XY112(0,0)399P XY即(,)X Y的联合分布律为YX01 029191 1959（2）54(1)1(1)1(1,1)199P XYP XYP XY名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 23 页 -