专题三 第2讲用“不动点法”求数列的通项公式.docx

第2讲用“不动点法”求数列的通项公式对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)m的值xm称为函数f(x)的“不动点”利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式例(1)在数列an中，a11, an1an1，求数列an的通项公式解设f(x)x1，令f(x)x，即x1x，得x2，x2是函数f(x)x1的不动点，an12(an2)，数列an2是以1为首项，以为公比的等比数列，an21n1，an2n1，nN*.(2)已知数列an满足a13，an1，求该数列的通项公式解由方程x，得数列an的不动点为1和2，所以是首项为2，公比为的等比数列，所以2n1，解得an2，nN*. (1)若f(x)axb(a0,1)，p是f(x)的不动点数列an满足an1f(an)，则an1pa(anp)，即anp是公比为a的等比数列(2)设f(x)(c0，adbc0)，数列an满足an1f(an)，a1f(a1)若f(x)有两个相异的不动点p，q，则k.1已知数列an满足an1an2，a14，求数列an的通项公式解设f(x)x2，由f(x)x，得x.an1，又a14，是以为首项，以为公比的等比数列，ann1，ann1，nN*.2已知数列an满足a12，an(n2)，求数列an的通项公式解解方程x，化简得2x220，解得x11，x21，令c，由a12，得a2，可得c，数列是以为首项，以为公比的等比数列，n1，an.3设数列an满足8an1an16an12an50(n1，nN*)，且a11，记bn(n1)求数列bn的通项公式解由已知得an1，由方程x，得不动点x1，x2.所以，所以数列是首项为2，公比为的等比数列，所以2n1，解得an.故bn，nN*.