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学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线专题1 直线方程第一讲 直线的四种形式知识归纳：一、 直线的倾斜角与斜率1确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角（斜率）2直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角注意：从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角规定：直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为直线倾斜角的取值范围是：在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等3直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即()它从另一个方面反映了直线的倾斜程度注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当时，；当时，；当时，k不存在，当时，即：斜率的取值范围为【例1】给出下列命题：若直线倾斜角为，则直线斜率为；若直线倾斜角斜率为，则直线的倾斜角为；直线的倾斜角越大，它的斜率越大；直线的斜率越大，其倾斜角越大；直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率其中正确命题的序号为 【解析】错误，当时，不存在；正确；错误，当时，k随着倾斜角的增大而增大，但比倾斜角小；不正确，时，倾斜角没有正切值【例2】已知直线的倾斜角为，且，求直线的斜率k【解析】4直线斜率的坐标公式经过两点，的直线的斜率公式：注意：斜率公式与两点的顺序无关，即特别地：当时，；此时直线平行于轴或与轴重合；当时，不存在，此时直线的倾斜角为，直线与y轴平行或重合【例3】已知点，求直线PQ的斜率并判断倾斜角的范围【解析】当时，斜率不存在，；当时，当时，；当时，【例4】（三点共线问题）已知三点，证明这三点在同一条直线上【证明】，则A，B，C三点共线【例5】（最值问题）已知实数x，y，满足，当时，求的最大值和最小值【解析】当时，；当时，如图，二直线的方程1定义：一般地，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线2直线方程的几种形式（1）点斜式：问题：若直线l经过点()，且斜率为k，求直线l的方程解析：设点是直线上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式，得，可化为，即为过点斜率为k的直线l的方程方程是由直线上一点及其斜率确定的，把这个方程叫做直线的点斜式的方程，简称点斜式注意：与是不同的，前者表示直线上缺少一个点，后者才是整条直线当直线l的倾斜角为时，即，这时直线l的方程为 当直线的倾斜角为时，直线l斜率不存在，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，它的方程是即：局限性是不能表示垂直于轴的直线经过点()的直线有无数条，可分为两类情况：斜率为k的直线，方程为 斜率不存在的直线，方程为或写为【例6】根据条件写出下列各题中的直线的方程：经过点，倾斜角；经过点且斜率为2；经过点，且与x轴平行；经过点，且与x轴垂直【解析】，即；，即；（2）斜截式：问题：已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是，代入直线方程的点斜式，得直线l的方程，也就是，我们称b是直线l在y轴上的截距 这个方程是由直线l的斜率k和它在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程，简称斜截式注意：；局限性：不表示垂直于x轴的直线 ；斜截式方程和一次函数的解析式相同，都是，但有区别：当斜率不为0时，是一次函数，当时，不是一次函数；一次函数必是一条直线的斜截式方程【例7】求倾斜角是直线的倾斜角的，且在y轴上的截距为-5的直线的方程【解析】，故直线方程为（3）两点式：问题：已知直线l经过两点，求直线l的方程【解析】因为直线l经过两点，所以它的斜率，代入点斜式，得，当时，方程可以写成这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程，简称两点式注意：方程与方程比较，后者比前者表示直线的范围更小了，前者不能表示斜率不存在的直线，后者除此外，还不能表示斜率为0的直线；局限性：不能表示垂直于坐标轴的直线两点式方程与这两个点的顺序无关【例8】已知点，求直线AB的方程【解析】【例9】一条光线从点出发，经x轴反射，通过点，求入射光线和反射光线所在直线的方程【解析】如图，入射光线经过，关于轴对称点，则入射光线方程为，反射直线方程为：（4）截距式：问题：已知直线l与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，其中，求直线l的方程【解析】因为直线l经过A和B两点，将这两点的坐标代入两点式，得，即为如果直线与x轴的交点为，则称为直线在x轴上的截距以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程，简称截距式注意：方程中，所以它不能表示与坐标轴平行（重合）的直线，还不能表示过原点的直线【例10】过两点，的直线在轴上的截距为 【解析】设直线的方程为，将A,B代入方程得：，故x轴上的截距为（5）一般式方程：以上几种形式的直线方程都是二元一次方程，即平面上任何一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示；而关于x，y的二元一次方程，它都表示一条直线因此我们把x，y的二元一次方程(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式注意：直线的一般式方程能表示所有直线的方程，这是其他形式的方程所不具备的直线的一般式方程成立的条件是A,B不同时为0虽然直线的一般式有三个系数，但是只需两个独立的条件即可求直线的方程若，则方程可化为； 若，则方程可化为，即若，时，方程化为，它表示与x轴平行或重合的直线若，时，方程化为，它表示一条与y轴平行或重合的直线若时，则方程可化为，因此只需要两个条件即可直线方程的其他形式都可以转化为一般式，因此在解题时若没有特殊说明，应把最后结果互为直线的一般式【例11】设直线的方程为，根据下列条件分别确定m的值（1）l在x轴上的截距为-3； （2）l的斜率是 -1【解析】（1）当时，或；（2）或三直线的位置关系（同一平面上的直线）1平行与垂直（1）两条直线平行的判定当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定设两条直线分别为：，： 若，则的倾斜角相等，即由，可得，即，此时；反之也成立 所以有且当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为，若不重合，则它们也是平行直线注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：设两条直线分别为：，： 可得（其中分母不为0）或且或（2）两条直线垂直的判定当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，即两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直由得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：设两条直线分别为：，： 可得秒杀秘籍：过直线交点的直线系方程经过两直线与交点的直线系方程为，其中是待定系数【例12】已知点和直线：，求过点A和直线l平行的直线【解析】令直线方程为：，将点代入直线方程得：秒杀秘籍：第二讲 平行与垂直的直线方程求法设直线，则与平行的直线方程为；与垂直的直线方程为.【例13】求与直线垂直且过点（1,2）的直线方程【解析】设要求的直线方程为，代入点（1,2）得：【例14】已知两直线：，： ，当为何值时，直线与：平行 重合 垂直【解析】；【例15】求证：不论为取什么实数，直线总过某一定点【解析】由于m的任意性，故，故直线过定点【例16】已知直线，（1）若时，恒成立，求的取值范围；（2）若时，恒有，求的取值范围【解析】（1）对恒成立，则（2）对恒成立，则五两条直线的交点坐标1设两条直线分别为：，： 则与是否有交点，只需看方程组是否有唯一解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两直线重合秒杀秘籍：第三讲 过直线交点的直线系方程经过两直线与交点的直线系方程为，其中是待定系数【例17】求经过两直线和的交点且与直线平行的直线方程【解析】设直线方程为，直线平行于，故，即2对称问题（1）点关于点的对称，点A关于()的对称点B，则由中点坐标公式，即B（）（2）点关于直线的对称，点A()关于直线（A，B不同时为0）的对称点，则有的中点在上且直线与已知直线垂直（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决（详见秘籍）秒杀秘籍：第四讲 关于直线对称的问题定理1：点关于直线对称的点坐标为 点关于直线对称的点坐标为 直线关于直线对称的直线方程为 直线关于直线对称的直线方程为定理2：点关于直线对称的点坐标为 点关于直线对称的点坐标为 直线关于直线对称的直线方程为； 直线关于直线对称的直线方程为；关于定理2，只需记住或者【例18】已知直线，试求：点P(4, 5)关于的对称坐标；直线关于直线的对称的直线方程【解析】设点关于l对称的点，则有，解得：，故P关于直线对称的坐标为在直线上任取一点，A关于l对称的点,则有解得：，由于在直线上，故，要求的直线为，化简得：，即第五讲 距离问题六两点间的距离，点到直线间的距离（1）两点间的距离：已知则（2）点到直线的距离:注意：若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离； 点到直线的距离是点到直线上的点的最短距离； 若点在直线上，则点到直线的距离为0，但距离公式仍然成立，因为此时（3）两平行线间的距离：两条平行直线与的距离公式注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且x，y的系数分别相等【例19】求函数的最小值【解析】表示y轴上的任意一点到点和点距离的和，如图，根据对称原理，可知【例20】求经过点与的直线上一点到直线的距离【解析】经过AB的直线方程为，故点C坐标为，C到直线的距离为【例21】求经过点且到原点的距离等于的直线方程【解析】设直线方程为，原点到直线的距离为1，即，故直线方程为；由于直线到原点距离也为1，故存在这两条直线满足条件（注意：距离问题一般有两条直线，如果求出答案只有一条，则另一条直线斜率不存在）【例22】已知ABC中，点A，B（1<m<4），C，求m为何值时三角形面积最大【解析】由题意得：，AC的直线方程为，B到AC的距离，当d取得最大值时，ABC面积最大，令，当，即时，d取得最大值【例23】求过点且与，两点距离相等的直线方程【解析】设直线方程为，或 ，故直线方程为或达标训练1过三点，的圆交y轴于M、N两点，则（ ）A BCD2（2018广西）直线和的位置关系是（ ）A平行B垂直C相交但不垂直D不能确定3（2019哈尔滨模拟）已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（ ）ABCD4（2018武清模拟）直线的倾斜角是（ ）ABCD5（2019湖南模拟）若直线的斜率为，则（ ）ABCD6（2018娄星模拟）直线与直线垂直，则直线的斜率为（ ）ABCD7（2018海淀期末）已知点，为坐标原点若点C在直线上，且与垂直，则点的坐标是（ ）ABCD8（2018北京模拟）已知过两点，的直线斜率为，那么的值是（ ）ABCD9（2018湖北模拟）若直线与直线平行，则的值为（ ）ABC和D和10（2019九江二模）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为，这样的直线一共有（ ）A条B条C条D条11（2018黄山一模）已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为（ ）A BCD12（2018漳州模拟）过点，且与直线平行的直线方程是（ ）ABCD13已知直线，且，则（ ）ABCD14（2019青岛模拟）直线和垂直，则实数的值为（ ）ABCD15（2019潍坊二模）已知两点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）ABCD16（2018陕西模拟）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（ ）ABCD17（2015衡阳模拟）某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，则表示（如右图），则 的图象是中心对称图形；的图象是轴对称图形；函数的值域为；函数在区间上单调递减；方程有两个解上述关于函数的描述正确的个数为（ ）A个B个C个D个18（2018顺义二模）设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且坐标原点到直线的距离为，则的面积的最小值为（ ）ABCD19已知直线，当时，两条直线的距离是（ ）ABCD20点是直线上的动点，点，则的最小值是（ ）ABCD21（2018桂林期末）若三点，共线，则有（ ）A， BCD22（2015黑龙江期末）已知，满足，则直线必过定点（ ）ABCD23已知直线方程为这条直线恒过一定点，这个定点坐标为（ ）ABCD24（2018招远期末）直线关于轴对称的直线方程为（ ）ABCD25（2018湖北期末）与直线关于轴对称的直线方程为（ ）ABCD26（2018尤溪期中）点关于点的对称点为，则（ ）A，B，C，D，27（2018景县期中）已知点，则线段垂直平分线方程是（ ）ABCD28不论如何变化，直线恒过定点（ ）ABCD29已知点，到直线的距离相等，则实数的值等于（ ）A或B或C或D或30点在直线上运动，则的最小值是（ ）ABCD31已知点，试在直线上找一点，使最小，并求出最小值32一条光线，被直线:反射，求反射光线的方程33求直线关于直线对称的直线方程194