课后跟踪训练60.doc

课后跟踪训练(六十)基础巩固练一、选择题1(2020福建厦门质检)若抛物线x2ay的焦点到准线的距离为1，则a()A2 B4 C2 D4解析由抛物线x2ay，可知焦点坐标为，准线方程为y，抛物线x2ay的焦点到准线的距离为1，解得a2.故选C.答案C2(2019陕西榆林二模)已知抛物线y22px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，则抛物线的标准方程为()Ay2x By22xCy24x Dy28x解析抛物线y22px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得，p1，抛物线的标准方程为y22x.故选B.答案B3(2019湖南长沙模拟)A是抛物线y22px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的准线方程是()Ax1 By1Cx2 Dy2解析过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为OFA120，所以ABF为等边三角形，DBF30，从而p|DF|2，因此抛物线的准线方程为x1.故选A.答案A4(2020黑龙江鹤岗一中月考)若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A. B C D2解析设抛物线上点P到准线的距离为d，则有|PF|d，抛物线的方程为y2x2，即x2y，其准线方程为y.当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为.故选A.答案A5(2019广东珠海一中等六校联考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是侧面BCC1B1内的一动点，若点P到直线BC的距离与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A直线 B圆 C双曲线 D抛物线解析如图所示，因为C1D1平面BCC1B1，PC1平面BCC1B1，所以C1D1PC1，则点P到直线C1D1的距离，即为线段PC1的长度则将问题转化为点P到直线BC的距离和其到点C1的距离相等，满足抛物线的定义，故选D.答案D二、填空题6(2019江苏清江中学质量调研)若抛物线y22px(p>0)的焦点恰好是双曲线1的右焦点，则实数p的值为_解析由题意得双曲线的右焦点为(4,0)，所以抛物线的焦点为(4,0)，所以4，解得p8.答案87已知抛物线x22py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_解析FPM为等边三角形，则|PM|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x24y.答案x24y8(2019山东枣庄期末)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米则水位下降1米后，水面宽_米解析建立坐标系如图所示则可设抛物线方程为x22py(p>0)点(2，2)在抛物线上，p1，即抛物线方程为x22y.当y3时，x.水位下降1米后，水面宽为2米答案2三、解答题9已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|BF|8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求此抛物线的方程解设抛物线的方程为y22px(p>0)，其准线为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|BF|8，x1x28，即x1x28p.Q(6,0)在线段AB的中垂线上，|QA|QB|.即(x16)2y(x26)2y，又y2px1，y2px2，(x1x2)(x1x2122p)0.AB与x轴不垂直，x1x2，故x1x2122p8p122p0，即p4.从而抛物线的方程为y28x.10已知抛物线y22px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2，抛物线方程为y24x.(2)点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA.MNFA，kMN.又FA的方程为y(x1)，故MN的方程为y2x，解方程组得x，y，N的坐标为.能力提升练11(2020山西实验中学月考)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|4，则直线AF的倾斜角等于()A. BC. D解析由抛物线定义知|PF|PA|，P点坐标为(3，2)，所以A点坐标为(1,2)，AF与x轴夹角为，所以直线AF的倾斜角为，故选B.答案B12设抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5得，5，又p>0，解得p2或p8，故选C.答案C13(2020河北涞水月考)已知点A是抛物线C：x22py(p>0)上一点，O为坐标原点若A，B是以点M(0,4)为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且AOB为等边三角形，则p的值是_解析由题意可知四边形AOBM是菱形，且AOB60.M(0,4)，点A的纵坐标yA2，|xA|.设A，点A在抛物线C上，2p2，解得p.答案14已知F是抛物线x24y的焦点，P为抛物线上的动点，且A的坐标为(0，1)求的最小值解抛物线的准线为l：y1，过点P作PDl于D，则|PD|PF|，如图所示，sinPAD，当直线PA与抛物线相切时，sinPAD有最小值，由y得y，设切点为(x0>0)，则，解得x02，此时PAD，所以minsin.拓展延伸练15(2019吉林调研)已知抛物线y24x的焦点F，点A(4,3)，P为抛物线上一点，且点P不在直线AF上，则当PAF周长取最小值时，线段PF的长为()A1 B C5 D解析如图，求PAF周长的最小值，即求|PA|PF|的最小值设点P在准线上的投影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|PD|，因此|PA|PF|的最小值，即|PA|PD|的最小值，可得当D，P，A三点共线时，|PA|PD|最小，此时P，F(1,0)，线段PF的长为1.故选B.答案B16(2019湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy中，抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若NFR60，则|NR|()A2 B C2 D3解析如图，连接MF，QF，设准线l与x轴交于H，y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，|FH|2，|PF|PQ|，M，N分别为PQ，PF的中点，MNQF，PQ垂直l于点Q，PQOR，|PQ|PF|，NFR60，PQF为等边三角形，MFPQ，F为HR的中点，|FR|FH|2，|NR|2.故选A.答案A