2021年现代控制理论知识点复习最全面.docx

名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼第一章控制系统地状态空间表达式状态空间表达式xyAxCxBuDun 阶u : r11A : nnB : nrC : mn D : mry : mA 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间地联系；为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量地作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间地组成关系，D 直接传递矩阵，表示输入对输出地直接传递关系。状态空间描述地特点考虑了 “输入状态输出 ”这一过程，它揭示了问题地本质，即输入引起了状态地变化，决定了输出。状态方程与输出方程都为运动方程。而状态状态变量个数等于系统包含地独立贮能元件地个数，状态变量地选择不唯一。n 阶系统有 n 个状态变量可以选择。从便于控制系统地构成来说，把状态变量选为可测量或可观察地量更为合适。建立状态空间描述地步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量地一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。状态空间分析法为时域内地一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图地步骤：积分器地数目应等于状态变量数，将他们画再适当地位置， 每个积分器地输出表示相应地某个状态变量，法器与比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。然后根据状态空间表达式画出相应地加状态空间表达式地建立 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应地模拟结构图；b 每个积分器地输出选作xi ，输入则为 xi ；c 由模拟图写出状态方程与输出方程。 由系统地机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上地电压与电感上地电流作为状态变量。利用 KVL 与 KCL 列微分方程，整理。由描述系统地输入输出动态方程式（微分方程）现问题。实现为非唯一地。或传递函数，建立系统地状态空间表达式，即实方法：微分方程系统函数模拟结构图状态空间表达式。注意： a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。b 模拟结构图地等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。c 对多输入多输出微分方程地实现，也可以先画出模拟结构图。5 状态矢量地线性变换 。也说明了状态空间表达地非唯一性。不改变系统地特征值。特征多项式 地系数也为系统地不变量。特征矢量pi 地求解：也就为求A) x0 地非零解。(i I状态空间表达式变换为约旦标准型（为任意矩阵）：主要为要先求出变换矩阵。a 互异根时，各特征矢量按列排。 b 有重根时，设3 阶系统，1 2 ，为单根，对特征矢量p1 ， p 3 求法与前3第 1 页，共 11 页名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼面相同，p2 称作1 地广义特征矢量，应满足p1 。部分分式展开(1 IA) p 2系统地并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数态空间表达式。模拟结构图状6由状态空间表达式求传递函数阵W (s)1mr 地矩阵函数WW表示第 j 个输入对第 i 个输出地传递关系。W( s)C(sIA)BDijij状态空间表达式不唯一，但系统地传递函数阵W (s) 为不变地。子系统地并联、串联、反馈连接时，对应地状态空间表达及传递函数阵W (s) 。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。第二章控制系统状态空间表达式地解At一线性定常系统齐次状态方程（xAx ）地解： x(t)ex0二矩阵指数函数 状态转移矩阵Ate1表示 x(0) 到 x(t) 地转移。 5 个基本性质。(t)2 e At 地计算：T1 AT, e Att T1或 TeJt T 1a 定义； b 变换为约旦标准型(或J )TeAt11c 用拉氏反变换 e记忆常用地拉氏变换对L( sIA)1s11n!1a)satnat(t )1;1(t); t; e; t; te; sint; cost2n 122222sass( sssd 应用凯莱 -哈密顿定理tBu ）地解： x(t)(t) x(0)(t)Bu() d三线性定常系统非齐次方程（xAx。可由0e At拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法地求解思路）。求解步骤：先求，然后将 B 与 u(t)(t)代入公式即可。特殊激励下地解。第三章线性控制系统地能控性与能观性一能控性及能观性定义（线性连续定常）二线性定常系统地能控性判别（具有一般系统矩阵地多输入系统）T1 ATz1 Bu判别方法（一）：通过线性变换xAxBuzTT 1 AT ，能控性充要条件： T1 B1若 A 地特征值互异， 线性变换（ xTz ）为对角线标准型，没有全为 0 地行。变换矩阵 T 地求法。T1 AT ，能控性充要条件：2若 A 地特征值有相同地，线性变换（xTz ）为约当标准型，JT1 B 中最后一行元素没有全为 T1 B 中对应于相同特征值地部分，每个约当块对应地0 地。第 2 页，共 11 页名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼对应于互异特征根部分，各行元素没有全为0 地。变换矩阵 T 地求法。1 、 T1 B 。这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键为求T 、 T判别方法（二）：直接从，判别2(B, AB, A B,nA1B) 地秩为 n。xAxBu能控地充要条件为能控性判别矩阵M再单输入系统中，M 为一个nn 地方阵；T而多输入系统，M 为一个nnr地矩阵，可通过rank ( MM)rankM三线性定常系统地能观性判别1xyAxCxzyTATzTCz判别方法（一）：通过线性变换1 AT ，能观性充要条件： TC若 A 地特征值互异， 线性变换（ xTz ）为对角线标准型，T中没有全为 0 地列。变换矩阵 T 地求法。T1 AT若 A 地特征值有相同地，线性变换（xTz）为约当标准型，J，能控性充要条件：对应于相同特征值地部分，每个约当块对应地TC 中第一列元素没有全为地。对应于互异特征根部分，对应地TC 中各列元素没有全为地。变换矩阵T 地求法。1 、 TC 。这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键为求判别方法（二）：直接从， C 判别CT 、 TCA能观性地充要条件为能观性判别矩阵地秩为 n。Nn 1CA再单输入系统中，N 为一个nn 地方阵；T )而多输入系统，N 为一个nmn 地矩阵，可通过rank (MMrankM六能控性与能观性地对偶原理TTT若A， BC， CB，则) 与, B , C ) 对偶。A( A , B ,C( A21212111112222对偶系统地传递函数阵为互为转置地。且他们地特征方程式为相同地。1 与2 对偶，则1 能控性等价于2 能观性，1 能观性等价于2 能控性。七能控标准型与能观标准型对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器地设计及系统辨识，能观标准型比较方 便。能控标准型（如果已知系统地状态空间表达式）nn1判别系统地能控性。计算特征多项式|IA |ana1a 0 ，即可写出 A 。求变1p10p1 A01，计算1bAn1 B1换矩阵 T， c。求 TcT，p0,0,1 b, Ab,bTc11c1c1c1n 1p1 A1第 3 页，共 11 页名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼1也可以验证为否有ATc1ATc1 。能观标准型nn1判别系统地能观性。计算特征多项式|IA |ana1a 0 ，即可写出A 。求变11c0cA01n 1换矩 阵To2T1 , AT1 , AT1，。求， 计算bT02b，T1T02n 1cA111 ，也可以验证为否有ATo2ATo 2 。ccT0200如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准型与能观标准型地状态空间表达。n1n 21s2 san1 sa1snn0W( s)n 1n1n2san1s2 sa00010010000能控标准型：Abc1 01n0a00010a10a210an11010000a0a1 a201能观标准型：Abc 001n 20八线性系统地结构分解01an1n 1n ），通过非奇异变换xRc x? 完成。1按能控性分解（状态不完全能控，即rankMn1Rn，前 n1 个列矢量为 M 中 n1 个线性无关地列，其他列矢量保证Rc 非RcR1R2Rn1奇异地条件下为任意地。xRo x? 完成。n ），通过非奇异变换2按能观性分解（状态不完全能观，即rankNn1R1R211，前 n1 个行矢量为 N 中 n1 个线性无关地行，其他行矢量保证RoRo非奇异地条件下为任Rn1Rn意地。3按能控性与能观性分解（系统为不完全能控与不完全能观地） 直观。，采用逐步分解法，虽然烦琐，但第 4 页，共 11 页名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼步骤：首先按能控性分解（ xc 能控状态， xc 不能控状态）。对不能控子系统按能观性分解（xc o不能控能观状态，不能控不能观状态）。将能控子系统按能观性分解（能控能观状态，xcoxcoxco能控不能观状态）。综合各步变换结果，写出最后地表达式。另一种方法：化为约当标准型，判断各状态地能控性能观测性，最后按 九传递函数阵地实现问题4 种类型分类排列。1实现地定义： 由W (s) 写出状态空间表达式， 甚至画出模拟结构图， 称为传递函数阵地实现问题。条件：传递函数阵中每个元地分子分母多项式都为实常数；元为s 地真有理分式。注意：如果不为有理分式，首先求出直接传递矩阵W( s) 。Dlims2能控标准型与能观标准型实现单入单出系统， W (s) 为有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准 标准 2 型实现。3最小实现（维数最小地实现）1 型与能观xyAxCxBu为W ( s) 最小实现地充要条件为( A, B,C) 为完全能控能观地。步骤：对给定地 W( s) ，初选一种实现（能控标准型或能观标准型），假设选能控标准型，判断为否完全能观测， 若完全能观测则就为最小实现；否则进行能观性分解，进一步找出能控能观部分，为最小实现。即注意：传递函数阵W (s) 地实现不为唯一地，最小实现也不为唯一地。十传递函数 W (s) 中零极点对消与能控性与能观性之间地关系对单输入系统、 单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观地充要条件为传递函数没有零极点对消。 而对多输入多输出系统， 传递函数阵没有零极点对消只为最小实现地充分条件，也就为说，即使存再零极点对消，系统仍有可能为能控能观地（p147 例 3-19）。对单输入单输出系统，若传递函数出现了零极点对消，还不能判断到底为不能控还为不能观，还为既不能控又不能观。第四章稳定性与李雅普诺夫方法一稳定性地定义李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用地稳定性定义。1平衡状态xf ( x,t ) 为齐次状态方程。满足对所有 t，都有 f ( xe ,t )0 成立地状态矢量xe 称为系统地平衡状态。稳定性问题都为相对于某个平衡状态而言地。通常只讨论坐标原点处地稳定性。2稳定性地几个定义李雅普诺夫意义下稳定（相当于自控里地临界稳定）；渐近稳定（相当于自控里地稳定） ；大范围渐近稳定，大范围渐近稳定地必要条件为整个状态空间只有一个平衡状态；不稳定。二李雅普诺夫第一法（间接法）1线性定常系统地稳定判据状态稳定性：平衡状态xe0 渐近稳定地充要条件为A 地所有特征值具有负实部。第 5 页，共 11 页名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼输出稳定性：充要条件为传递函数地极点位于2非线性系统地稳定性s 地左半平面。f线性化处理。xAx ； A，若 A地所有特征值具有负实部，则原非线性系统再平xx xe衡状态xe 渐近稳定。若A 地所有特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统再平衡状态xe 不稳定。若若 A 地所有特征值至少有实部为零，则稳定性不能有特征值地符号来确定。三李雅普诺夫第二法（直接法）判断。1预备知识借助于一个李雅普诺夫函数来直接对平衡状态地稳定性做出V ( x) 为由 n 维矢量 x 定义地标量函数，且再x0 处，恒有 V ( x)0 ，对任何非零矢量x，如果V ( x)0 ，则称之为正定；如果 V ( x)0 ，则称之为负定；如果V ( x)0 则称之为半正定或非负定；如果V (x)0 则称之为半负定或非正定；如果V ( x)0 或V ( x)0 ，则称之为不定。TxPx 为二次型标量函数，P 为实对称阵。要判别V ( x) 地符号只要判别 P 地符号即可。V ( x)0 ，则 PP 地定号判据（希尔维特斯判据）：首先求出P 地各阶顺序主子式i ，若所有地ii偶数0 ， i奇数（ V ( x) ）正定；若地地0 则 P （ V ( x) ）负定；ii2李雅普诺夫函数对于一个给定系统，如果能找到一个正定地标量函数V ( x) ，而 V ( x) 为负定地，则这个系统为渐近稳定地，这个标量函数V ( x) 叫做李雅普诺夫函数。李雅普诺夫第二法地关键问题就为寻找李雅普诺夫函数V (x) 地问题。稳定性判据设xf ( x) ，平衡状态为0 ，如果存再标量函数V (x) 为正定地，即 x0时，有 V (x)0 ，xxe0时，有 V ( x)0 ，且满足 V ( x)0 ，则称原点平衡状态为渐近稳定地；如果当x时，V ( x)，则系统为大范围渐近稳定地。设xf ( x) ，平衡状态为0 ，如果存再标量函数V (x) 为正定地，即 x0时，有 V (x)0 ，xxe0时，有V (x)0 ，且满足V ( x)0 ，但除0 外，即0 ， V ( x) 不恒等于，则称原点平衡状态xx为渐近稳定地；如果当x时， V ( x)，则系统为大范围渐近稳定地。设xf ( x) ，平衡状态为0 ，如果存再标量函数V (x) 为正定地，即 x0时，有 V (x)0 ，x0xe时，有V (x)0 ，且满足V (x)0 ，但任意地 x0 ， V ( x) 恒等于，则称原点平衡状态为李雅普第 6 页，共 11 页名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼诺夫意义下稳定地。设xf ( x) ，平衡状态为0 ，如果存再标量函数V (x) 为正定地，即 x0时，有 V (x)0 ，x0xe时，有V ( x)0 ，且满足V (x)0 ，则称原点平衡状态为不稳定地。需要注意：这些判据定理知识充分条件，也就为说，没有找到合适地李雅普诺夫函数来证明原点地稳定性，不能说明原点一定为不稳定地。如果V( x) 为可找到地，那么通常为非唯一地，但不影响结论。 V ( x) 最简单地形式为二次型标量函数，但不一定都为简单地二次型。构造 V (x)需要较多技巧。四李雅普诺夫方法再线性系统中地应用线性定常连续系统渐近稳定判据定理： xAx ，若 A 为非奇异地，原点xe0 为唯一地平衡点。原点大范围渐近稳定地充要条件TP为对任意对称实正定矩阵Q ，李雅普诺夫方程Q ，存再唯一地对称正定解P 。APA该定理等价于地特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值复杂。步骤：选定正定矩阵Q ，通常为QI，代入李雅普诺夫方程，确定出P ，判断为否正定，进而做出系统渐近稳定地结论。五非线性系统地李雅普诺夫稳定性分析雅可比矩阵法fx步骤：xf ( x) ，写出f ( x) ，计算雅可比矩阵，对给定正定矩阵P （通常 PI ），J (x)TTPJ (x) 为正定地。并且 V ( x)f( x) Pf ( x) 为系统地一个李雅普诺夫函数。Q( x) J (x)P第五章一线性反馈控制系统地基本结构及其特性线性定常系统地综合1状态反馈将系统地每一个状态变量乘以相应地反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统地控制输入。K 称为状态反馈增益阵，rn 。设原受控系统(A, B,C ) ，=0。0x( ABK ) xCxBv状态反馈闭环系统地状态空间表达式简称( ABK , B, C)Ky与原受控系统( A, B,C) 比较，状态反馈增益阵地引入，并不增加系统地维数，但可以通0过地选择改变闭环系统地特征值，从而使获得所要求地性能。2输出反馈由输出端 y 引入输出反馈增益阵H（ rm ），然后反馈到输入端与参考输入相加，x( ABHC ) xBv作 为 受 控 系 统 地 控 制 输 入 。 状 态 空 间表 达 式 为简 称yCx( ABHC , B,C)H通过地选择也可以改变闭环系统地特征值，n ）。从而改变性能，但可供选择地自由度远比小 （通常 m从输出到状态变量导数x地反馈从输出 y 引入反馈增益阵G（ nm ）到状态变量地导第 7 页，共 11 页名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼x( AGC )xCxBu数 x ，所得状态空间表达式为简称( AGC , B, C)H