高中数学竞赛平面几何基本定理.doc

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2 射影定理（欧几里得定理）3 中线定理（巴布斯定理）设ABC的边BC的中点为P，则有；中线长：4 垂线定理：高线长：5 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如ABC中，AD平分BAC，则；（外角平分线定理）角平分线长：（其中为周长一半）6 正弦定理：，（其中为三角形外接圆半径）7 余弦定理：8 张角定理：9 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2DC+AC2BDAD2BCBCDCBD10 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半（圆外角如何转化？）11 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形ABCD中，ACBD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边14 点到圆的幂：设P为O所在平面上任意一点，PO=d，O的半径为r，则d2r2就是点P对于O的幂过P任作一直线与O交于点A、B，则PAPB= |d2r2|“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴”三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点15 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即ACBD=ABCD+ADBC，(逆命题成立) （广义托勒密定理）ABCD+ADBCACBD16 蝴蝶定理：AB是O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM 17 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离定理2 三角形每一内角都小于120时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120时，此角的顶点即为费马点18 拿破仑三角形：在任意ABC的外侧，分别作等边ABD、BCE、CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AEBFCD，这个命题称为拿破仑定理 以ABC的三条边分别向外作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C1 、A1 、B1的圆心构成的外拿破仑的三角形，C1 、A1 、B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；ABC的三条边分别向ABC的内侧作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C2 、A2 、B2的圆心构成的内拿破仑三角形，C2 、A2 、B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具有相同的中心 19 九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理20 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上21 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R22Rr22 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和23 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；重心性质：（1）设G为ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则；（2）设G为ABC的重心，则；（3）设G为ABC的重心，过G作DEBC交AB于D，交AC于E，过G作PFAC交AB于P，交BC于F，过G作HKAB交AC于K，交BC于H，则；（4）设G为ABC的重心，则；（P为ABC内任意一点）；到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即最小； 三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为ABC的重心）24 垂心：三角形的三条高线的交点；垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H关于ABC的三边的对称点，均在ABC的外接圆上；（3）ABC的垂心为H，则ABC，ABH，BCH，ACH的外接圆是等圆；（4）设O，H分别为ABC的外心和垂心，则25 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等； 内心性质：（1）设I为ABC的内心，则I到ABC三边的距离相等，反之亦然；（2）设I为ABC的内心，则；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若平分线交ABC外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为ABC的内心；（4）设I为ABC的内心， 平分线交BC于D，交ABC外接圆于点K，则；（5）设I为ABC的内心，I在上的射影分别为，内切圆半径为，令，则；26 外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O为ABC的外心，则或；（3）；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和27 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；设ABC的三边令，分别与外侧相切的旁切圆圆心记为，其半径分别记为旁心性质：（1）（对于顶角B，C也有类似的式子）；（2）；（3）设的连线交ABC的外接圆于D，则（对于有同样的结论）；（4）ABC是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圆半径等于ABC的直径为2R28 三角形面积公式：，其中表示边上的高，为外接圆半径，为内切圆半径，29 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系： 30 梅涅劳斯（Menelaus）定理：设ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 （逆定理也成立）31 梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC的A的外角平分线交边CA于Q，C的平分线交边AB于R，B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线32 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线33 塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是=134 塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M35 塞瓦定理的逆定理：（略）36 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点37 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点38 西摩松（Simson）定理：从ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）39 西摩松定理的逆定理：（略）40 关于西摩松线的定理1：ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上41 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点42 史坦纳定理：设ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心43 史坦纳定理的应用定理：ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上这条直线被叫做点P关于ABC的镜象线44 牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线这条直线叫做这个四边形的牛顿线 45 牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线46 笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线47 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线48 波朗杰、腾下定理：设ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2) 49 波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于PQR的的西摩松线交于与前相同的一点50 波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点51 波朗杰、腾下定理推论3：考查ABC的外接圆上的一点P的关于ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于ABC的西摩松线交于一点52 波朗杰、腾下定理推论4：从ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于ABC的西摩松线交于一点53 卡诺定理：通过ABC的外接圆的一点P，引与ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线54 奥倍尔定理：通过ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线55 清宫定理：设P、Q为ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线56 他拿定理：设P、Q为关于ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQOP 则称P、Q两点关于圆O互为反点）57 朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上 58 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心59 一个圆周上有n个点，从其中任意n1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点60 康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点61 康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线62 康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点63 康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线64 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切 65 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形这个三角形常被称作莫利正三角形66 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点67 帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线68 阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上这个圆称为阿波罗尼斯圆69 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆70 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是ABF、AED、BCE、DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点71 葛尔刚（Gergonne）点：ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点 72 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，过M向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设7分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分56分，每小题7分。）1已知复数满足，则 0 2设，则的值域为3设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是4已知O是锐角ABC的外心，若，且，则5已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点则四面体的体积为6设，且，则符合条件的共有 1600 组（注：顺序不同视为不同组）7设，则的最小值为8设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）9设数列满足，其中（1）证明：对一切，有；（2）证明：证明 （1）在已知关系式中，令，可得；令，可得 令，可得 由得，代入，化简得 -7分（2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此于是因为，所以 -14分10求不定方程的正整数解的组数解 令，则先考虑不定方程满足的正整数解，-5分当时，有，此方程满足的正整数解为当时，有，此方程满足的正整数解为所以不定方程满足的正整数解为 -10分又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为 -15分11已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点(1)证明：直线AB恒过定点Q；(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：证明 (1)设，则由得，所以于是抛物线C在A点处的切线方程为，即设，则有设，同理有所以AB的方程为，即，所以直线AB恒过定点 -7分 (2)PQ的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得设，则 要证，只需证明，即 由知，式左边=故式成立，从而结论成立 -15分12设为正实数，且证明：证明 因为，要证原不等式成立，等价于证明 -5分事实上， -10分由柯西不等式知 -15分又由知 由，可知式成立，从而原不等式成立 -20分 蚌埠二中2005年省理科实验班招生加试物 理 试 题（本卷满分150分 答题时间120分钟）题号一 试二 试总 分一二三1231234得分第一试（90分）阅卷人得 分一、选择题（本大题8小题，每小题4分，共32分。每小题只有一个正确选项，不选、错选或多选均不得分） 1、以下说法正确的是（ ）A、物体吸收热量，温度一定升高B、外界对物体做功，物体内能一定增加C、温度高的物体内能一定比温度低的物体内能大D、做功改变物体内能的本质是内能和其他形式能之间的转化2、一小车自西向东做直线运动，连续通过两段路程，第一段路程为S，平均速度为V1，第二段路程为2S，平均速度为V2，则全程的平均速度为（ ）A、 B、 第3题图C、 D、3、如图所示，磁带录音机既可用作录音，也可用作放音，其主要部件为可匀速行进的磁带和绕有线圈的磁头，下面对于它们在录音、放音过程中主要工作原理的描述，正确的是 （ ）A、放音的主要原理是电磁感应，录音的主要原理是电流的磁效应。B、录音的主要原理是电磁感应，放音的主要原理是电流的磁效应。C、放音和录音的主要原理都是磁场对电流的作用。D、录音和放音的主要原理都是电磁感应。4、下列关于核能的说法正确的是 （ ）A、物质是由原子组成的，原子中有原子核，所以利用任何物质都能得到核能。B、到目前为止，人们获得核能有两种途径，即原子核的裂变和聚变。C、原子弹和氢弹都是利用原子核裂变的原理制成的。D、自然界中只有在人为条件下才会发生聚变。abP第5题图5、如图所示，a、b两盏灯都能发光，且在电路变化时灯不会被烧坏，若滑动变阻器的触头P向左移动时，两盏灯亮暗的变化情况是（ ）A、a、b均变亮 B、a、b均变暗C、a变亮、b变暗 D、a变暗、b变亮 c a b第6题图6、用厚度不计的玻璃制成一空气三棱镜，放置于水中，如图所示。一束平行底边ab的单色光线射向侧面ac，并从bc侧面射出，此时，光线将向 （ ）A、向底边偏折 B、向顶角偏折C、不发生偏折 D、与入射光线平行，但不共线第7题图7、如图所示，物体a、b和c叠放在水平桌面上，水平为Fb5N，Fc10N，分别作用于物体b、c上，a、b和c仍保持静止，以Ff1、Ff2和Ff3分别表示a与b、b与c、c与桌面的静摩擦力的大小，则（ ）A、Ff1=5N，Ff2=0，Ff3=5NB、Ff1=5N，Ff2=5N，Ff3=0C、Ff1=0，Ff2=5N，Ff3=5ND、Ff1=0，Ff2=10N，Ff3=5NN S第8题图8、如图所示，一条形磁铁固定于水平桌面上，在其正上方有一可自由移动的直导线。观察者俯视观察，当导线通有水平向右的电流时，则导线将如何运动（ ）A、顺时针转动且向上 B、顺时针转动且向下C、逆时针转动且向上 D、逆时针转动且向下阅卷人得 分二、填空题（本题共8小题，其中17题每空3分，第8小题每空2分，共36分） 1、2005年6月，广西梧州地区发生了洪涝灾害，国家启动应急救援措施，向该地区空投一批救援物资。若空投物资先加速后匀速下落，那么在加速下落阶段，物资的动能将 ，机械能 。（填“增大”、“不变”或“减小”） AB第3题图2、小朋友在游戏中常制作一种“土电话”的玩具，用两个圆纸盒与一根棉线组成，只要将棉线绷紧，二人就可以通话。那么“土电话”是利用了_原理制成的。3、如图所示，用滑轮装置将A、B两物体悬挂，如果不计滑轮重力与摩擦，要使整个装置处于平衡，则GA = GB。4、一重为20N的薄铁皮水桶装满重力为98N的水，用手提桶并将桶浸没到大水缸中（未与缸底接触），此时手对桶的拉力为 N。第5题图5、汽车车头灯是一种特殊的灯，通常称之为双头灯。它里面有两个灯丝，可由驾驶室的开关控制转换发光。灯丝前面是透光玻璃罩，灯丝后面有用来反光的凹面镜。如图所示，它的两个灯丝中，一个称为远聚光灯丝，安装在凹面镜焦点F的位置上，灯丝发出的光经凹面镜反射后集中向前方平行射出，照亮车前方很远的道路；另一个称为近聚光灯丝，发出的光经凹面镜反射后仅照亮车前不远的地方。请你就图中所示情形判断，近聚光灯丝应安装在a位置还是b位置？_。甲 乙第6题图6、如图所示，灯泡规格均相同，甲图中电压恒为6V，乙图中电压恒为12V。分别调节R1、R2使灯均正常发光，那么此时电路消耗的总功率之比P1P2_，可变电阻接入电路中的电阻值之比R1R2_。 质量/g10 t3 t2 t10 15 25 40温度变化 第8题图7、某一边长为0.1m的立方体合金，其密度5.0103kg/m3。用不计重力的细绳悬挂于水中，其上表面距水面0.45m。现缓慢将其匀速提出水面，当金属块下表面恰好离开水面时，则此过程中重力做功大小为_J，拉力做功大小为_J。（g=10N/kg）8、用同一均匀的热源加热水的质量和温度变化的图线（如图所示），请回答下列问题：由图中可知，加热时间t1、t2和t3的大小顺序是_；若t330s，则t2_s，t1=_s。阅卷人得 分三、设计与计算（本题共3小题，共22分）第1题图1、（5分）如图所示，是某同学进行的一项实验。书和桌面之间用两根圆木筷搭成一个斜面，两圆木筷之间为梯形。若在斜面底端放置一个如图所示的双圆锥体，请问它能向上运动吗？试说明其原因。2、（8分）用下图所示的器材，研究钨丝灯泡消耗的功率P与通过它的电流I之间的关系。已知灯泡的规格为“12V 5W”，电源电压为15V，滑动变阻器的规格为“20 2A”，测量灯泡消耗的功率需要用到电流表、电压表。请在下面的方框中画出电路图，并将图中的器材连成实验电路。要求：实验中灯泡两端的电压变化范围为012V。3、（9分）汽车以15m/s的速度行驶，汽油箱内还有20kg的汽油，发动机功率P35kW，效率20。已知汽油的热值q=4.62107J/kg，问汽车能否行驶到80km远的目的地？第二试（60分）阅卷人得 分1、（12分）质量为10kg，长2m的不均匀细杆，两端用细绳悬于天花板上的O点。在距B端0.3m处挂一质量为3kg的重物，杆恰好保持水平。已知杆AB与两绳间夹角分别为30o和60o（如图所示），求杆重心距A端的距离。A BO30o 60o第1题图阅卷人得 分2、（13分）高血压是危害健康的一种常见病，现已查明血管内径变细是其诱因之一。我们可在简化假设下研究这一问题。设液体通过一根一定长度的管子时，受到的阻力Ff与流速V成正比，即Ffkv（为简便起见，设k与管子粗细无关）。为维持血液匀速流过，在这段管子两端需有一定的压强差。设血管截面积为S时，两端所需压强差为P，若血管截面积减小10，为了维持在相同时间内通过同样多的液体，压强差P必须变为多大？阅卷人得 分3、（16分）取一个不高的横截面积是S的圆筒，筒内装水质量为m，在阳光垂直照射下，经过时间t，温度升高k。若把太阳看成黑体，已知太阳半径和地球到太阳的距离分别为R和d，并考虑到阳光传播过程中的损失，地球大气层的吸收和散射，水所能吸收的太阳能仅是太阳辐射能的一半，试用所给的物理量表达太阳表面的温度。（黑体单位表面积的辐射功率J与其温度的四次方成正比，即JT4，为常数，水的比热容为c，球面面积S=4r2）阅卷人得 分4、（19分）如图所示电路中，电源电压U250V，电路中接有电阻R5，电路中装有50只完全相同的电热器，每只电热器的额定电压为200V，额定功率为1000W，其它电阻不计，并且忽略电热器电阻随温度的变化，问当接几只电热器时，（1）实际使用的电热器均能正常工作？（2）电热器组加热物体最快？第4题图蚌埠二中2005年省理科实验班招生加试物 理 试 题一、选择题(本大题共8小题，共32分，每小题只有一个正确选项，不选、错选、多选均不得分)题号12345678选项DCABDBCD二、填空题（17题每空3分，第8小题每空2分）1、 增 大 、 减 小 2、 声波可以在固体中传播 3、 5 4、 20 N 5、 b 6、 11 、 14 7、 27.5 J、 22.5 J8、 t1 > t2 > t3 、 50 s 、 80 s 三、计算与设计(5+8+9=22分)1、双圆锥体能向上运动，原因为：双圆锥体从底端A到顶端C的过程中，双圆锥体与圆木筷的接触点间的距离在不断增加，接触点上方的圆半径逐渐减小，双圆锥体重心逐渐降低，锥体势能减小，忽略空气等阻力，其动能会增大，因此向上运动。2、分压电路，选0-0.6A和0-15V量程，内外接法均可3、qm=(P/V)S s=79.2km,所以不行A BO30o 60oC G物G杆D0.3mL杆L物第二试（1213161960分）1、取O为支点，设重心在c处OBABsin301米DBOBsin300.5米G杆L杆G物L物100L杆30（DB0.3） L物0.2m 解得L杆0.06m LAC=1.44m2、在相同时间流过同样多的液体，因此： S v t =Svt由平衡条件可得：Ps=kv ps=kv已知： s0.9s得： p=1.23p3、水吸收热量Q=cmk每平方米水面吸收热功率JQSt单位面积上的热功率与距离的平方成反比，即：，由题目所给条件可知：JT4联立上式可得：T = 4、解：（1）R热 URUU额250V200V50V I R热总 n（2）电热器加热物体最快，即电热器总功率最大。P热总（U总UR）I （2505I）I 5I2250I根据，当时为极值当I25A时，电热器功率最大 R总 R热总R总R1055蚌埠二中2005年省理科实验班招生加试数 学 试 题（本卷满分150分 答题时间120分钟）题 号一二三总 分1112131415得 分参考公式： 阅卷人得 分一、选择题（本题共4小题，每小题7分，满分28分。每小题均给出了代号 A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）NDMACBO1、如图，梯形ABCD的对角线交于O，过O作两底的平行线分别交两腰于M、N，若AB4，CD1，则MN的长为（ ）A、1.2B、1.4C、1.6D、1.8 第1题图2、方程的正根个数为（ ） A、0B、1C、2D、33、若a、b和c是三个两两不同的奇质数，且方程有两个相等的实根，则a的最小值是（ ）A、41B、47C、53D、594、已知，当时，；时，；时，。则当时，y的值为（ ）A、30B、34C、40D、44阅卷人得 分二、填空题（本题共6小题，每小题7分，满分42分）5、若0a1，化简得 。6、已知，则的值为 。7、向一个三角形内加入2005个点，加上原三角形的三个点共计2008个点。用剪刀最多可以剪出 个以这2008个点为顶点的三角形。8、若a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是 。CAOBPHD第9题图9、如图，C为半圆O上一点，AB为直径，且AB2a，COA60。延长AB到P，使BPAB，连CP交半圆于D，过P作AP的垂线交AD的延长线于H，则PH的长度为 。10、已知：a0，b0，且，则代数式的值为 。 三、解答题（本题共5小题，满分80分）阅卷人得 分11、（本题满分10分）有三个含30角的直角三角形，它们的大小互不相同，但均有一条长为a的边。这三个三角形按照从大到小的顺序，求其面积比。阅卷人得 分12、（本题满分15分）某厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元。（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x。试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？阅卷人得 分13、（本题满分15分）试写出所有3个连续正整数立方和的最大公约数，并证明。