江苏版2018年高考数学一轮复习专题2.9幂函数指数函数与对数函数讲.doc

2.9 幂函数、指数函数与对数函数【考纲解读】内 容要 求备注ABC函数概念与基本初等函数指数函数的图象与性质  1理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算2了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型3理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数4理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性5了解幂函数的概念6结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图像，了解它们的变化情况对数函数的图象与性质  幂函数  【直击考点】题组一常识题1教材改编 如果3x4，则x_ 【解析】 由指数式与对数式的互化规则，得xlog34.2教材改编 2log510log50.25_【解析】 2log510log50.25log5(102×0.25)log5252.3教材改编 函数ylog2(x21)的单调递增区间是_【解析】 由x21>0得x<1或x>1.又函数ylog2x在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(1，)题组二常错题4函数ylog(2x23x1)的单调递减区间为_【解析】 由2x23x10，得x1或x，易知u2x23x1在(1，)上是增函数，所以原函数的单调递减区间为(1，)5设a，blog9，clog8，则a，b，c的大小关系是_【解析】 alog9log9<log8c，alog9>log9b，所以c>a>b.题组三常考题6 lg 2lg 2_【解析】 原式lg 5lg 22lg 25lg 5lg 25156.7设alog32，blog52，clog45，则a，b，c的大小关系是_8 设函数f(x)ln(1|x|)，若f(x)>f(2x1)，则x的取值范围为_【解析】 由f(x)ln(1|x|)可知f (x)是偶函数，且在0，)上是增函数，所以f(x)>f(2x1)，即f(|x|)>f(|2x1|)，即|x|>|2x1|，解得<x<1.【知识清单】1 幂函数的概念、图象与性质常用幂函数的图象与性质yxyx2yx3yyx1图象定义域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x0，)时，增；x(，0时，减增增x(0，)时，减；x(，0)时，减2指数函数的概念、图象与性质yaxa>10<a<1图像定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1在(，)上是增函数在(，)上是减函数【考点深度剖析】 1.与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论2.关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高3.从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质【重点难点突破】考点1 幂函数的概念、图象与性质【1-1】已知函数f(x)(m2m1)x5m3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，)上是增函数？【答案】【1-2】若幂函数y(m23m3)的图象不经过原点，则实数m的值为_【答案】1或2【解析】由，解得m1或2.经检验m1或2都适合.【1-3】设，则a，b，c的大小关系是_【答案】【解析】函数是增函数，又函数是减函数，.【思想方法】1.判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）幂系数为1.2.幂函数yx的图像与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)的正负：>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降(2)曲线在第一象限的凹凸性：>1时，曲线下凸；0<<1时，曲线上凸；<0时，曲线下凸【温馨提醒】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键.考点2 指数函数的概念、图象与性质【2-1】若函数f(x)ax1(a>0，a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.【答案】 【2-2】设f(x)|3x1|，c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，由在关系式3c>3b；3b>3a；3c3a>2；3c3a<2中一定成立的是.【答案】【解析】作f(x)|3x1|的图象如图所示，由图可知，要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，需有c<0且a>0，所以3c<1<3a，所以f(c)13c，f(a)3a1.又f(c)>f(a)，所以13c>3a1，即3a3c<2，故填.【思想方法】指数函数的底数中若含有参数，一般需分类讨论指数函数与其他函数构成的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决【温馨提醒】一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解考点3 对数函数的概念、图象与性质【3-1】已知f(x)loga(x1)(a>0且a1)，若当x(1，0)时，f(x)<0，则f(x)在定义域上单调性是.【答案】增函数【解析】由于，即时，所以，因而在上是增函数【3-2】已知f(x)loga(ax1)(a>0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性【答案】（1）时，定义域为，时，定义域为；（2）时，增函数，时，减函数【解析】(1)由ax1>0得ax>1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.当a>1时，f(x)的定义域为(0，)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(，0)(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，故0<ax11<ax21，loga(ax11)<loga(ax21)f(x1)<f(x2)故当a>1时，f(x)在(0，)上是增函数类似地，当0<a<1时，f(x)在(，0)上为增函数【3-3】已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【答案】（1）单调递增区间是(1,1)，递减区间是(1,3)；（2）存在，【基础知识】a>10<a<1图像定义域(0，)值域R定点过点(1,0)单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数函数值正负当x>1时，y>0；当0<x<1，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0【思想方法】利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决【温馨提醒】解决对数型函数、对数型不等式问题,一定要注意定义域优先原则.【易错试题常警惕】由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到如：若，则的取值范围是 【分析】由的图象关于轴对称知，函数在上是减函数，在上是增函数因为，所以或或或，解得或或或，所以的取值范围是【易错点】本题容易只考虑到，在同一单调区间的情况，不全面而致误【练一练】已知幂函数f(x)x(mm)1(mN)，经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)>f(a1)的实数a的取值范围。- 8 -