2018_2019学年高中数学第三章直线与方程3.3.3_3.3.4点到直线的距离两条平行直线间的距离练习新人教A版必修2.doc

3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离【选题明细表】 知识点、方法题号点到直线的距离1,2,6两平行线间的距离3,5,9综合应用4,7,8,10,11,12,131.(2017·陕西西安高一期末)点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是原点,则|OP|的最小值是(B)(A) (B)2 (C) (D)2解析:由题意可知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线x+y-4=0的距离d=2.2.已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为(D)(A)1 (B)-1 (C) (D)±解析:由题意,得=1,即|a|=,所以a=±.故选D.3.(2018·四川绵阳市模拟)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为=,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.故选C.4.直线l垂直于直线y=x+1,原点O到l的距离为1,且l与y轴正半轴有交点,则直线l的方程是(A)(A)x+y-=0(B)x+y+1=0(C)x+y-1=0(D)x+y+=0解析:因为直线l与直线y=x+1垂直,所以设直线l的方程为y=-x+b.又l与y轴正半轴有交点,知b>0,即x+y-b=0(b>0),原点O(0,0)到直线x+y-b=0(b>0)的距离为=1,解得b=(b=-舍去),所以所求直线l的方程为x+y-=0.5.(2018·甘肃武威凉州区期末)已知两条平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c等于(D)(A)-12(B)48 (C)36 (D)-12或48解析:将l1:3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0,因为两条直线平行,所以b=8.由=3,解得c=-20或c=40.所以b+c=-12或48故选D.6.若A(3,2)和B(-1,4)到直线l:mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于. 解析:由题意得=,所以m=或m=-6.答案:或-67.一直线过点P(2,0),且点Q到该直线的距离等于4,则该直线的倾斜角为. 解析:当过P点的直线垂直于x轴时,Q点到直线的距离等于4,此时直线的倾斜角为90°,当过P点的直线不垂直于x轴时,直线斜率存在,设过P点的直线为y=k(x-2),即kx-y-2k=0.由d=4,解得k=.所以直线的倾斜角为30°.答案:90°或30°8.已知点P(2,-1).(1)若一条直线经过点P,且原点到直线的距离为2,求该直线的一般式方程;(2)求过点P且与原点距离最大的直线的一般式方程,并求出最大距离是多少?解:(1)当l的斜率不存在时,则直线的方程为x=2; 当直线的斜率k存在时,设直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由点到直线距离公式得=2,解得k=,得直线方程为3x-4y-10=0.故所求直线的方程为x-2=0或3x-4y-10=0.(2)由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,由kPO=-,得所求直线的斜率为2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.最大距离为=.9.两条平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是(B)(A)0<d3(B)0<d5(C)0<d4(D)3d5解析:当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大,为|AB|=5.所以0<d5.10.已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为. 解析:显然直线l的斜率不存在时,不满足题意;设所求直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由已知,得=,所以k=2或k=-.所以所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.答案:2x+3y-18=0或2x-y-2=011.(2018·湖南益阳资阳区模拟)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为. 解析:求的最小值,就是求2x+y+5=0上的点到原点的距离的最小值,转化为坐标原点到直线2x+y+5=0的距离d=.答案:12.已知点P(2,-1).(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.解:(1)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2,-1),可见,过P点垂直于x轴的直线满足条件,此时直线l的斜率不存在,其方程为x=2.若直线l的斜率存在,设其方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知,得=2,解得k=,此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)过P点且与原点O距离最大的直线是过P点且与OP垂直的直线.由lOP,得klkOP=-1,所以kl=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为=.(3)由(2)可知,存在过点P且到原点距离最大为的直线,因此不存在过点P到原点距离为6的直线.13.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,但始终保持平行,如果这两条平行直线间的距离为d.求:(1)d的变化范围;(2)当d取最大值时两条直线的方程.解:(1)法一当两条直线的斜率都不存在时,即两条直线分别为x=6和x=-3,则它们之间的距离为9.当两条直线的斜率都存在时,设这两条直线方程为l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0,所以d=,即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.因为kR,d>0,且d9,所以=(-54)2-4(81-d2)(9-d2)0,即0<d3且d9.综合可知,所求d的变化范围为(0,3.法二如图所示,显然有0<d|AB|.而|AB|=3.故所求的d的变化范围为(0,3.(2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于直线AB.而kAB=,所以所求直线的斜率均为-3.故所求的两条直线方程分别为y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.5