2019高考数学二轮复习第3讲不等式专题突破练理.doc

第3讲不等式1.(1)2017·山东卷 若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为. (2)2018·天津卷 已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为. 试做   命题角度利用基本不等式求最值关键一:确定定值式(已知中是和为定值还是积为定值);关键二:将待求式变形,利用基本不等式转换成定值式.2.(1)2018·全国卷 若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为. (2)2017·全国卷 设x,y满足约束条件则z=3x-2y的最小值为. 试做   命题角度求线性目标函数的最值关键一:直线定界,特殊点定域;关键二:在目标函数z=ax+by中,若b>0,则截距取最大值时,z取最大值,若b<0,则截距取最大值时,z取最小值;关键三:注意可行域是否包含边界,线性目标函数的最值一般在区域的顶点或边界处取得.3.2016·全国卷 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元. 试做   命题角度线性规划实际应用问题关键一:将实际问题转化为数学模型;关键二:设出未知量,写出约束条件和目标函数;关键三:求出最优解和其他要求的解.注意:实际问题中所设未知量的实际取值范围.小题1不等式的性质及解法1 (1)已知a<b<0,则下列不等式中恒成立的是()A.>B.<C.2a>2bD.a3>b3(2)已知当-1a1时,x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则实数x的取值范围是. 听课笔记    【考场点拨】求解含参不等式ax2+bx+c<0恒成立问题的易失分点:(1)对参数进行讨论时分类不完整;(2)不会转换成把参数作为主元进行求解;(3)不考虑a的符号;(4)求解不等式ax2+bx+c<0时,不会与对应的二次函数及二次方程结合起来.【自我检测】1.已知a,b为实数,则“ab>b2”是“a>b>0”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知<<0,则下列选项中错误的是 ()A.|b|>|a|B.ac>bcC.>0D.ln>03.若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是 ()A.(-2,2)B.(-,-2)(2,+)C.(-2,2D.(-,24.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)+f(-x),则不等式g(x)2的解集为. 小题2基本不等式及其应用2 (1)已知a>0,b>0,若不等式+恒成立,则m的最大值为 ()A.9B.12C.18D.24(2)已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当取得最小值时,a+b-c的最大值为()A.2B.C.D.听课笔记    【考场点拨】利用基本不等式求最值的关键:(1)基本不等式a+b2成立的条件是a>0,b>0,而不等式a2+b22ab对任意实数a,b都成立,因此在使用时要注意其前提条件;(2)对多次使用基本不等式时,需考虑等号是不是能同时成立;(3)对于含有x+(a>0)的不等式,不能简单地利用x+2,而是要根据x的取值范围判断能否取到最小值2,若不能,需要利用函数的单调性求其最小值.【自我检测】1.若lg a+lg b=0,则+的取值范围为()A.2,+)B.(2,+)C.2,3)(3,+)D.(2,3)(3,+)2.已知实数a,b,c满足a2+b2+c2=1,则ab+c的最小值为()A.-2B.-C. -1D.-3.已知xy=2x+y+2(x>1),则x+y的最小值为. 小题3线性规划问题3 (1)已知实数x,y满足若z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=. (2)已知实数x,y满足约束条件若z=ax+y的最小值为-8,则实数a=.  听课笔记    【考场点拨】含参数的线性规划问题,参数位置一般有两种形式:一是目标函数中含有参数,这时可以准确作出可行域,这类问题一般特征是其最优解是可知的,因此解题时可充分利用目标函数的斜率特征加以转化;二是约束条件中含参,可行域的边界线一般有一条是动态的,所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理,有时还得进行分类讨论.【自我检测】1.若实数x,y满足则z=-2x+y的最小值为()A.B.2C.-2D.12.点P(x,y)为不等式组所表示的平面区域内的动点,则的最大值为 ()A.1B.2C.3D.-3.已知实数x,y满足若z=x2+y2,则z的最小值为 ()A.1B.C.D.第3讲不等式 典型真题研析1.(1)8(2)解析 (1)由条件可得+=1,所以2a+b=(2a+b)=4+4+2=8,当且仅当=,即b=2a时取等号知得a-3b=-6,由基本不等式得2a+2=(当且仅当a=-3b=-3时取等号).2.(1)9(2)-5解析 (1)不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.当直线y=-x+z经过点A(5,4)时,直线的纵截距z最大,所以zmax=5+4=9.(2)已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y,得y=x-,当z最小时,-最大,故在点A处目标函数取得最小值.由解得所以zmin=-3-2=-5.3.216 000解析 设生产产品A、产品B分别为x件、y件,利润之和为z元,则即目标函数为z=2100x+900y.作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域.由图可知当直线z=2100x+900y经过点M时,z取得最大值.解方程组得M的坐标为(60,100),所以当x=60,y=100时,zmax=2100×60+900×100=216 000.考点考法探究小题1例1(1)A(2)(-,1)(3,+)解析 (1)将a<b<0同除以ab,可得<<0,所以A正确;将a<b<0同乘-1,得-a>-b>0,所以>,所以B错;由指数函数y=2x为增函数,可知2a<2b,所以C错;由不等式性质可知,若a<b<0,则a3<b3,所以D错.(2)令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,当-1a1时,g(a)>0恒成立,即解得x>3或x<1,实数x的取值范围是(-,1)(3,+).【自我检测】1.B解析 由a>b>0,得ab>b2成立;反之,如a=-2,b=-1,则a>b>0不成立.所以“ab>b2”是“a>b>0”的必要不充分条件,故选B.2.D解析 由<<0知,当c<0时,>>0,即b>a>0,|b|>|a|,ac>bc,>0成立,此时0<<1,ln<0,故选D.3.C解析 由题意,不等式ax2+2ax-4<2x2+4x可化为(a-2)x2+2(a-2)x-4<0.当a-2=0,即a=2时,不等式恒成立,符合题意;当a-20时,要使不等式恒成立,则需解得-2<a<2.综上所述,a的取值范围为(-2,2,故选C.4.-2,2解析 函数f(x)=当-1x1时,f(x)=1-x;当x<-1时,f(x)=x+3;当x>1时,f(x)=(x-1)2.当x>1,即-x<-1时,可得g(x)=(x-1)2+3-x=x2-3x+4,由g(x)2,得1<x2;当x<-1,即-x>1时,可得g(x)=x+3+(x+1)2=x2+3x+4,由g(x)2,得-2x<-1;当-1x1,即-1-x1时,可得g(x)=1-x+1+x=2,由g(x)2,得-1x1.综上可得,不等式g(x)2的解集为-2,2.小题2例2(1)B(2)C解析 (1)a>0,b>0,不等式+恒成立,m.(a+3b)=6+6+2=12,当且仅当a=3b时取等号,m的最大值为12.(2)正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2,则有=+-12-1=3,当且仅当a=2b时取等号.当a=2b时,取得最小值3,且c=6b2,a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6+,当b=时,a+b-c取得最大值.【自我检测】1.A解析 lg a+lg b=0,lg ab=0,即ab=1,·ab=2b+a2=2,当且仅当a=2b=时取等号,+的取值范围为2,+).2.C解析 若ab+c取得最小值,则a,b异号,且c<0.根据题意得1-c2=a2+b2,又由a2+b22|ab|=-2ab,当且仅当a=-b时取等号,得1-c2-2abab+c+c=+c-=(c2+2c)-=(c+1)2-1-1,当a=b=0,c=-1时,ab+c取得最小值-1,故选C.3.7解析 xy=2x+y+2(x>1),y=,x+y=x+=x-1+1=x-1+32+3=7,当且仅当x-1=,即x=3时取等号.小题3例3(1)6(2)-2解析 (1)作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.由z=2x+y,得y=-2x+z,由图可知,当直线y=-2x+z经过点C时,直线y=-2x+z的纵截距最大,此时z最大,由解得即C(2,-1),故z的最大值为2×2-1=3.当直线y=-2x+z经过点B时,直线y=-2x+z的纵截距最小,此时z最小,由解得即B(-1,-1),故z的最小值为-2-1=-3.故m=3,n=-3,则m-n=3-(-3)=6. (2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,且O(0,0),A(0,1),B(2,2),C(4,0).由z=ax+y得y=-ax+z,易知a0.当a<0时,由图可知,当直线y=-ax+z经过点C(4,0)时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,且zmin=4a,由4a=-8,得a=-2,符合题意.当a>0时,由图可知,当直线y=-ax+z经过点O(0,0)时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,且zmin=0,不合题意.综上,a=-2.【自我检测】1.C解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数线经过点B时,z最小,由得B(2,2),所以z的最小值为-2×2+2=-2,故选C.2.A解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.易知的几何意义为动点P(x,y)与原点O的连线的斜率,由图可知,直线OB的斜率最大.由解得即B(2,2),则的最大值为1,故选A.3.D解析 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.z=x2+y2可以看作可行域内的点(x,y)到原点O的距离的平方.由得A.因为OAAB,所以zmin=|OA|2=.故选D.备选理由 例1是一道与不等式性质有关的开放式问题,相当于排除法,举反例就可以;例2重点考查变式,难点是需要二次重复使用基本不等式,不少同学以为一次变式就可直接使用基本不等式得最小值,造成求最小值不成功;例3为线性规划实际应用问题,要据条件列出约束条件和目标函数,再按求目标函数的最值方式求解,所求得结果要有实际意义.例1配例1使用 2018·北京卷 能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为. 答案 1,-1(答案不唯一)解析 当a>0>b时,<不成立.例2配例2使用 2017·天津卷 若a,bR,ab>0,则的最小值为. 答案 4解析 由题意得a2>0,b2>0,ab>0,所以=4ab+2=4,当且仅当a2=2b2=时,等号成立.例3配例3使用 某企业可生产甲、乙两种产品.投资生产甲产品时,每生产100吨需要资金200万元,场地200平方米;投资生产乙产品时,每生产100吨需要资金300万元,场地100平方米.若该企业现有可使用资金1400万元,场地900平方米,投资生产甲、乙两种产品,则两种产品的产量之和最大为 ()A.467吨B.450吨C.575吨D.600吨解析 C设生产甲、乙两种产品的产量分别为x,y(单位:百吨),由题意得约束条件为求目标函数z=x+y的最大值.由约束条件得可行域如图中阴影部分所示,其中A(4.5,0),B(3.25,2.5),C.由图可得,当目标函数线经过点B(3.25,2.5)时,z取得最大值,故zmax=5.75,所以两种产品的产量之和最大为5.75×100=575(吨).故选C.10