高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理自主练习苏教版选修1_2.doc

2.1.1 合情推理自主广场我夯基 我达标1.对命题“对顶角相等”的说法正确的是（ ）A.前提是对顶角，结论“相等”.B.前提是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”.C.前提是“两个角相等”，结论是“这两个角是对顶角”.D.前提是“两个角相等”，结论是“两个角全等”.思路解析:把命题“对顶角相等”改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.所以前提是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”.答案:B2.等差数列1，3，5，（2n-1)的前n项和为（ ）A.n2 B.（n+1)2 C.（n-1)2 D.n(n-1)思路解析:令前n项的和为Sn，则S1=1,S2=1+3=4=22,S3=1+3+5=9=32,S4=1+3+5+7=42.所以猜想Sn=n2.答案:A3.若f(n)=n2+n+41(nN),下列说法中正确的是（ ）A.f(n)可以为偶数 B.f(n)一定为奇数.C.f(n)一定为质数 D.f(n)必为合数.思路解析:f(1)=43,f(2)=22+2+41=47，f(3)=32+3+41=53，f(4)=42+4+41=71,猜想f(n)一定是奇数.答案:B4.下列说法中正确的是（ ）A.合情推理就是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程 D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程思路解析:合情推理包括归纳推理和类比推理，而归纳推理是从特殊到一般的推理过程，而类比推理是从特殊到特殊的推理过程.答案:D5.(2005年湖南省高考卷)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x)，f2(x)=f1(x), fn(x)=fn-1(x)，nN,则f2 005(x)=( )A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx思路解析:(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx,(-sinx)=-cosx,(-cosx)=sinx,由此可知，其周期为4，故可得fn+4(x)= =fn(x)故猜测fn(x)是以4为周期的函数，有f4n+1(x)=f(1)=cosxf4n+2(x)=-sinx f4n+3(x)=-cosx,f4n+4(x)=f(4)=sinx.答案:C6.( 2005年广东高考卷)设平面内有n条直线（n3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=_，当n4时，f(n)=_.(用n表示）思路解析:f(2)=0,f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数.所以有f(3)-f(2)=2，f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1,有f(n)-f(2)=2+3+4+(n-1) f(n)= (n+1)(n-2)因此，f(4)=5,f(n)=(n+1)(n2)答案:f(4)=5 f(n)=(n+1)(n-2).7.已知数列an的第1项a1=1,且an+1=(n=1,2, ),试用归纳法归纳出这个数列的通次公式.解：a1=1,当n=2时，a2=当n=3时，a3= =当n=4时，a4=观察可得，数列an的前4项都等于相应序号的倒数，由此我们可以猜测，这个数列的通项公式为an=.8.应用归纳推理猜测的结果.解：当n=1时，=3当n=2时，=33当n=3时，=333当n=4时，=3 333观察可得9.找出圆与球的相似之处，并用圆的下列性质类比球的有关性质.（1）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；（2）与圆心距离相等的弦也相等；（3）圆的周长C=d（d为圆心直径）；（4）圆的面积S=r2.解：（1）圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是一空间中到定点的距离等于定长的所有点构成的集合.（2）圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形.与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质：圆球（1）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦球心与截面圆（不过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面（2）与圆心距离相等的弦长相等与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等（3）圆的周长C=d球的表面积S=d2(4)圆的面积S=r2球的体积V=（5）圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，即(r2)=2r,球的体积函数的导数等于球的表面积函数.( )=4r2我综合 我发展10.(2006年广东高考卷，10)对于任意的两个实数对（a,b)和（c,d)，规定：（a,b)=（c,d)，当且仅当a=c,b=d时成立；运算“”为：（a,b) (c,d)=(ac-bd,bc+ad),运算“”为(a,b) (c,d)=(a+c,b+d),设p、qR,若（1，2）（p、q)=(5,0),则（1，2）（p、q）=（ ）A.（4、0） B.（2、0） C.（0、2） D.（0，-4）思路解析:利用类比推理得：由(1,2)(p,q)=(5,0)得所以(1,2)(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0)答案:B11.如图2-1-2中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下面3个三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是_.图2-1-2思路解析:这3个三角形中着色三角形的个数依为1，3，9，则所示数列的前3项都是3的指数幂，指数为序号减1，所以数列的一个通项为an=3n-1答案:an=3n-112.(2006年广东高考卷，14)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2，3，4，堆最底层（第一层）分别按图2-1-3所示方式固定摆放.从第二层开始，每层的木球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球.以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=_;f(n)=_.(答案用n表示）图2-1-3思路解析:f(1)=1,观察图象可知f(2)=4,f(3)=10，f(4)=20,下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，通项公式是.f(5)=f(4)+15=35.答案:10,.13.类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.解：（1）两个实数经过加法运算或者乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数.（2）从运算律方面来考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即：a+b=b+aab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)（3）从逆运算的角度来考虑，二者都有逆运算；加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程：a+x=0 ax=1(a0)都有惟一的解：x=-a,x=.（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小，乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数，即：a+0=a a×1=a.14.观察1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52由上述具体事实能得出怎样的结论？解：将上述事实分别叙述为：前2个连续奇数的和等于2的平方前3个连续奇数的和等于3的平方前4个连续奇数的和等于4的平方前5个连续奇数的和等于5的平方由此猜想：前n(nN*)个连续奇数的和等于n的平方.即1+3+5+(2n-1)=n2.15.观察下面的“三角阵”试找出相邻两行数之间的关系.解：设第n行数的和为Sn.n=1时，S1=1=20,n=2时,S2=2=21,n=3时，S3=4=22,n=4时,S4=8=23,n=5时，S5=16=24.观察可得，前5行的和分别为20，21,22,23，24，由此可以猜测第n行的和为Sn=2n-1.5