2018_2019版高中数学第一章解三角形1.2.3三角形中的几何计算练习新人教A版必修5.doc

第3课时三角形中的几何计算课后篇巩固探究A组1.在ABC中,AB=2,BC=5,ABC的面积为4,则cosABC等于()A.B.±C.-D.±解析由S=AB·BC·sinABC,得4=×2×5sinABC,解得sinABC=,从而cosABC=±.答案B2.某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要()A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元解析由已知可求得草皮的面积为S=×20×30sin 150°=150(m2),则购买草皮的费用为150a元.答案C3.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,ABC的面积为,则b等于()A.1+B.C.D.2+解析由acsin 30°=,得ac=6.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos 30°=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,得b=+1.答案A4.在ABC中,若AC=BC,C=,SABC=sin2A,则SABC=()A.B.C.D.2解析因为AB2=BC2+3BC2-2×BC×BC×=BC2,所以A=C=,所以SABC=sin2A=,故选A.答案A5.若ABC的周长等于20,面积是10,B=60°,则边AC的长是()A.5B.6C.7D.8解析在ABC中,设A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,由题意,得解得b=7,故边AC的长为7.答案C6.已知ABC的三边分别为a,b,c,且面积S=,则角C=. 解析在ABC中,SABC=,而SABC=absin C,absin C.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,cos C=sin C,C=45°.答案45°7.已知三角形的面积为,其外接圆面积为,则这个三角形的三边之积等于. 解析设三角形的外接圆半径为R,则由R2=,得R=1.由S=absin C=,故abc=1.答案18.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c.证明由余弦定理的推论得cos B=,cos A=,代入等式右边,得右边=c=左边,故原式得证.9.如图,在ABC中,BC=5,AC=4,cosCAD=,且AD=BD,求ABC的面积.解设CD=x,则AD=BD=5-x.在CAD中,由余弦定理,得cosCAD=,解得x=1.CD=1,AD=BD=4.在CAD中,由正弦定理,得,则sin C=4.SABC=AC·BC·sin C=×4×5×,故ABC的面积为.10.导学号04994016若ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积S的最大值.解S=c2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-(a2+b2-c2).由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcos C,c2-(a-b)2=2ab(1-cos C),即S=2ab(1-cos C).S=absin C,sin C=4(1-cos C).又sin2C+cos2C=1,17cos2C-32cos C+15=0,解得cos C=或cos C=1(舍去).sin C=,S=absin C=a(2-a)=-( a-1)2+.a+b=2,0<a<2,当a=1,b=1时,Smax=.B组1.在钝角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,c=5,sin C=,则ABC的面积等于()A.10B.C.D.解析在钝角三角形ABC中,a=7,c=5,sin C=,A>C,C为锐角,且cos C=.由c2=a2+b2-2abcos C,得b2-11b+24=0,解得b=3或b=8.当b=8时,角B是钝角,cos B=>0,b=8舍去.同理验证可知b=3符合条件.SABC=absin C=×7×3×.答案C2.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,若ABC的面积S=10,b=4,则a的值为()A.B.C.D.解析由3acos C=4csin A,得.又由正弦定理,得,tan C=,sin C=.又S=bcsin A=10,b=4,csin A=5.根据正弦定理,得a=,故选B.答案B3.在ABC中,ab=60,SABC=15,ABC的外接圆半径为,则边c的长为. 解析SABC=absin C=15,ab=60,sin C=.由正弦定理,得=2R,则c=2Rsin C=3.答案34.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为. 解析SABC=bcsin A=bcbc×=3,bc=24.又b-c=2,a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc×=4+2×24+×24=64.a为ABC的边,a=8.答案85.在ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,ADB=120°,AD=2.若ADC的面积为3-,则BAC=. 解析如图,由SADC=3-和SADC=AD·DCsin 60°,得3-×2×DC×,解得DC=2(-1),则BD=DC=-1.在ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos 120°=(-1)2+4-2(-1)×2×=6,AB=.在ADC中,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos 60°=22+2(-1)2-2×2×2(-1)×=24-12,AC=-1).在ABC中,cosBAC=,BAC=60°.答案60°6.导学号04994017如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.解连接BD,则四边形ABCD的面积为S=SABD+SCDB=AB·ADsin A+BC·CDsin C.A+C=180°,sin A=sin C,S= (AB·AD+BC·CD)sin A= (2×4+6×4)sin A=16sin A.在ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=22+42-2×2×4cos A=20-16cos A.在CDB中,由余弦定理,得BD2=CB2+CD2-2CB·CDcos C=62+42-2×6×4cos C=52-48cos C.20-16cos A=52-48cos C.cos C=-cos A,64cos A=-32,cos A=-.又A(0°,180°),A=120°,S=16sin 120°=8.7.已知ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)·sin B,求ABC面积的最大值.解由正弦定理,得a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理,得cos C=.C(0,),C=.S=absin C=×2Rsin A·2Rsin B·=R2sin Asin B=R2sinA=R2(sin Acos A+sin2A)=R2=R2.A.2A-,sin,S,ABC面积的最大值为R2.7