无限长圆柱瞬态导热温度场的推导.docx

无限长圆柱瞬态导热温度场的推导张卓 1102610126市政学院建筑环境与设备工程摘要：对于无限长圆柱体，用分析推导无限大平壁在对流换热边界条件下的方法，来求得它 们的温度分布的分析解，以前所讨论的无限大平壁，无限长圆柱体和球体的加热和冷却问题 都属于一维瞬态导热问题。利用这些一维问题的解，可以进一步确定一些二维或三维瞬态导 热问题的温度场，像有限长圆柱体，它可以看成是无限长圆柱体与无限大平壁垂直相交形成。 Abstract ： For an infinite long cylinder, with analysis of the Pacific Ocean is infinite wall in the convective heat transfer boundary conditions method, to get their temperature distribution analysis solution, discussed before the infinite wall of the Pacific Ocean, an infinite long cylinder and spheres of heating and cooling problem all belong to one dimensional transient heat conduction problem. Use these a d of the solution of the problem, can determine some of 2-d or 3-d transient heat conduction problem of temperature field, like limited long cylinder, it can be regarded as an infinite long cylinder and infinite Pacific vertical wall intersection formation.关键字：无限长圆柱体 有限长圆柱体瞬态导热Key words： Infinite long cylinder Limited long cylinder Transient thermal引言：利用这些一维问题的解，可以进一步确定一些二维或三维瞬态导热问题的温度场，像 有限长圆柱体，它可以看成是无限长圆柱体与无限大平壁垂直相交形成。我们对无限大平壁 在对流换热的边界条件下温度的变化情况已十分熟悉，本文将以类似的方法对无限长圆柱， 有限长圆柱的瞬态导热进行推导，也可以加深我们队瞬态导热的理解程度，及对毕渥准那么， 傅里叶准那么的理解。加热或冷却分析解法1无限长圆柱设有一半径为6的无限长圆柱，圆柱的导热系数人和热扩散率a均为常数, 初始时圆柱各处与两侧介质温度均匀一致并等于to,假设突然把周围介质温度降 至并保持不变，使圆柱处于冷却状态。设此过程中圆柱外表与周围介质之间的外表传热系数均为h。圆柱的温度分布是中心对称的，分析中把坐标轴X放在 圆柱的中心轴，采用柱坐标推导。如下图，这是一维稳态导热问题，其导热微分方程式为dtdrdtdri a z m a(r)r dr drt>0, 0<r<5(1)相应的初始条件为77 = t = to O M M 5（2）边界条件为A °A °(4)引用新的变量尺（乙。）=才（匕。）一6 ,称为过余温度，这样式（1）（4）可以改写为衣11, HR、(3-1)(3-1)=aC 厂j丁厂占尸尸7 = 0, R = 4 ,0/ < 5dRdr=0, r > 0r=o(3-2)(3-3),d371dr= h0r=3r>O(3-4)r=S应用别离变量法，假定应用别离变量法，假定R(r*) = X(r)。(5)将式（5）带入式（3-1）,进过整理得到X迎.更)dr r dr dr工包，(空+-dr r drd2X)1 d(/)_ (1 dX 1 a。ch X r dr(6)1 d(b/八工口 1 ,dx 1 dX、(8)- = /(7)和(+ -) = /drX dr r dr-对式（7）积分(9)上式中cl是积分常数。分析式（9）可知，常数假设为正值，将随着的增大而 急剧增大，当的值很大时，趋于无限大，实际上这是不可能的；常数假设为零, 将等于常数，这意味着e（x"）将不随着时间发生变化，这也是不符合实际的。因 此只能是负值，表为4 = -。于是，式（9）和式（8）可以改写为(10)(10)(11)0 = c、exp(-as2r)1 dX 1 d2Xx歹小十方一2 /X dX 2V 2 八厂+ r+ £Xr- =0 dr dr该方程为零阶贝塞尔方程，其一般解为:乂=。2人（夕）+。3丫。（夕）其中人（夕）和孔（夕）分别是第一类与第二类的零阶贝赛尔方程/. R = A/o（夕）e印（一/工）+ a2yo（夕）e*（Q£2/） 其中，根据零阶贝塞尔函数的性质：-.o 丫。（夕）00函数的值不可能无限增大/. Ai = 0/. R（r/） = A Jo（/）e呼（。/丁）对于边界条件（4）得：等式左边为：一入" r = s = 2AiJo（£r）exp（-dt2r） dr根据被塞尔函数性质有：Jo（£T）= SJ 1（£T）2 =s = -2s4i J i（） exp（-as2T） dr等式右边为：一勿，=6 =qAJo（坊）e冲（一Q£ T）由于等式左边等于等式右边，所以有-否AJi（姿）e印（一。£ 了） = 一。4Jo（坊）e印（一£ r）令& =1,4=夕，那么上式即为：W）二 B 心一位R""） =、AJ）电铲冲（-8；（12）n=°6应用初始条件有:cof工 CnJ。(/3,4) = CJ。(吟)+ C2J0(/3g) +. +CJo(A) n=其中Jo(夕)和以(夕)分别是第一类与第二类的零阶贝赛尔方程即/(r) 是一个贝塞尔级数的和。以r/o(为5)公乘式的两边同时在(0,5)区域 (0»)区域内对j进行积分，假设级数逐项可积那么有§00sj rf (r)J o(/3m)dr = Z "()(/?S)J()(笈0=1根据贝塞尔函数带全正交的性质：r r打。电W)J°电共)公=。J0oo(m w n)Mrrr 99j %(仇”。0飞)公=k(A)+ J：) o o Z(m = )那么A”为b丫2r(13)(13)炉AM石)52j ifJ。电-)dr“如今公=口(3+小以)将(13)式带入(12)式得2/以30(&2)公 r缶产尸一反2/以30(&2)公 r缶产尸一反2 CIT2有限长圆柱类似的对长度为21和半径为8的有限长圆柱体，把他看成是半径为8的无线长圆柱体和厚度为21的无限大平壁垂直相交得到。尸。=长圆柱体和厚度为21的无限大平壁垂直相交得到。尸。=az其温度分布可以表述为:R(厂,x,c) _ R(r,r) R(x,r)R° R0 R。R(x“)R。00江n=2sin&国+ sin瓦cos瓦cos德之e印（也2号）ooR(y)=2 之，exp（-/V 加丝*2 父 j（Xb）+j；电）R（几工工）R°参考文献：【1】、传热学/（美）皮茨著 北京科学出版社21传热学章熙民等编著中国建筑工业出版社【3】、百度文库