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关于概率与数理统计PPT第1页，讲稿共33张，创作于星期二 二二 二维随机变量的分布二维随机变量的分布 1 1 二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布定义定义2.5 设（设（X，Y）为二维为二维随机变量，对于任意的随机变量，对于任意的x，y，二元函数二元函数 F(x,y)=p(X x,Y y)称为称为（X，Y）的分布函数。或的分布函数。或称为称为 X与与Y的联合分布函数的联合分布函数 联合分布函数的几何含义：联合分布函数的几何含义：联联合合分分布布函函数数在在点点(x,y)处处的的函函数数值值F(x,y)就就表表示示随随机机点点落落在在以以(x,y)为为顶点的左下方的无穷矩形区域顶点的左下方的无穷矩形区域(-u x,-x1时，时，F(x2,y)F(x1,y)对任意固定的对任意固定的 x，当当 y2 y1时，时，F(x,y2)F(x,y1)第2页，讲稿共33张，创作于星期二oxx1 x2 yy1 y2 (2)对任意的对任意的 x 和和 y 都有：都有：0 F(x,y)1(x,y)xyo (3)对对 x 和和 y，F(x,y)都是右连续的都是右连续的 (4)当当 x1 x2，y1 y2 时，有时，有 P(x1X x2,y1 0，则则 称为在称为在Y=y j 条件下随机变量条件下随机变量X的的条件分布条件分布（或（或条件概率函数条件概率函数）同样，对于固定的同样，对于固定的 i，若若 P(X=x i)0，则则称为在称为在X=x i 条件下随机变量条件下随机变量Y的的条件分布条件分布（或（或条件概率函数条件概率函数）第11页，讲稿共33张，创作于星期二在在 X=2的条件下的条件下,Y的条件分布为：的条件分布为：=1/3例：（例：（X,Y）的联合概率分布的联合概率分布11YX01/121/61/61/61/6 1/1201/62332P(X=2)=1/6+1/6+1/6=1/2 在在Y=1时时,X 的条件分布的条件分布解：解：1 P(Y|X=2)Y 1/31/31/332=1/3=1/3求：在求：在X=2时时,Y 的条件分布的条件分布 在在Y=1的条件下的条件下,X的条件分布为的条件分布为1 P(X|Y=1)X 2/31/30324 随机变量随机变量X,Y的独立性的独立性离散型随机变量离散型随机变量X,Y 独立的充要条件是对一切独立的充要条件是对一切 i,j=1,2,都有都有 pi j =pi（1）pj（2）如上例：随机变量如上例：随机变量 X,Y不相互独立。不相互独立。即：即：P(X=x i,Y=y j)=P(X=x i)P(Y=y j)(i,j=1,2,)因：因：P(X=1,Y=1)=0P(X=1)=1/4,P(Y=1)=1/4 P(X=1,Y=1)P(X=1)P(Y=1)第12页，讲稿共33张，创作于星期二二维连续型二维连续型随随 机机 变变 量量第13页，讲稿共33张，创作于星期二定义定义2.7：设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)的分布函数为的分布函数为 F(x,y)。如果如果存在非负可积函数存在非负可积函数 f(x,y)，使得使得2.6.3 二维连续型随机变量则称则称(X,Y)为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，f(x,y)称为称为(X,Y)的联合的联合概率密度函数，概率密度函数，或简称或简称联合密度。联合密度。1 联合密度函数联合密度函数l 二维连续型随机变量的联合密度的基本性质二维连续型随机变量的联合密度的基本性质(1)f(x,y)0 x,y R(2)第14页，讲稿共33张，创作于星期二给出联合密度给出联合密度 f(x,y)后，事件后，事件(X,Y)G的的概率都可用概率都可用二重积分表示，然后化为累次积分计算二重积分表示，然后化为累次积分计算 OxyabG 1 1(x)2 2(x)当当 G 为长方形时，为长方形时，OxyabGcd将将“”改为改为“”上式仍然成立。上式仍然成立。例：例：(均匀分布均匀分布)设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：f(x,y)=c,(x,y)G G 0,其他其他求：求：常数常数 c 解解第15页，讲稿共33张，创作于星期二例：设二维随机向量例：设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：f(x,y)=ce-3(x+y),0 x +,0 y +0,其他其他求：求：(1)常数常数 c;(2)联合分布函数联合分布函数 F(x,y);(3)(X,Y)落入右上图所示三角形区域落入右上图所示三角形区域 G 内的概率。内的概率。解解OxyG11x+y=1c=9(2)当当 0 x +,0 y +时时当当 x,y 不都大于不都大于0 时时=(x,y)xyo第16页，讲稿共33张，创作于星期二求：求：(1)常数常数 c;(2)联合分布函数联合分布函数 F(x,y);(3)(X,Y)落入右上图所示三角形区域落入右上图所示三角形区域 G 内的概率。内的概率。例：设二维随机向量例：设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：f(x,y)=ce-3(x+y),0 x +,0 y +0,其他其他解：解：(3)Oxy1y=1-x1x1-x 0 0 1 第17页，讲稿共33张，创作于星期二 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为联合密度为 f(x,y)，则其边缘则其边缘分布函数为分布函数为若记若记则显然则显然 fX(x)0，并且对任意实数并且对任意实数 x，都有都有f X(x)是是 X的密度函数，称的密度函数，称 fX(x)是是(X,Y)关于关于X 的的边缘密度函数边缘密度函数。把把称为称为(X,Y)关于关于Y的的边缘密度函边缘密度函数数。2 边缘密度函数边缘密度函数求：求：边缘密度函数边缘密度函数 例：设例：设(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：f(x,y)=9e-3(x+y),0 x，y 0时时 fX(x)=3e-3x,0 x +0,其他其他 fY(y)=3e-3y,0 y R时时当当 x R时时 0 x R 0 y R第19页，讲稿共33张，创作于星期二 二维正态分布二维正态分布 若二维连续型随机向量若二维连续型随机向量(X,Y)的联合密度为的联合密度为其中其中 1,2,10,20,|1均为常数，则称均为常数，则称(X,Y)服从参数服从参数为为 1,2,1,2,的二维正态分布，的二维正态分布，记作记作(X,Y)N(1,2,12,22,)。可求出边缘密度函数为：可求出边缘密度函数为：表明，二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。表明，二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。X N(1,12)Y N(2,22)第20页，讲稿共33张，创作于星期二称为在称为在Y=y 条件下条件下X 的条件分布（或条件密度函数）。的条件分布（或条件密度函数）。3 3 条件密度函数条件密度函数称为在称为在X=x 条件下条件下Y的条件分布（或条件密度函数）。的条件分布（或条件密度函数）。设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为联合密度为 f(x,y)，边缘密度函数为边缘密度函数为fX(x),fY(y)第21页，讲稿共33张，创作于星期二解：解：0 其他其他例：设例：设(X,Y)f(x,y)=求：条件密度函数求：条件密度函数 f(x|y)，f(y|x)0 其他其他 0 其他其他对于满足对于满足 y 0，则：则：0 其他其他 0 其他其他对于满足对于满足 x 0，则：则：第22页，讲稿共33张，创作于星期二4 连续型随机变量的独立连续型随机变量的独立性性 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为联合密度为 f(x,y)，边缘密度函数为边缘密度函数为fX(x),fY(y)，若若f(x,y)=fX(x)fY(y)，则则X,Y独立独立例：设例：设(X,Y)f(x,y)=判断判断X，Y是否独立是否独立 0 其他其他解：解：0 其他其他 0 其他其他f(x,y)fX(x)fY(y)，则则X，Y不独立不独立例：设二维随机向量例：设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：f(x,y)=9e-3(x+y),0 x +,0 y +0,其他其他 fX(x)=3e-3x,0 x +0,其他其他 fY(y)=3e-3y,0 y +0,其他其他f(x,y)=fX(x)fY(y)，则则X,Y独立独立第23页，讲稿共33张，创作于星期二例：例：因为随机变量因为随机变量 X 与与 Y 独立，所以对任意实数独立，所以对任意实数 x,y 都有都有设设随机变量随机变量 X 与与 Y 独立，且都服从正态分布，其密度函数为独立，且都服从正态分布，其密度函数为求：求：(X,Y)的联合密度函数。的联合密度函数。解：解：(X,Y)N(1,2,12,22,0)此例说明：若此例说明：若X X N N(1 1,1 12 2)，Y Y N N(2 2,2 22 2)，且且X X 与与Y Y 独立，则独立，则(X,YX,Y)N N(1 1,2 2,1 12 2,2 22 2 ,0,0)；若若(X,YX,Y)N N(1 1,2 2,1 12 2,2 22 2,0,0)，则则X X 与与Y Y 独立。所以，二维正态随机变量独立。所以，二维正态随机变量 X X 与与Y Y 独立的充要条件是独立的充要条件是 =0=0。第24页，讲稿共33张，创作于星期二2.6.5 二维随机变量函数的分布 若存在二元函数若存在二元函数 z=g(x,y)，使得对二维随机变量使得对二维随机变量(X,Y)的每一取值的每一取值(x,y)，随机变量随机变量Z 的相应取值为的相应取值为 z=g(x,y)，则称随机变量则称随机变量Z是随机变量是随机变量(X,Y)的函数，记作的函数，记作Z=g(X,Y)。由由(X,Y)的分布求出的分布求出 Z=g(X,Y)的分布呢？的分布呢？例：例：Z=X+Y结论结论：当当随机变量随机变量 X 与与 Y 独立，边缘分布唯一确定联合分布独立，边缘分布唯一确定联合分布.定理定理2.3 当当随机变量随机变量 X 与与 Y 独立，则独立，则g(X)与与h(Y)独立独立.第25页，讲稿共33张，创作于星期二 例：对一块长方形的土地进行测量，用随机变量例：对一块长方形的土地进行测量，用随机变量 X 与与 Y 分别表示其长与宽的测量值。已知分别表示其长与宽的测量值。已知(X,Y)的联合分布如表的联合分布如表 6，求土地的面积求土地的面积 Z 的概率函数。的概率函数。因为因为 Z=XY，所以所以 Z 的可能取值是的可能取值是 20,20.4,21,21.42。解：解：于是，于是，Z 的概率函数如表的概率函数如表 7 所示。所示。20 20.4 21 21.420.2 0.3 0.4 0.1ZP表表7 P(Z=20)=P(X=5,Y=4)=0.2 Y X5 4 4.20.2 0.4表表65.1 0.3 0.1 P(Z=20.4)=P(X=5.1,Y=4)=0.3 P(Z=21)=P(X=5,Y=4.2)=0.4 P(Z=21.42)=P(X=5.1,Y=4.2)=0.11 1 二维二维离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布第26页，讲稿共33张，创作于星期二 例：已知例：已知(X,Y)的联合分布如表的联合分布如表 求求Z=X+Y 的概率函数。的概率函数。因为因为 Z=X+Y，所以所以Z 的可能取值是的可能取值是 1,2,3,4,5解：解：于是，于是，Z 的概率函数如表所示。的概率函数如表所示。1 2 3 4 50.1 0.25 0.27 0.38 0ZP表表7 P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.110Y X00.020.180.20.050.20.150.10.11232 P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.05=0.25P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.15+0.1+0.02=0.27 P(Z=4)=P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2)=0.2+0.18=0.38 P(Z=5)=P(X=2,Y=3)=0第27页，讲稿共33张，创作于星期二 例：若随机变量例：若随机变量 X 与与 Y 相互独立相互独立，它们都取非负整数值，它们都取非负整数值，概率函数分别为概率函数分别为 P(X=k)=a k (k=0,1,2,)P(Y=k)=b k (k=0,1,2,)求求 Z=X+Y 的概率函数。的概率函数。解：解：(r=0,1,2,)此即求独立离散型随机变量和的分布的公式，称为离散此即求独立离散型随机变量和的分布的公式，称为离散型独立随机变量和的型独立随机变量和的卷积公式卷积公式，亦称为，亦称为褶积公式褶积公式。=a 0br+a 1br-1+a r b0第28页，讲稿共33张，创作于星期二 例：设随机变量例：设随机变量 X 与与 Y 相互独立相互独立，XB(n,p)，YB(m,p)求求 Z=X+Y 的分布。的分布。因为因为 XB(n,p)，YB(m,p)，所以有所以有解：解：所以，所以，Z=X+Y B(n+m,p)特别特别当当X,Y独立独立,且且 X B(1,p),Y B(1,p)，即服从同一即服从同一0-1分布。分布。则则X+Y B(2,p)。结论：结论：(97页页)相互独立的服从同一相互独立的服从同一0-1分布的随机变量的和服从分布的随机变量的和服从 二项分布。二项分布。第29页，讲稿共33张，创作于星期二例：设例：设 XP(1)与与 YP(2)，且且 X 与与 Y 独立独立 求求 Z=X+Y的概率函数。的概率函数。由于泊松分布的随机变量由于泊松分布的随机变量 X 与与 Y 可取所有非负整数，可取所有非负整数，故其和故其和Z=X+Y 也只取所有非负整数。对任一非负整数也只取所有非负整数。对任一非负整数 r，有：有：解：解：这是参数为这是参数为 1+2 的泊松分布。即的泊松分布。即 Z=X+YP(1+2)。这说明两个相互独立的服从泊松分布的随机变量的这说明两个相互独立的服从泊松分布的随机变量的和和仍服从泊松仍服从泊松分布，其参数为这两个分布的参数之和。分布，其参数为这两个分布的参数之和。这个事实，通常被称作这个事实，通常被称作泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性。(97(97页页)第30页，讲稿共33张，创作于星期二2 2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布 设二维连续型设二维连续型随机变量随机变量(X,X,Y)Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 f (x,y)，Z=g(X,Yg(X,Y),),求求Z的密度函数的密度函数h(z)。方法方法第31页，讲稿共33张，创作于星期二 设二维连续型设二维连续型随机变量随机变量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 f (x,y)，Z=X+Y,求求 Z 的密度函数。的密度函数。解解：则：则：特别地，当随机变量特别地，当随机变量 X 与与 Y 相互独立时，有相互独立时，有密度的卷积公式。密度的卷积公式。f f Z Z=f=f X X*f f Y Y 叫做叫做 f f X X,f f Y Y 卷积。卷积。或：或：例例:设设 X 与与 Y 独立独立,都服从都服从 N(0,1)分布分布,求求Z=X+Y的密度函数。的密度函数。解解：即：即：Z=X+YN(0,2)(97页页)一般地，若一般地，若 XN(1,12)，YN(2,22)，且且 X 与与 Y 相互独立，相互独立，则则aX+bY+c N(a 1+b 2+c,a2 12+b2 22)。第32页，讲稿共33张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第33页，讲稿共33张，创作于星期二