自学考试专题：全国02-04自考线性代数试题答案.doc

全国2002年4月自考线性代数试题答案课程代码：02198一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)（或2+c(2-1)），c为任意常数20. n-r21. 522. 223. 124. 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）ABT=.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64·（-2）=-12826.解 =27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，组合系数为（2，1，1）.解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=（2，-1，0）T， 2=（2，0，1）T.经正交标准化，得1=，2=.=-8的一个特征向量为3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=.对角矩阵 D=（也可取T=.）31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设， 即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2 .33.证 由假设A0=b，A1=0，A2=0.（1）A1=A（0+1）=A0+A1=b，同理A2= b，所以1，2是Ax=b的2个解。（2）考虑l00+l11+l22=0，即 （l0+l1+l2）0+l11+l22=0.则l0+l1+l2=0，否则0将是Ax=0的解，矛盾。所以l11+l22=0. 又由假设，1，2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .所以0，1，2线性无关。第 4 页