《初中数学总复习资料》2018年中考数学复习方法技巧九大专题：2018年中考数学复习方法技巧专题九：最值法解析.doc

方法技巧专题九最值法解析探究平面内最短路径的原理主要有以下两种：一是“垂线段最短”，二是“两点之间，线段最短”立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段一、立体图形最值问题：【例题】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是25尺【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长为=25（尺）故答案为：25【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解【同步训练】如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25考点：平面展开-最短路径问题分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答解答：解：如图所示，三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+（2+3）×32=252，解得：x=25故答案为25点评：本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答二、三角形内最值问题：【例题】（2016·广西百色·3分）如图，正ABC的边长为2，过点B的直线lAB，且ABC与ABC关于直线l对称，D为线段BC上一动点，则AD+CD的最小值是（）A4 B3C2D2+【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质【分析】连接CC，连接AC交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBAC为菱形，根据菱形的性质即可求出AC的长度，从而得出结论【解答】解：连接CC，连接AC交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示ABC与ABC为正三角形，且ABC与ABC关于直线l对称，四边形CBAC为边长为2的菱形，且BAC=60°，AC=2×AB=2故选C【同步训练】(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，求AMNANM的度数 作A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则AA即为AMN的周长最小值作DA延长线AH.DAB120°，HAA60°.AAMAHAA60°.MAAMAA，NADA，且MAAMAAAMN，NADAANM，AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)2×60°120°.三、四边形内最值问题：【例题】（2017黑龙江鹤岗）如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是5【考点】PA：轴对称最短路线问题；LE：正方形的性质【分析】连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，则AE的长即为PC+PE的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可【解答】解：连接AC、AE，四边形ABCD是正方形，A、C关于直线BD对称，AE的长即为PC+PE的最小值，CD=4，CE=1，DE=3，在RtADE中，AE=5，PC+PE的最小值为5故答案为：5【同步训练】（2017贵州安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为6【考点】PA：轴对称最短路线问题；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点此时PD+PE=BE最小，而BE是等边ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的边长为6，可求出AB的长，从而得出结果【解答】解：设BE与AC交于点P，连接BD，点B与D关于AC对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；正方形ABCD的边长为6，AB=6又ABE是等边三角形，BE=AB=6故所求最小值为6故答案为：6四、二次函数最值问题【例题】（2017新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为3s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是18cm2【考点】H7：二次函数的最值；LE：正方形的性质【分析】设运动时间为t（0t6），则AE=t，AH=6t，由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积4个AEH的面积，即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式，配方后即可得出结论【解答】解：设运动时间为t（0t6），则AE=t，AH=6t，根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD4SAEH=6×64×t（6t）=2t212t+36=2（t3）2+18，当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18故答案为：3；18【点评】本题考查了二次函数的最值、三角形以及正方形的面积，通过分割图形求面积法找出S四边形EFGH关于t的函数关系式是解题的关键【同步训练】（2017乐山）已知二次函数y=x22mx（m为常数），当1x2时，函数值y的最小值为2，则m的值是（）AB2C或2D-32或2【考点】H7：二次函数的最值【分析】将二次函数配方成顶点式，分m1、m2和1m2三种情况，根据y的最小值为2，结合二次函数的性质求解可得【解答】解：y=x22mx=（xm）2m2，若m1，当x=1时，y=1+2m=2，解得：m=；若m2，当x=2时，y=44m=2，解得：m=2（舍）；若1m2，当x=m时，y=m2=2，解得：m=2或m=21（舍），m的值为或2，故选：D【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键五、一次函数最值问题：【例题】（2017湖北随州）如图，AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为（，）【考点】PA：轴对称最短路线问题；D5：坐标与图形性质【分析】作N关于OA的对称点N，连接NM交OA于P，则此时，PM+PN最小，由作图得到ON=ON，NON=2AON=60°，求得NON是等边三角形，根据等边三角形的性质得到NMON，解直角三角形即可得到结论【解答】解：作N关于OA的对称点N，连接NM交OA于P，则此时，PM+PN最小，OA垂直平分NN，ON=ON，NON=2AON=60°，NON是等边三角形，点M是ON的中点，NMON，点N（3，0），ON=3，点M是ON的中点，OM=1.5，PM=，P（，）故答案为：（，）【同步训练】（2017贵州）某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用【分析】（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天列出分式方程组即可解决问题；（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成则+=1，解得x=6由此可得m的范围，因为乙队每天的费用小于甲队每天的费用，所以让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小；【解答】解：（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天由题意，解得，经检验是分式方程组的解，甲、乙两队工作效率分别是和（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成则+=1，解得x=6甲工作6天，甲12天完成任务，6m12乙队每天的费用小于甲队每天的费用，让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小，w的最小值为12×1400+6×3000=34800元【达标训练】1. （2017.江苏宿迁）如图，在RtABC中，C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）A20cmB18cmC2cmD3cm【考点】H7：二次函数的最值；KQ：勾股定理【分析】根据已知条件得到CP=6t，得到PQ=，于是得到结论【解答】解：AP=CQ=t，CP=6t，PQ=，0t2，当t=2时，PQ的值最小，线段PQ的最小值是2，故选C2. （2016·内蒙古包头·3分）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A（3，0） B（6，0） C（，0） D（，0）【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D的坐标，结合点C、D的坐标求出直线CD的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标【解答】解：作点D关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示令y=x+4中x=0，则y=4，点B的坐标为（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=6，点A的坐标为（6，0）点C、D分别为线段AB、OB的中点，点C（3，2），点D（0，2）点D和点D关于x轴对称，点D的坐标为（0，2）设直线CD的解析式为y=kx+b，直线CD过点C（3，2），D（0，2），有，解得：，直线CD的解析式为y=x2令y=x2中y=0，则0=x2，解得：x=，点P的坐标为（，0）故选C3. 如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为2【分析】如图作CEAB于E，甲BD于P，连接AC、AP首先证明E与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P重合时，PA+PE的值最小，由此求出CE即可解决问题【解答】解：如图作CEAB于E，甲BD于P，连接AC、AP已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，AB=BC=4，ABCE=8，CE=2，在RtBCE中，BE=2，BE=EA=2，E与E重合，四边形ABCD是菱形，BD垂直平分AC，A、C关于BD对称，当P与P重合时，PA+PE的值最小，最小值为CE的长=2，故答案为2【点评】本题考查轴对称最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CE是ABC的高，学会利用对称解决最短问题4. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将AEF沿EF所在直线翻折，得到AEF，则AC的长的最小值是1【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】连接CE，根据折叠的性质可知AE=1，在RtBCE中利用勾股定理可求出CE的长度，再利用三角形的三边关系可得出点A在CE上时，AC取最小值，最小值为CEAE=1，此题得解【解答】解：连接CE，如图所示根据折叠可知：AE=AE=AB=1在RtBCE中，BE=AB=1，BC=3，B=90°，CE=CE=，AE=1，点A在CE上时，AC取最小值，最小值为CEAE=1故答案为：15. （2017黑龙江）如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是5【考点】PA：轴对称最短路线问题；LE：正方形的性质【分析】连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，则AE的长即为PC+PE的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可【解答】解：连接AC、AE，四边形ABCD是正方形，A、C关于直线BD对称，AE的长即为PC+PE的最小值，CD=4，CE=1，DE=3，在RtADE中，AE=AD2+DE2=42+32=5，PC+PE的最小值为5故答案为：5【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键6. （2017.湖南怀化）如图，在菱形ABCD中，ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为1010cm【考点】L8：菱形的性质；KH：等腰三角形的性质【分析】分三种情形讨论若以边BC为底若以边PB为底若以边PC为底分别求出PD的最小值，即可判断【解答】解：连接BD，在菱形ABCD中，ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，A=C=60°，ABD，BCD都是等边三角形，若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；若以边PB为底，PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为1010；若以边PC为底，PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； 综上所述，PD的最小值为1010（cm）；故答案为：1017. （2017甘肃天水）如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，PBE周长的最小值是6【考点】PA：轴对称最短路线问题；LE：正方形的性质【分析】根据两点之间线段最短和点B和点D关于AC对称，即可求得PBE周长的最小值，本题得以解决【解答】解：连接DE于AC交于点P，连接BP，则此时BPE的周长就是PBE周长的最小值，BE=1，BC=CD=4，CE=3，DE=5，BP+PE=DE=5，PBE周长的最小值是5+1=6，故答案为：68. （2017湖北江汉）已知关于x的一元二次方程x2（m+1）x+（m2+1）=0有实数根（1）求m的值；（2）先作y=x2（m+1）x+（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（nm）与变化后的图象有公共点时，求n24n的最大值和最小值【考点】HA：抛物线与x轴的交点；AA：根的判别式；H6：二次函数图象与几何变换；H7：二次函数的最值【分析】（1）由题意0，列出不等式，解不等式即可；（2）画出翻折平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；（3）首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）对于一元二次方程x2（m+1）x+（m2+1）=0，=（m+1）22（m2+1）=m2+2m1=（m1）2，方程有实数根，（m1）20，m=1（2）由（1）可知y=x22x+1=（x1）2，图象如图所示：平移后的解析式为y=（x+2）2+2=x24x2（3）由消去y得到x2+6x+n+2=0，由题意0，364n80，n7，nm，m=1，1n7，令y=n24n=（n2）24，n=2时，y的值最小，最小值为4，n=7时，y的值最大，最大值为21，n24n的最大值为21，最小值为4