2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理数试题精编版（解析版）.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理科数学第卷(共40分)一.选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是集合的并集运算，属于容易题解题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误2.已知复数满足，则( ) A. B. C. D.【答案】A【考点定位】本题考查复数的四则运算，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是复数的除法运算，属于容易题解题时一定注意分子和分母同时乘以的共轭复数，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是复数的除法运算，即，3.若变量.满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则( ) A. B. C. D.【答案】C【考点定位】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于中等题线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误4.若实数满足，则曲线与曲线的( ) A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D【考点定位】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于中等题解题时要注意、的关系，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质，即双曲线（，）的实轴长为，虚轴长为，焦距为，其中，离心率5.已知向量，则下列向量中与成的是( ) A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A选项中的向量，则；对于B选项中的向量，则；对于C选项中的向量，则；对于D选项中的向量，此时，两向量的夹角为.故选B.【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是空间向量数量积的坐标运算，属于中等题解题时要抓住关键字眼“成”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是空间向量数量积的坐标运算，即若，则6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A.， B.， C.， D.，【答案】A【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题. 学科网【名师点晴】本题主要考查的是分层抽样和统计图，属于中等题解题时要抓住关键字眼“样本容量”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是分层抽样，即7.若空间中四条直线两两不同的直线.，满足，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C.既不平行也不垂直 D.的位置关系不确定【答案】D【解析】如下图所示，在正方体中，取为，为，取为，为，；取为，为，则；取为，为，则与异面，因此.的位置关系不确定，故选D.【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于中等题解题时一定要注意选“正确”还是选“错误”， 否则很容易出现错误解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为( ) A. B. C. D.【答案】D【考点定位】本题考查分类计数原理，属于较难题.【名师点晴】本题主要考查的是分类计数原理，属于难题解题时一定要注意选出的元素是否与顺序有关，否则很容易出现错误利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要做到不重不漏，防止出现错误第卷(共110分)二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.(一)必做题(913题)9.不等式的解集为 .【答案】.【考点定位】本题考查含绝对值不等式的求解，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式，属于容易题解题时一定要注意解与解集的区别，否则很容易出现错误零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间，去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值10.曲线在点处的切线方程为 .【答案】或.【解析】，所求切线的斜率为，故所求切线的方程为，即或.【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题解题时一定要抓住重要字眼“在点处”，否则很容易出现错误解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线的斜率11.从.中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是的概率为 .【答案】.【解析】上述十个数中比小的数有个，比大的数有个，要使得所选的七个数的中位数为，则应该在比大的数中选择个，在比大的数中也选择个，因此所求事件的概率为.【考点定位】本题考查排列组合与古典概型的概率计算，属于中等题. 学科网【名师点晴】本题主要考查的是排列组合和古典概型，属于中等题解题时要抓住重要字眼“中位数是”，否则很容易出现错误用排列组合列举基本事件一定要做到不重不漏，防止出现错误解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即12.在中，角.所对应的边分别为.，已知，则 .【答案】.【解析】，由边角互化得，即，即，所以.【考点定位】本题考查正弦定理中的边角互化思想的应用以及两角和的三角函数，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理和两角和的正弦公式，属于中等题解题时要弄清楚是求边还是求角， 否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是正弦定理、两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式，即（其中为外接圆的半径），13.若等比数列的各项均为正数，且，则 .【答案】.【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算，属于中等偏难题.【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和对数的基本运算，属于中等偏难题解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是等比数列的性质和对数的基本运算，即等比数列中，若（、），则，（，） (二)选做题(1415题，考生从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为_.【答案】.【考点定位】本题考查极坐标与参数方程的相互转化以及曲线的交点坐标求解，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程和两曲线的交点，属于中等题解决此类问题的关键是极坐标方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化15.(几何证明选讲选做题)如图3，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则 .【答案】【解析】由于四边形为平行四边形，则，因此，由于，所以，因此，故.【考点定位】本题考查相似三角形性质的应用，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是相似三角形的性质定理，属于中等题解题时一定要抓住重要字眼“面积”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是相似三角形的性质定理，即相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方学科网三.解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数，且.(1)求的值；(2)若，求.【答案】(1)；(2).【考点定位】本题考查诱导公式.同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数，综合考查三角函数的求值问题，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是特殊角的三角函数值、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系和三角函数的诱导公式，属于中等题解本题需要掌握的知识点是两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系和三角函数的诱导公式，即，17.(本小题满分13分)随机观测生产某种零件的某工厂名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：.，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率(1)确定样本频率分布表中.和的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率.【答案】(1)， ，；(2)详见解析；(3). 【考点定位】本题考查频率分布直方图以及独立性重复试验，考查频率分布直方图的绘制与应用，以及解决相关事件概率的计算，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是频率分布直方图和二项分布，属于中等题解题时一定要注意频率分布直方图的纵轴是和抓住重要字眼“至少”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是频率分布直方图，即，18.(本小题满分13分)如图4，四边形为正方形，平面，于点，交于点.(1)证明：；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析；(2).设是平面的法向量，则，又，所以，令，得，由(1)知平面的一个法向量，设二面角的平面角为，可知为锐角，即所求.【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定以及利用空间向量法求二面角，属于中等题. 学科网【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中等题解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线19.(本小题满分14分)设数列的前项和为，满足，且.(1)求.的值；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)，；(2).【考点定位】本题考查利用与的关系来考查数列的通项的求解，主要考查数学归纳法的应用，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是数列的通项公式，属于中等题本题通过计算，的值猜想数列的通项公式，利用数学归纳法进行证明，可得数列通项公式用数学归纳法证明时一定要注意当时猜想也成立的推理，否则很容易出现错误20.(本小题满分14分)已知椭圆的一个焦点为，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若动点为椭圆外一点，且点引椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.【答案】(1)；(2).【考点定位】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用，属于难题.【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系和动点的轨迹方程，属于难题解题时一定要注意关键条件“两条切线相互垂直”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，即椭圆（）的左焦点，右焦点，其中，离心率21.(本小题满分14分)设函数，其中.(1)求函数的定义域(用区间表示)；(2)讨论函数在上的单调性；(3)若，求上满足条件的的集合(用区间表示).【答案】(1)；(2) 函数在，上单调递增，在，上单调递减；(3).【考点定位】本题以复合函数为载体，考查函数的定义域.单调区间以及不等式的求解，从中渗透了二次不等式的求解，在求定义域时考查了分类讨论思想，以及利用作差法求解不等式的问题，综合性强，属于难题. 【名师点晴】本题主要考查的是函数的定义域、函数的单调区间和解不等式，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“单调性”和“用区间表示”，否则很容易出现错误利用导数求函数的单调区间的步骤：确定函数的定义域；对求导；令，解不等式得的范围就是递增区间，令，解不等式得的范围就是递减区间学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http:/xkw.so/wksp