李亚普诺夫法稳定性分析.pdf

第第 3 3 章章 李亚普诺夫法稳定性分析李亚普诺夫法稳定性分析第第 1 1 节节 基本概念基本概念1 1系统的平衡状态系统的平衡状态设系统的齐次状态方程为设系统的齐次状态方程为x f (x,t)若存在状态若存在状态xe，对所有，对所有t都满足都满足x f (xe,t) 0，则称，则称xe为系统的为系统的平平衡状态。衡状态。一个系统，不一定都存在平衡状态；如存在，也不一定唯一；一个系统，不一定都存在平衡状态；如存在，也不一定唯一；多个平衡状态，可能连续，也可能孤立。一般只研究孤立平衡状多个平衡状态，可能连续，也可能孤立。一般只研究孤立平衡状态。态。一般地，一般地，xe 0，此时可通过平移变换，此时可通过平移变换x x xe使使x f (x,t)的的平衡点平衡点xe 0。故一般只研究。故一般只研究xe 0（原点）（原点）处的稳定性。处的稳定性。一般地，一般地， 认为认为t t0时刻扰动消失，时刻扰动消失， 此时系统初始状态为此时系统初始状态为x0 xe。2 2系统的稳定性系统的稳定性系统受到扰动后其状态将偏离原平衡状态系统受到扰动后其状态将偏离原平衡状态xe。 系统稳定性表示系统稳定性表示扰动消失后系统在平衡状态（原扰动消失后系统在平衡状态（原xe或新或新xe）下继续工作的能力。）下继续工作的能力。稳稳定定性性是是系系统统的的一一种种内内部部属属性性，可可采采用用齐齐次次状状态态方方程程x f (x,t)通过通过x0 0，t t0的自由运动进行研究。的自由运动进行研究。稳定性是针对平衡点而言的稳定性是针对平衡点而言的。对对A 0的线性定常系统，的线性定常系统， 只有一个平衡点只有一个平衡点xe=0， 平衡点的稳平衡点的稳定性与系统稳定性是统一的。定性与系统稳定性是统一的。对多平衡点系统，不同的平衡点可能具有不同的稳定性，不对多平衡点系统，不同的平衡点可能具有不同的稳定性，不存在统一的系统稳定性问题，必须逐一分析各平衡点的稳定性。存在统一的系统稳定性问题，必须逐一分析各平衡点的稳定性。3 3李亚普诺夫关于稳定性的定义李亚普诺夫关于稳定性的定义状态状态x到到xe的距离（欧几里德范数）的距离（欧几里德范数） ：x xe(x1 x1e) (xn xne) xs()） 。22 1/2x xe称为称为xe的邻域（以的邻域（以xe为中心、为中心、为半径的超球体为半径的超球体李亚普诺夫关于稳定性的定义：李亚普诺夫关于稳定性的定义：对任意实数对任意实数 0，总存在，总存在(,t0) 0。当。当x0 xe时，系统时，系统x： f (x,t)自自x0出发的状态轨迹出发的状态轨迹x(t)（t t0）若满足）若满足lim x xe，称系统在，称系统在xe处李亚普诺夫稳定；处李亚普诺夫稳定；t）若满足）若满足lim x xe 0，称系统在，称系统在xe处渐近稳定；处渐近稳定；t）对任意对任意x0都满足都满足lim x xe 0，称系统在称系统在xe处大范围渐近处大范围渐近t稳定；稳定；）如）如xe不是李亚普诺夫稳定或渐近稳定的，则称其是不稳不是李亚普诺夫稳定或渐近稳定的，则称其是不稳定的。定的。满足渐近稳定的最大范围称为吸引域。满足渐近稳定的最大范围称为吸引域。大范围渐近稳定的必要条件是系统只有一个平衡点。大范围渐近稳定的必要条件是系统只有一个平衡点。若若(,t0) 0与与t0无关，称无关，称xe是一致稳定的。是一致稳定的。4 4、其他类型的稳定性定义、其他类型的稳定性定义BIBOBIBO 稳定性，完全稳定性等。稳定性，完全稳定性等。第第 2 2 节节 李亚普诺夫第二法（李亚普诺夫第二法（直接法直接法）稳定性定理）稳定性定理1 1标量函数的定号性标量函数的定号性设设V(x)为标量函数，为标量函数，且当且当x 0，V(x) 0。若对任意若对任意x 0（原点附近）（原点附近） ：如如V(x) 0（V(x) 0） ，则称，则称V(x)为为正定（负定）正定（负定）函数；函数；如如V(x) 0（V(x) 0） ，则称，则称V(x)为为半正定（半负定）半正定（半负定）函数；函数；特别情况：特别情况：设设PRnn，P Pt，则，则V(x) xtPx nnpn2inijxixj p x 2i11, jnp xj1i1iiii1, jiijixj称为称为二次型标量函数二次型标量函数，V(x)的定号性与的定号性与P的定号性相一致。的定号性相一致。P的定号性可有的定号性可有赛尔维斯特准则赛尔维斯特准则确定：确定：设设i(i 1,2,n)为为P的各阶主子行列式，即的各阶主子行列式，即p11p121 p11,2p21p,，n P22则则若若i 0(i 1,2,n)，则，则P 0；若若i 0(i 1,2,n 1)，n 0，则，则P 0；若若i为奇数 0,i为偶数 0,则则P 0；若若i为奇数 0,i为偶数 0,n 0，则，则P 0。2 2直接法稳定性定理直接法稳定性定理设对设对x（t 0） 的的xe 0， 在其某邻域内存在在其某邻域内存在V(x,t) 0， f (x,t)(x,t)，则有，则有且其沿且其沿状态轨迹状态轨迹关于时间的导数为关于时间的导数为V(x,t) 0，xe不稳定；不稳定；（1 1）若）若V(x,t) 0，xe李亚普诺夫稳定；李亚普诺夫稳定；（2 2）若）若V(x,t) 0，或，或V(x,t) 0但对但对x xeV(x,t)不恒等于不恒等于 0 0，（3 3）若）若V则则xe渐近稳定；且渐近稳定；且当当x 时时V(x,t) ，则，则xe大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。此时的此时的V(x,t)称为李亚普诺夫函数，记为称为李亚普诺夫函数，记为V (x,t)。说明：说明：（1 1）V(x,t)仅表示仅表示xe某邻域内局部运动的稳定性。某邻域内局部运动的稳定性。（2 2）对非线性系统，没有构造）对非线性系统，没有构造V (x,t)的通用的方法，这是李的通用的方法，这是李氏直接法应用的困难所在。氏直接法应用的困难所在。（3 3）对稳定的平衡点，也可能一时找不到）对稳定的平衡点，也可能一时找不到V (x,t)，找不到，找不到V (x,t)也不能据此判定其不稳定。也不能据此判定其不稳定。*（4 4）对稳定的平衡点，其）对稳定的平衡点，其V (x,t)不是唯一的。不是唯一的。(x,t)则表示则表示（3 3）对物理系统，）对物理系统，V(x,t)可以理解为能量函数，可以理解为能量函数，V能量沿状态轨迹的变化速率。能量沿状态轨迹的变化速率。对渐近稳定的对渐近稳定的xe，在在xe处处V(x,t)取极取极小值。对一般系统，小值。对一般系统，V(x,t)可视为广义能量函数。可视为广义能量函数。R例：例：R-LR-L 电路稳定性分析。取电路稳定性分析。取x i，系统状态方程为，系统状态方程为x x。L令令x 0得平衡点为得平衡点为xe 0。取。取12V(x) Lx（电感磁场能量）（电感磁场能量）2R2而而V(x) Lxx Lx()x Rx 0(x 0)L另另limV(x) ，故，故xe 0大范围渐近稳定。李亚普诺夫函数为大范围渐近稳定。李亚普诺夫函数为x 12V (x,t)= =Lx。2*显然还有显然还有V (x,t)= =Lx第第 3 3 节节 线性系统稳定性的直接法分析线性系统稳定性的直接法分析1 1、特征值稳定判据、特征值稳定判据线性定常系统线性定常系统x Ax(det A 0)在在xe 0大范围渐近稳定的充大范围渐近稳定的充要条件是要条件是A的所有特征值均具有负实部。的所有特征值均具有负实部。*22 2、直接法稳定判据、直接法稳定判据线性定常系统线性定常系统x Ax在在xe 0大范围渐近稳定的充要条件是大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的正定实对称矩阵对任意给定的正定实对称矩阵 Q Q，另存在正定实对称矩阵，另存在正定实对称矩阵 P P，满，满足足李亚普诺夫方程李亚普诺夫方程ATP PA Q而系统的而系统的李亚普诺夫函数李亚普诺夫函数为为V(x) xTPx证明：证明：充分性。充分性。不妨取不妨取V(x) xTPx，因，因P 0，故可保证，故可保证V(x) 0。而。而V(x) x TPx xTPx xTATPx xTPAx xT(ATP PA)x xTQx因因Q 0，必有，必有V(x) 0，所以系统在，所以系统在xe 0大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。必要性。略必要性。略对线性定常系统对线性定常系统x Ax，有，有推论：推论：李亚普诺夫方程李亚普诺夫方程A P PAI具有惟一正定对称解矩具有惟一正定对称解矩阵阵 P P 与与 A A 阵所有特征值均具有负（正）实部是等价的。阵所有特征值均具有负（正）实部是等价的。说明：说明：对高阶系统，求解李亚普诺夫方程不是一件容易的事对高阶系统，求解李亚普诺夫方程不是一件容易的事情。情。3 3 线性定常系统过渡过程时间的估计线性定常系统过渡过程时间的估计引入衰减系数引入衰减系数(x)V V(x)T定理：定理：设设 Q Q 和和 P P 是满足线性定常系统是满足线性定常系统x Ax的的李亚普诺夫方李亚普诺夫方程程A P PA QT的正定对称矩阵，则系统自由运动最小衰减系数估计值为的正定对称矩阵，则系统自由运动最小衰减系数估计值为minmin(QP )1其中其中min()表示表示()的最小特征值。的最小特征值。从而等效衰减最大时间常数估计值为从而等效衰减最大时间常数估计值为Tmax1/min其从某初始状态其从某初始状态x0自由运动到指定状态自由运动到指定状态x的最大时间估计值则为的最大时间估计值则为V(x0)tmaxlnminV(x)1说明：说明：上述方法需要计算特征根上述方法需要计算特征根minmin( (QP ) )，且高阶系统估计，且高阶系统估计误差较大。更有效的方法是误差平方积分法。误差较大。更有效的方法是误差平方积分法。14 4 线性时变连续系统直接法稳定定理线性时变连续系统直接法稳定定理设线性时变连续系统状态方程为设线性时变连续系统状态方程为x A(t) xx(t0) x0t t0系统在平衡点系统在平衡点xe 0处大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定处大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的连续正定对称矩阵的连续正定对称矩阵 Q Q（t t） ，必存在连续正定对称矩阵，必存在连续正定对称矩阵P P（t t） ，满，满足足黎卡提矩阵黎卡提矩阵微分微分方程方程P （t) A (t)P(t) P(t)A(t)Q(t)T而系统的而系统的李亚普诺夫函数为李亚普诺夫函数为V(x,t) x (t)P(t)x(t)设系统设系统x A(t) x，t t0的状态转移矩阵为的状态转移矩阵为(t,t0)，当给定，当给定 Q Q（t t） ，则黎卡提矩阵微分，则黎卡提矩阵微分方程的解为方程的解为P(t) （t0,t)P(t0)(t0,t)（,t)Q()(,t)dTTt0tT式中式中P(t0)为黎卡提矩阵微分为黎卡提矩阵微分方程的初始条件。方程的初始条件。通过判别通过判别 P P（t t）的正定性可判别系统的稳定性。）的正定性可判别系统的稳定性。该定理不便应用，主要具有理论意义。该定理不便应用，主要具有理论意义。第第 4 4 节节 非线性系统稳定性分析非线性系统稳定性分析1 1、非线性系统稳定性的间接法、非线性系统稳定性的间接法（第一法）（第一法）分析分析对弱非线性系统，对弱非线性系统， 可通过平衡点处的线性化系统来判断原非可通过平衡点处的线性化系统来判断原非线性系统在该平衡点的稳定性。线性系统在该平衡点的稳定性。设非线性定常系统的齐次状态方程为设非线性定常系统的齐次状态方程为x f (x)f (x)对对x连续可微。把连续可微。把f (x)在平衡状态在平衡状态xe作广义泰勒级数展开：作广义泰勒级数展开：xex f (xex)2 f (xf (x)e)xx 12!xt f (x)x2x xxexxe f (xx)e)f (xx g(xe,x)xxef1/x1f1/x2f1/xn f (x)f2/x1f2/f2/x2xx2-雅克比矩阵；雅克比矩阵；fn/x1fn/x2fn/xn2f (x)x2-海赛（海赛（HessianHessian）矩阵；）矩阵；g(xe,x)-高次项。若高次项满足高次项。若高次项满足limg(x)x 0 x 0式中式中则则x f (x)在在x xe领域内的（一次近似）线性化方程为领域内的（一次近似）线性化方程为x Axf (x)x xA 雅克比矩阵在雅克比矩阵在。e处的值处的值式中式中xxxe不失一般性，设不失一般性，设xe 0，则上述线性化方程写为，则上述线性化方程写为x Ax李亚普诺夫第一定理：李亚普诺夫第一定理：设非线性系统设非线性系统x f (x)在其平衡点在其平衡点xe 0附近的线性化状态方附近的线性化状态方程为程为x Ax（1 1）若）若 A A 的所有特征根实部为负，则的所有特征根实部为负，则xe渐近稳定；渐近稳定；（2 2）若）若 A A 的特征根中至少有一个实部为正，则的特征根中至少有一个实部为正，则xe不稳定；不稳定；（3 3）若）若 A A 的特征根至少有一个实部为的特征根至少有一个实部为 0 0，则，则xe的稳定性由高的稳定性由高次项次项g(x)决定。决定。证明：证明：设设 A A 阵所有特征值均具有负阵所有特征值均具有负 （正）（正） 实部，实部， 则方程则方程A P PAI存在唯一正定对称解矩阵存在唯一正定对称解矩阵 P P。选择正定标量函数。选择正定标量函数V(x) x PxTT而而V(x) x Px x Px x (A P PA)x 2g (x)Pxx x 2g (x)Pxx x(1ttTTtttt2g (x)Pxx xtt)式中式中 负（正）号对应于负（正）号对应于 A A 阵所有特征值均具有负（正）实部。阵所有特征值均具有负（正）实部。根据根据limg(x)x0的假设，可知在的假设，可知在xe 0的邻域内一定有的邻域内一定有x 0(12g (x)Pxx xtt) 0，这样就有：，这样就有：当当 A A 阵所有特征值均具有负实部时，阵所有特征值均具有负实部时，V(x) 0，非线性系统，非线性系统当当 A A 阵所有特征值均具有正实阵所有特征值均具有正实x f (x)的平衡点的平衡点xe 0渐近稳定；渐近稳定；部时，部时，V(x) 0，非线性系统，非线性系统x f (x)的的xe 0不稳定。不稳定。例：例：x(t) ax(t)bx (t)解：该系统有两个平衡状态：解：该系统有两个平衡状态：axe1 0，xe2 b2系统关于平衡点增量模型系统关于平衡点增量模型x(t) (a2bxe)x(t)bx (t)2在平衡点附近的线性化模型在平衡点附近的线性化模型x(t) (a 2bxe)x(t)1 1）平衡点）平衡点xe1 0的稳定性的稳定性x(t) ax(t)， a若若a 0，xe1不稳定；不稳定；若若a 0，xe1渐近稳定；渐近稳定；若若a 0，xe1的稳定性无法按线性化模型确定，需考虑高次项的稳定性无法按线性化模型确定，需考虑高次项g(x) bx (t)。此时。此时x(t) bx (t)，x(t)与与b同号。若同号。若b 0，xe1为为22李氏稳定；若李氏稳定；若b 0，x(t)持续增长或持续减小，持续增长或持续减小，xe1不稳定。不稳定。a2 2）平衡点）平衡点xe2 的稳定性的稳定性bx(t) ax(t)， a若若a 0，xe1渐近稳定。渐近稳定。若若a 0，xe1不稳定。不稳定。若若a 0，xe1的的 稳稳 定定 性性 无无 法法 按按 线线 性性 化化 模模 型型 确确 定定 。 此此 时时x(t) bx (t)，若，若b 0，xe1为李氏稳定；若为李氏稳定；若b 0，xe1不稳定。不稳定。22 2、非线性系统稳定性的直接法分析、非线性系统稳定性的直接法分析没有，没有， 。对非线性系统没有构造李亚普诺夫函数的通用的规范的方对非线性系统没有构造李亚普诺夫函数的通用的规范的方法，只有几种针对不同特征系统的方法，如克拉索夫斯基法，变法，只有几种针对不同特征系统的方法，如克拉索夫斯基法，变量量- -梯度法，祖波夫法，阿依捷尔曼法等。梯度法，祖波夫法，阿依捷尔曼法等。1 1） 雅可比矩阵法（克拉索夫斯基法）雅可比矩阵法（克拉索夫斯基法）设非线性系统的状态方程为设非线性系统的状态方程为x f (x)其一个平衡点为其一个平衡点为xe 0，雅可比矩阵为，雅可比矩阵为J(x) f (x) x fixjnn若对任意的正定实对称矩阵若对任意的正定实对称矩阵 P P，矩阵，矩阵TQ(x) J (x)P PJ(x) 0则系统在则系统在xe 0渐近稳定。且系统的一个李亚普诺夫函数为渐近稳定。且系统的一个李亚普诺夫函数为V(x) x TPx fT(x)P f (x)证明：证明：因因 P P 阵正定对称，故阵正定对称，故V(x) 0。而。而V(x) fT(x)P f(x) fT(x)P f (x) fT(x)PJ(x) f (x)J(x) f (x)TP f (x) fT(x)PJ(x) JT(x)Pf (x) fT(x)Q(x) f (x)当当Q(x) 0，必有，必有V(x) 0，从而系统在，从而系统在xe 0渐近稳定。渐近稳定。说明：说明：（1 1）如果）如果fi(x)与与xi无关，无关，J(x)的主对角元的主对角元fixi 0Q(x)，则，则不可能负定，从而不可能负定，从而xe 0不可能渐近稳定。不可能渐近稳定。（2 2）取）取 P P= =I I，可简化计算。，可简化计算。（3 3）对线性定常系统，上述定理为充要条件。对其他系统，）对线性定常系统，上述定理为充要条件。对其他系统，仅为充分条件。仅为充分条件。例：例：考察系统考察系统x 1 x1x 2 x1 x2 x32的稳定性。的稳定性。解：解：易见原点是系统的平衡点。右函数易见原点是系统的平衡点。右函数f1(x1,x2) x1f (x) 3f2(x1,x2)x1 x2 x20f1x1f1x21故故J(x) 2f2x1f2x2113x2取取P I diag1,1，则，则Q(x) JT(x) J(x)1110013x222113x221126x22检验检验Q(x)的各阶主子式的各阶主子式2121 2 0，2126x2312x2 02根据赛尔维斯特准则可知根据赛尔维斯特准则可知Q(x) 0，故，故xe 0为渐近稳定。此为渐近稳定。此时时V(x) fT(x) f (x) x2(x1 x2 x32)21当当x ，V(x) ，故，故xe 0为大范围渐近稳定。为大范围渐近稳定。2 2）变量）变量- -梯度法梯度法（1 1）场论的几个概念）场论的几个概念标量场和向量场标量场和向量场标量场：标量场：V(x) V(x1,x2,xn)向量场：向量场：R(x) R1(x),R2(x),Rn(x)其中其中Ri(x)为为R(x)的分量（标量）的分量（标量） ，Ri(x) Ri(x1,x2,xn)记各坐标方向单位向量为记各坐标方向单位向量为ri，则，则R(x)可用向量式表达可用向量式表达R(x) R1(x)r1 R2(x)r2 Rn(x)rn其中其中ri0,0,1,0（xi1,xj 0( j i)标量场的梯度（向量）标量场的梯度（向量）VV VVttV(x) , V1,V2,Vnxx1x2xntt对对n 3，V(x) V1r1V2r2V3r3其中其中r11,0,0，r20,1,0，r30,0,1ttt向量场的旋度（向量）向量场的旋度（向量）对对n 3，向量场，向量场V(x)的旋度为的旋度为V3V2V1V3V2V1rotV(x) ()r1()r2()r3x2x3x3x1x1rotV(x) 0的条件的条件- -旋度方程旋度方程VixVj(i j,i, j 1,2,3)jxi定义雅可比矩阵定义雅可比矩阵VV1/x1V1/xV21/x3J xV2/x1V2/x2V2/x3V3/x1V3/x2V3/x3可见可见rotV(x) 0的条件相当于的条件相当于J Jt。推广：推广：x2V对对n维系统，维系统，rotV(x) 0的条件为的条件为nn阶雅可比矩阵阶雅可比矩阵J x对称，即对称，即J J，也就是要求下列广义旋度方程（共，也就是要求下列广义旋度方程（共n(n1)/2个）个）成立：成立：ViVjxjxi(i j,i, j 1,2,n)t势量场势量场若向量场是某标量场的梯度，则该向量场称为势量场，此时若向量场是某标量场的梯度，则该向量场称为势量场，此时的标量函数称为该向量场的势函数。的标量函数称为该向量场的势函数。向量场是势量场的充要条件是该向量场的旋度为向量场是势量场的充要条件是该向量场的旋度为 0 0。势函数由其梯度沿势函数由其梯度沿x0到到x的任意曲线的线积分计算。若的任意曲线的线积分计算。若V(x)是势量场，则势函数是势量场，则势函数V(x) V(x) dx V(x0)x0 xt一般取一般取x0 0，V(x0) 0，则，则V(x) V(x) dx (V1dx1V2dx2Vndxn)00 xtx沿坐标轴方向的折线是最简便的积分路径，以沿坐标轴方向的折线是最简便的积分路径，以n 3为例为例x（1x20,x30)x2(x1x1,x30)x3(x1x1,x2x2)V(x) 0V1dx10V2dx20V3dx3（2 2）变量）变量- -梯度法构造梯度法构造V(x)思路：思路：若非线性系统若非线性系统x f (x)的平衡点的平衡点xe 0是渐近稳定的，是渐近稳定的，则在则在xe的的某某 邻邻 域域 内内 存存 在在 李李 亚亚 普普 诺诺 夫夫 函函 数数V(x) 0。 因因VVVt(x) 0（或（或V(x) xxx12nV(x) x 。如能由。如能由Vx1x2xn(x) 0）和旋度方程确定）和旋度方程确定V(x)的一种表达式，则利用线积分的一种表达式，则利用线积分VV(x) V(x) dx即可求出即可求出V(x)。0 xt步骤：步骤：（1 1）设）设V(x)的梯度表达式为的梯度表达式为VV VVttV(x) , V1,V2,Vnxx1x2xna11x1 a12x2 a1nxna x a x a x21 12222nna x a x a xn1 1n22nnn式中，式中，aij（或常数，或（或常数，或t的函数，或的函数，或x的函数）待定。的函数）待定。(x)表达式。表达式。求出求出V（2 2）由）由 V (x) xt(x) 0（或（或V(x) 0）的要求，试探确定部分）的要求，试探确定部分aij。（3 3）根据）根据V（4 4）根据）根据rotV(x) 0的要求，确定其余的要求，确定其余aij。(x)是否满足是否满足V(x) 0（或（或V(x) 0）（5 5）检验）检验V，若不满足再进，若不满足再进行步骤（行步骤（3 3）和（）和（4 4） 。（6 6）由）由V(x) V(x) dx求求V(x)。0 xt（7 7）如需要，求）如需要，求xe的渐近稳定的范围。不同的的渐近稳定的范围。不同的V(x)所得渐近所得渐近稳定的范围可能不同。稳定的范围可能不同。例：例：试用变量试用变量- -梯度法分析系统梯度法分析系统x 1 x1x 2 x2 x1x22的稳定性。的稳定性。解：解：易知易知xe 0是该系统的惟一平衡点。是该系统的惟一平衡点。1 1）设）设V(x)的梯度为的梯度为Va x a xV(x) 1111122V2a21x1 a22x22 2）V(x)的导数的导数V(x) V(x)tf (x)aa x11x1 a12x2121x1 a22x2 x22 x1x23 3）选择参数）选择参数ai j试取试取a11 a221,a12 a21 0，则，则V(x) V1x1V2x2V1V2xx 0，可见参数选择满足旋度方程。又，可见参数选择满足旋度方程。又21V(x) x221(1 x1x2)x2因因(x) 0。显然若显然若x1x21，则可使，则可使V4 4）计算计算V(x)x1(x20)x2(x1x1)V(x) x1dx1122x2dx2(x1 x2) 0002因此，在因此，在x1x21的范围内，的范围内，xe 0渐近稳定。渐近稳定。若改取若改取a2a2111，a12 x2,21 3x2, a22 3，则可得，则可得V(x) x2222213x2 （x1x23x1x2)x2V(x) 12x232312x2 x1x2在在0 x11x23范围内，范围内，xe 0渐近稳定。渐近稳定。可见，可见，ai j选取不同，所得选取不同，所得V(x)不同，吸引域也不同。吸引域不同，吸引域也不同。吸引域大的是较好的结果。大的是较好的结果。* *单机无穷大系统稳定分析单机无穷大系统稳定分析设同步发电机原动机和励磁均不调节，原转子运动方程为设同步发电机原动机和励磁均不调节，原转子运动方程为N(1)1 Pm(Pemaxsin D(1)Tj其中其中Pemax EqU/(xd xe)为功率极限，为功率极限，D D 为阻尼系数。为阻尼系数。据此可用李氏直接法进行稳定性分析。据此可用李氏直接法进行稳定性分析。在运行点的线性化方程在运行点的线性化方程NPemaxcos0 D Tj据此可用李氏第一法进行稳定性分析。据此可用李氏第一法进行稳定性分析。