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结构力学力矩分配法本讲稿第一页，共四十五页学习内容转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。无剪力分配法的概念及计算。利用对称性简化力矩分配法计算。本讲稿第二页，共四十五页学习目的和要求力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法。它不需要建立和求解基本方程，直接得到杆端弯矩。运算简单，方法机械，便于掌握。本章的基本要求：熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩分配法计算有侧移刚架。本讲稿第三页，共四十五页一、基本概念1、力矩分配法概述本讲稿第四页，共四十五页2、正负号规定：在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假定对杆端顺时针转动为正号。作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆时针转动为正号。本讲稿第五页，共四十五页3、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。AB杆A端的转动刚度SAB与AB杆的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度如下：本讲稿第六页，共四十五页本讲稿第七页，共四十五页如果把A端改成固定铰支座、可动铰支座或可转动（但不能移动）的刚结点转动刚度SAB的数值不变。本讲稿第八页，共四十五页4、传递系数C：杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：CM远/M近利用传递系数的概念，远端弯矩可表达为：MBA=CABMAB等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表。本讲稿第九页，共四十五页本讲稿第十页，共四十五页例题1转动刚度本讲稿第十一页，共四十五页在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。MAB1MABMAB111MAB下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB转动刚度SAB=4i是（）iiiiiiAAAAA4iSAB3iBBBBB返回本讲稿第十二页，共四十五页二、基本运算力矩分配法的基本运算指的是，单结点结构的力矩分配法计算。本讲稿第十三页，共四十五页1、单结点结构在结点集中力偶作用下的计算如图1所示结构，结点集中力偶m作用下，使结点转动，从而带动各杆端转动，杆端转动产生的近端弯称为分配弯矩，产生远端弯矩称为传递弯矩。分配弯矩：M1j1jm（j=A，B，C）（1）传递弯矩：Mj1cM1j（j=A，B，C）（2）本讲稿第十四页，共四十五页本讲稿第十五页，共四十五页注意：结点集中力偶m顺时针为正，产生正的分配弯矩。分配系数1j表示1j杆1端承担结点外力偶的比率，它等于该杆1端的转动刚度S1j与交与结点1的各杆转动刚度之和的比值，即：1jS1j/S1j，且1j1（3）只有分配弯矩才能向远端传递。分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是杆端转动时产生的远端弯矩。本讲稿第十六页，共四十五页单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法iBCAMMiA=4i=SiAMiB=3i=SiBMiC=i=SiCM=MiA+MiB+MiCM=0a）分配力矩注：1）称为力矩分配系数。且=12）分配力矩是杆端转动时产生的近端弯矩。3）结点集中力偶荷载顺时针为正。2、传递系数C：杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：b）传递弯矩Mji=CMijj=A，B，C注：1）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩。2）只有分配弯矩才能向远端传递。返回本讲稿第十七页，共四十五页2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算将整个变形过程分为两步：第一步，在刚结点加刚臂阻止结点转动，将连续梁分解为两根单跨超静定梁，求出各杆端的固端弯矩。结点B各杆端固端弯矩之和为附加刚臂中的约束力矩，称为结点不平衡力矩MB。第二步，去掉约束，相当于在结点B加上负的不平衡力矩MB，并将它分给各个杆端及传递到远端。叠加以上两步的杆端弯，得到最后杆端弯矩。本讲稿第十八页，共四十五页本讲稿第十九页，共四十五页返回单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法200kN20kN/m3m3m6m3i4iABC200kN20kN/mABCABC1）锁住结点，求固端弯矩150150902）去掉约束，相当于在结点加上负的不平衡力矩，并将它分给各个杆端及传递到远端。MB=15090=60MBMBmBAmBCMB=60SBA=43i=12iSBC=34i=12iBA=12i/24i=1/2BC=12i/24i=1/23030153）叠加1）、2）得到最后杆端弯矩。计算过程可列表进行1/21/2150m15090303015M175120120ABCM图（kN.m)17512090300不平衡力矩=固端弯矩之和节点不平衡力矩要变号分配.本讲稿第二十页，共四十五页例题2单结点力矩分配法本讲稿第二十一页，共四十五页返回i=1i=1i=22m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN用力矩分配法计算,画M图。解：1）求AB=AC=AD=4/92/93/92）求mmAB=mBA=mAD=505080M=15MAmABmADmACM+MA=mAB+mAD+mACM=50+8015=45结点BACD杆端分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递20固端弯矩50508010151010最后弯矩4070651010100M图（kN.m)2m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN40701001080M图（kN.m)本讲稿第二十二页，共四十五页三、多结点力矩分配法三、多结点力矩分配法用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，只要逐次放松每一个结点，应用单结点的基本运算，就可逐步渐近求出杆端弯。以图1所示连续梁为例加以说明。加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁，计算各杆固端弯矩m，由结点力矩平衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），如图b，图b与原结构的差别是：在受力上，结点B、C上多了不平衡力矩MB、MC；在变形上结点B、C不能转动。为了取消结点B的刚臂，放松结点B（结点C仍锁住），在结点B加上（MB），如图c,此时ABC部分只有一个角位移，并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进行力矩分配和传递。结点B处于暂时的平衡。此时C点的不平衡力矩是MC+M传。本讲稿第二十三页，共四十五页为了取消结点C的刚臂，放松结点C，在结点C加上（(MC+M传)），如图d，为了使BCD部分只有一个角位移，结点B再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递。结点C处于暂时的平衡。传递弯矩的到来，又打破了B点的平衡，B点又有了新的约束力矩M传，重复、两步，经多次循环后各结点的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状态和变形状态。一般23个循环就可获得足够的精度。叠加：最后杆端弯矩：M=M分配M传递MF本讲稿第二十四页，共四十五页本讲稿第二十五页，共四十五页24kN/m50kN12812875MB=128MC=53MB24kN/m50kN4m4m8m8mABCC2EI2EIEI取EI=8i=2i=2i=1BA=0.6BC=0.4CB=0.4CD=0.676.851.225.6MC=78.6MC=78.631.447.215.715.715.79.46.33.2分配系数逐次放松结点进行分配与传递固端弯矩最后弯矩0.60.40.40.61281287551.276.825.631.447.215.76.39.43.21.31.90.70.30.40.20.10.1086.686.6124.2124.2本讲稿第二十六页，共四十五页4m4m8m8m24kN/m50kNABCC固端弯矩最后弯矩12812875086.6 86.6124.2 124.286.6124.2192i=2i=2i=1100M图（kN.m)Mik86.641.43.849.2Mki/201.920.7000M86.643.324.5 49.2M之比i之比i=2i=2i=1i=2i=2i=1校核i=2i=2i=1i=2i=2i=1返回本讲稿第二十七页，共四十五页变形条件的校核：ijikijikiiMM=DDijikjiijkiikiiMMMM=D-DD-D332121ijjiijkikiikiMMiMMD-D=D-D321321ikkiikikkikiikikikiMMimMmMD-D=-=3213)(21)(jikikikmMM-=DkiikikMMMD-D=D21由此可见，在同一结点上各杆杆端转角相等的前提下，两杆i端的kiikikMMMD-D=D21值之比等于其线刚度之比。本讲稿第二十八页，共四十五页注意：多结点结构的力矩分配法得的是渐近解。首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。每次要将结点不平衡力矩变号分配。结点i的不平衡力矩Mi总等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡来求。在第一轮第一个分配结点：Mi=MFm（结点力偶荷载顺时针为正）在第一轮其它分配结点：Mi=MFM传m（结点力偶荷载顺时针为正）以后各轮的各分配结点：Mi=M传（86）本讲稿第二十九页，共四十五页例题3连续梁本讲稿第三十页，共四十五页100kN/mi=1.92i=1.37i=2.4i=12.5m3.5m4.82mA123B解:1)求分配系数:0.5130.4780.3630.6370.7620.2382)求固端弯矩:78.1102.0102.033.333.3288m1,312.311.6194.160.65.897.162.3109.331.251.41615.221,341.71320.97.610.318.225.29.11,32.72.51.36.93.23.51.73.11.60.921,30.50.40.21.20.40.60.30.50.30.221,30.10.10.20.1M0109.7109.742.342.3211.7211.7109.742.3211.7M(kN.m)78.115350288返回本讲稿第三十一页，共四十五页例题4无侧移刚架本讲稿第三十二页，共四十五页20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4iSCA=4iSCH=2iSCE=4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.4结点杆端ACEAGACCACHCECHm0.50.50.40.20.415本讲稿第三十三页，共四十五页返回0.50.50.40.20.4157.57.53.751.500.751.500.750.750.370.380.190.080.030.080.040.040.020.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（kN.m)本讲稿第三十四页，共四十五页四、无剪力分配法力矩分配法是用于连续梁和无侧移刚架，不能直接用于有侧移刚架。但对有些特殊的有侧移刚架，可以用与力矩分配法类似的无剪力分配法进行计算。无剪力分配法的使用条件：无剪力分配法的使用条件：结构中除了两端无相对线位移的杆外，其余的杆均为剪力静定杆。如果杆件两端线位移平行并且不于轴线垂直，则该杆为两端无相对线位移的杆。如图1(a)中EC、CF、DB杆均为无侧移杆。剪力静定杆指的是剪力可由截面投影平衡求出来的杆。如图1(a)中AB、BC杆均为剪力静定杆。两端无相对线位移的杆转动刚度、传递系数和固端弯矩确定，前面已经讨论过，下面这种讨论剪力静定杆的转动刚度、传递系数和固端弯矩确定。本讲稿第三十五页，共四十五页剪力静定杆的固端弯矩计算剪力静定杆的固端弯矩计算先由截面投影平衡求出杆端剪力，然后将杆端剪力看作杆端荷载加在杆端，按该端滑动，另一端固定的单跨梁计算固端弯矩。如图1(b)(c)所示。剪力静定杆的转动刚度：剪力静定杆的转动刚度：S=i，传递系数：C=1。本讲稿第三十六页，共四十五页本讲稿第三十七页，共四十五页剪力静定推导过程本讲稿第三十八页，共四十五页1、剪力静定杆的固端弯矩：2kN/m2kN/m求剪力静定杆的固端弯矩时先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，另端固定的杆计算固端弯矩。2、剪力静定杆的S和C：AABMAB=4iA6i/lMBA=2iA6i/lQBA=（MAB+MBA）/l=0MBA=MAB，MAB=4iA6iA/2=iA,MBA=2iA6iA/2=iA剪力静定杆的S=iC=1/l=A/2返回本讲稿第三十九页，共四十五页例题5无剪力分配法1本讲稿第四十页，共四十五页例题12-7用无剪力分配法计算刚架。解：1、求分配系数SBC=3i1=12SBA=i2=3BC=4/5BA=1/5BA杆的传递系数=12m2m4m1kN/m5kNi1=4i2=3ABC2、求固端弯矩：ABBABCCB4/51/5m5.332.673.75分传1.285.14M1.286.61 1.391.3901.395.706.61M图（kN.m)返回本讲稿第四十一页，共四十五页例题6无剪力分配法2本讲稿第四十二页，共四十五页8m6=48m5n4kN4kN4kN6kN6kN12kN2kN4kN6kN(3)(3)(3)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(4)(5)(5)(5)(5)(2)(2)(1)(1)(1)2kN3kN6kN6kN2kN3kN2kN3kN6kN6kN2kN3kN2kN3kN6kN6kN2kN3kN(3)(5)(4)(2)(6)(4)M=0本讲稿第四十三页，共四十五页2kN3kN6kN6kN2kN3kN(3)(5)(4)(2)(6)(4)ABCDGFE1、求：大家算2、求m：大家算6kN4kN1kNBCBAB结点杆端ACDAEABBFCBCGDCm6/71/712/196/154/1524CD3/194/195/15241616446.3225.268.426.328.4225.994.334.337.5811.379.477.589.47本讲稿第四十四页，共四十五页BCBAB结点杆端ACDAEABBFCBCGDCm6/71/712/196/154/1524CD3/194/195/15241616446.3225.268.426.328.4225.994.334.337.5811.379.477.589.471.887.522.511.882.510.671.000.840.670.841.610.270.270.150.590.20M20.2527.6033.3713.1218.68 12.376.3114.3127.60请自己完成弯矩图的绘制。返回本讲稿第四十五页，共四十五页