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,标准方差与相关系数1求标准方差在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1，当flag=0时，按1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按2所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。例6-7 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。,2相关系数MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为：corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。,例 生成满足正态分布的10000×5随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X),排序MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为：Y,I=sort(A,dim)其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。,线性优化,x=lp(C,A,b,vlb,vub),例 最小值线性优化f(x)=-5x1-4x2-6x3x1-x2+x3203x1+2x2+4x3423x1+2x230(0x1, 0x2,0x3),%First, enter the coefficients:f = -5; -4; -6 ;A = 1 -1 1 3 2 4 3 2 0;b = 20; 42; 30;lb = 0,0,0; % x的最小值 0,0,0ub = inf,inf,inf;%Next, call a linear programming routine:x= lp(f,A,b,lb,ub)%Entering xx = 0.0000 15.0000 3.0000,例 线性优化Min -400x1-1000x2-300x3+200x4 -2x2 + x3 + x4=0 2x1 +3x2 =0; x3<=5,c=-400,-1000,-300,200; %目标函数系数A=0 -2 1 1; 2 3 0 0; 3 4 0 0; %约束条件系数b=0; 16; 24;xLB=0,0,0,0; % x取值范围的最小值xUB=inf,inf,5,inf; % x取值范围的最大值x0=0,0,0,0; % x取迭代初始值nEq=1; % 约束条件中只有一个 = 号,其余为<=x=lp(c,A,b,xLB,xUB,x0,nEq)disp('最优值为: ',num2str(c*x),非线性优化,x=constr('f ',x0),fminbnd,计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。,x,fval,exitflag,output=fminbnd('(x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x)',0,1),在0，5上求下函数的最小值,解：先自定义函数：在MATLAB编辑器中建立M文件为：function f = myfun(x)f = (x-3).2 - 1;保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令：x=fminbnd(myfun,0,5),例 最小值非线性优化Min f(x)=-x1x2x3, -x1-2x2-2x30,x1+2x2+2x372,初值: x = 10; 10; 10,x = 10; 10; 10%第一步：编写M文件 myfun.mfunction f,g=myfun(x)f=-x(1)*x(2)*x(3);g(1)=-x(1)-2*x(2)-2*x(3);g(2)=x(1)+2*x(2)+2*x(3)-72;%第二步：求解%在MATLAB工作窗中键入x0=10,10,10;x=constr('myfun',x0) %即可,第一步：编写M文件 fxxgh.mfunction F,G=fxxgh(x)F=-x(1)*x(2);G(1)=(x(1)+x(2)*x(3)-120;第二步：求解在MATLAB工作窗中键入x=1,1,1; % x取迭代初始值options(13)=0; % 约束条件中有0个 = 号,其余为<=XL=0,0,2; % x取值范围的最小值XU=inf;inf;inf; % x取值范围的最大值x,options=constr('fxxgh',x,options,XL,XU);options(8) %输出最小值x,例 非线性优化Min f(x)=-x1x2 (x1+ x2)x3=0; x3>=2;,无约束多元函数最小值,多元函数最小值的标准形式为,其中：x为向量，如,使用fmins求其最小值,求,的最小值点,X=fminsearch('2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2', 0,0),或在MATLAB编辑器中建立函数文件function f=myfun(x)f=2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2;保存为myfun.m，在命令窗口键入X=fminsearch ('myfun', 0,0) 或 >> X=fminsearch(myfun, 0,0),利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值 当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好,求,的最小值,fun='3*x(1)2+2*x(1)*x(2)+x(2)2'x0=1 1;x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc(fun,x0),或用下面方法：fun=inline('3*x(1)2+2*x(1)*x(2)+x(2)2')x0=1 1x=fminunc(fun,x0),有约束的多元函数最小值,非线性有约束的多元函数的标准形式为：,sub.to,其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数,fmincon,解：约束条件的标准形式为,求下面问题在初始点（0，1）处的最优解,min,s.t,min,s.t,先在MATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件：function c, ceq=mycon (x)c=(x(1)-1)2-x(2);ceq= ; %无等式约束然后，在命令窗口键入如下命令或建立M文件：fun='x(1)2+x(2)2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)' %目标函数x0=0 1;A=-2 3; %线性不等式约束b=6;Aeq= ; %无线性等式约束beq= ;lb= ; %x没有下、上界ub= ;x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,mycon),二次规划问题,二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为：,sub.to,其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量,quadprog,求解下面二次规划问题,sub.to,解：,则,，,，,在MATLAB中实现如下：H = 1 -1;-1 2 ;f = -2; -6 ;A = 1 1;-1 2; 2 1 ;b = 2; 2;3 ;lb = zeros(2,1) ;x,fval,exitflag,output,lambda = quadprog(H,f,A,b, , ,lb),“半无限”有约束的多元函数最优解,x、b、beq、lb、ub都是向量；A、Aeq是矩阵；C(x)、Ceq(x)、是返回向量的函数，f(x)为目标函数；f(x)、C(x)、Ceq(x)是非线性函数；为半无限约束，通常是长度为2的向量,fseminf,先建立非线性约束和半无限约束函数文件，并保存为mycon.m：function C,Ceq,K1,K2,S = mycon(X,S)% 初始化样本间距：if isnan(S(1,1), S = 0.2 0; 0.2 0;end% 产生样本集：w1 = 1:S(1,1):100;w2 = 1:S(2,1):100;% 计算半无限约束：K1 = sin(w1*X(1).*cos(w1*X(2) - 1/1000*(w1-50).2 -sin(w1*X(3)-X(3)-1;K2 = sin(w2*X(2).*cos(w2*X(1) - 1/1000*(w2-50).2 -sin(w2*X(3)-X(3)-1;% 无非线性约束：C = ; Ceq= ;% 绘制半无限约束图形plot(w1,K1,'-',w2,K2,':'),title('Semi-infinite constraints')然后在MATLAB命令窗口或编辑器中建立M文件：fun = 'sum(x-0.5).2)'x0 = 0.5; 0.2; 0.3; % Starting guessx,fval = fseminf(fun,x0,2,mycon),求下列函数最大值的最小化问题,其中：,先建立目标函数文件，并保存为myfun.m：function f = myfun(x)f(1)= 2*x(1)2+x(2)2-48*x(1)-40*x(2)+304; f(2)= -x(1)2 - 3*x(2)2;f(3)= x(1) + 3*x(2) -18;f(4)= -x(1)- x(2);f(5)= x(1) + x(2) - 8;然后，在命令窗口键入命令：x0 = 0.1; 0.1; % 初始值x,fval = fminimax(myfun,x0),求上述问题的绝对值的最大值最小化问题。目标函数为：,解：先建立目标函数文件（与上例相同）然后，在命令窗口或编辑器中建立M文件：x0 = 0.1; 0.1; % 初始点options = optimset('MinAbsMax',5); % 指定绝对值的最小化x,fval = fminimax(myfun,x0, , , , , , , ,options),多目标规划问题,fgoalattain,在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问题有两种方法。在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。曲线拟合或回归是人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。图1说明了这两种方法。连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。,曲 线 拟 合,x=0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1;y=-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; n=2; % polynomial orderp=polyfit(x, y, n),polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量。其解是y = 9.8108x2 20.1293x0.0317。,为了将曲线拟合解与数据点比较，让我们把二者都绘成图。ezplot('-9.8108*x*x+20.1293*x-0.0317')xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plottingz=polyval(p, xi); 为了计算在xi数据点的多项式值，调用MATLAB的函数polyval。plot(x, y, ' o ' , x, y, xi, z, ' : ' ) 画出了原始数据x和y，用'o'标出该数据点，在数据点之间，再用直线重画原始数据，并用点' : '线，画出多项式数据xi和z。xlabel(' x '), ylabel(' y=f(x) '), title(' Second Order Curve Fitting '),x1=linspace(0, 2*pi, 60);x2=linspace(0, 2*pi, 6);plot(x1, sin(x1), x2, sin(x2), ' - ') xlabel(' x '), ylabel(' sin(x) ') title(' Linear Interpolation ' ),若不采用直线连接数据点，我们可采用某些更光滑的曲线来拟合数据点。最常用的方法是用一个3阶多项式，即3次多项式，来对相继数据点之间的各段建模，每个3次多项式的头两个导数与该数据点相一致。这种类型的插值被称为3次样条或简称为样条。函数interp1也能执行3次样条插值。,hours=1:12; % index for hour data was recordedtemps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24; % recorded temperaturesplot(hours, temps, hours, temps,' + ') % view temperaturestitle(' Temperature ')xlabel(' Hour '), ylabel(' Degrees Celsius '),为了说明一维插值，考虑下列问题，12小时内，一小时测量一次室外温度。数据存储在两个MATLAB变量中。,t=interp1(hours, temps, 9.3, ' spline ') % estimate temperature at hour=9.3,t=interp1(hours, temps, 4.7, ' spline ') % estimate temperature at hour=4.7,t=interp1(hours, temps, 3.2 6.5 7.1 11.7, ' spline '),意，样条插值得到的结果，与上面所示的线性插值的结果不同。因为插值是一个估计或猜测的过程，其意义在于，应用不同的估计规则导致不同的结果。,样条插值是对数据进行平滑,也就是，给定一组数据，使用样条插值在更细的间隔求值。例如，hours=1:12; % index for hour data was recordedh=1:0.1:12; % estimate temperature every 1/10 hourtemps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;t=interp1(hours, temps, h) ;plot(hours, temps, ' - ' , hours, temps, ' + ' , h, t) % plot comparative resultstitle(' Springfield Temperature ')xlabel(' Hour '), ylabel(' Degrees Celsius '),2 二维数据插值在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数interp2，其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。同样，X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。,例 某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时间0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度()。试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。命令如下：x=0:2.5:10;h=0:30:60'T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;xi=0:10;hi=0:20:60'TI=interp2(x,h,T,xi,hi),