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切线的判定与性质第1页，本讲稿共33页直线与圆的直线与圆的位置关系位置关系相交相交相切相切相离相离图图 形形 公共点个数公共点个数 公共点名称公共点名称 直线名称直线名称圆心到直线距圆心到直线距离离d d与半径与半径r r的的关系关系2 2个个交点交点割线割线1 1个个切点切点切线切线d r没有没有第2页，本讲稿共33页 图中直线图中直线l满足什么条件时是满足什么条件时是O O的切线的切线？Ol方法方法1 1：直线与圆有直线与圆有唯一公共点唯一公共点方法方法2 2：直线到圆心的距离直线到圆心的距离等于半径等于半径 注意：注意：实际证明过程中，通常不采用第一实际证明过程中，通常不采用第一种方法种方法;方法方法2 2从从“量化量化”的角度说明的角度说明圆的切线圆的切线的判定方法的判定方法。第3页，本讲稿共33页（1 1）圆圆心心O到到直直线线l的的距距离离和和圆圆的半径有什么数量关系的半径有什么数量关系?（2 2）二二者者位位置置有有什什么么关关系系？为为什么？什么？（3 3）由此你发现了什么？由此你发现了什么？O 请在请在O上任意取一点上任意取一点A A，连接，连接OAOA，过点，过点A A作直线作直线lOAOA。思考：。思考：lA第4页，本讲稿共33页切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半径这条半径的直线是圆的切线。的直线是圆的切线。对定理的理解：对定理的理解：切线切线必须同时满足必须同时满足两条：两条：经过半径外端；经过半径外端；垂直于这条半径垂直于这条半径 AOl第5页，本讲稿共33页Orl A OAOA是半径，是半径，l OAOA于于A A l是是O O的切线的切线定理的数学语言表达：定理的数学语言表达：第6页，本讲稿共33页(1)(1)直线直线l经过半径经过半径OAOA的外端点的外端点A A；(2)(2)直线直线l垂直于半径垂直于半径0A0A 则则:直线直线l l与与O相切相切 这样我们就得到了从这样我们就得到了从“位置位置”的角度的角度圆的切圆的切线的判定方法线的判定方法切线的判定定理切线的判定定理AOl第7页，本讲稿共33页 利用上面的定理，过圆上任利用上面的定理，过圆上任意一点，你会用三角尺画意一点，你会用三角尺画OO的的切切线线吗？吗？OP第8页，本讲稿共33页1 1、判断：、判断：(1)(1)过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（）(2)(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（与半径垂直的的直线是圆的切线（）(3)(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（线（）OOr rl lA AOOr rl lA AOOr rl lA A第9页，本讲稿共33页切线的判定方法有三种：切线的判定方法有三种：直线与圆有唯一公共点；直线与圆有唯一公共点；直线到圆心的距离等于该圆的半径；直线到圆心的距离等于该圆的半径；切线的判定定理即切线的判定定理即 经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半径的直这条半径的直线是圆的切线线是圆的切线.判定直线与圆相切有哪些方法？判定直线与圆相切有哪些方法？第10页，本讲稿共33页 例例1 1 如图，已知：直线如图，已知：直线ABAB经过经过O O上的点上的点C C，并且并且OA=OBOA=OB，CA=CBCA=CB。求证：直线求证：直线ABAB是是O O的切线。的切线。OBAC 分析：分析：由于由于ABAB过过O O上的点上的点C C，所以连接，所以连接OCOC，只要证明只要证明ABOCABOC即可。即可。第11页，本讲稿共33页 例例2 2 如图，已知：如图，已知：O O为为BACBAC平分线上一平分线上一点，点，ODABODAB于于D,D,以以O O为圆心，为圆心，ODOD为半径作为半径作O O。求证：求证：O O与与ACAC相切。相切。OABCED第12页，本讲稿共33页OBACOABCED例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同?(1)(1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆则连结这点和圆心心,得到辅助半径得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直再证所作半径与这直线垂直.简记为：简记为：有交点，连半径有交点，连半径,证垂直证垂直.(2)(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半再证垂线段长等于半径长径长.简记为：简记为：无交点无交点,作垂直作垂直,证半径证半径.第13页，本讲稿共33页1、如图，、如图，AB是是 O的直径的直径,O过过BC的中点的中点D，DEAC.求证：求证：DE是是 O的切线的切线AODECB证明：连接证明：连接ODBDCD，OA=OB,OD是是ABC的中位线的中位线.OD/AC.又又 DEC90,ODE90.又又 D在圆周上在圆周上,DE是是 O的切线的切线.第14页，本讲稿共33页2 2、如图如图,ABC,ABC中中,AB=AC,AOBC,AB=AC,AOBC于于O，OEACOEAC于于E,E,以以O为圆心为圆心,OE,OE为半径作为半径作O.求证：求证：ABAB是是O的切线的切线.FECOBA第15页，本讲稿共33页3 3、如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径,点点D D在在ABAB的延长线上的延长线上,BD=OB,BD=OB,点点C C在在O O上上,CAB=30.,CAB=30.求证求证:DC:DC是是O O的切线的切线.ABCDO第16页，本讲稿共33页4、如图，、如图，AB是是 O的直径的直径,C为为 O上一点，上一点，AD和过点和过点C的切线互相垂直，垂足为的切线互相垂直，垂足为D.求证：求证：AC平分平分 DABAODCB证明：连接证明：连接OCCD 是是 O的切线，的切线，OC CD.又又ADCD,OC/AD.ACO CAD.又又OC=OD,CAO ACO CAD CAO,故故AC平分平分DAB第17页，本讲稿共33页5已知：在已知：在ABC中，中，ABAC，以以AB为直径作为直径作 O交交BC于于D，DEAC于于E，求证：求证：DE是是 O的切线的切线.分析：分析：因为因为DE经过经过 O上的点上的点D，所以，所以要证明要证明DE为切线，为切线，可连结可连结OD，再证明再证明DE OD.第18页，本讲稿共33页6如图，已知在如图，已知在ABC中，中，ADBC于于D，ADBC/2，E和和F分别为分别为AB和和 AC的中点，的中点，EF与与AD交于交于G，以，以EF为直径作为直径作 O，求证：，求证：O与与BC相切相切.分析：分析：要证明以要证明以EF为直径的为直径的 O与与BC相切，只要过相切，只要过O作作OH BC于于H，证，证 明明OH等于直等于直径径EF的一半的一半.H第19页，本讲稿共33页7如图如图(3)，ABC内接于内接于 O，P、B、C在一直线上，且在一直线上，且PA2PBPC，求证：求证：PA是是 O的切线的切线.分析：分析：PA过过 O上一上一点点A，要证，要证PA为切线，为切线，只要证只要证PA AO，为此，为此，作直径作直径AD，并连结，并连结CD，只要证，只要证PA AD即可即可.第20页，本讲稿共33页 如图，如果直线如图，如果直线l是是O O的切线，切点为的切线，切点为A A，那么半径那么半径OAOA与直线与直线l是不是一定垂直呢？是不是一定垂直呢？OAl第21页，本讲稿共33页如果直线如果直线L是圆是圆O的切线，切点为的切线，切点为A，那么半径，那么半径OA与直线与直线L是不是垂直呢？是不是垂直呢？AOL分析：分析：假设假设OA与与L不垂直，过点作不垂直，过点作OM L，垂足为，垂足为M。根据根据垂线段最短的性质，有垂线段最短的性质，有OMOA，这说明圆心这说明圆心O到直线到直线L的距离小于的距离小于半径半径OA，于是直线，于是直线L就要与圆相就要与圆相交，而这与直线交，而这与直线L是圆是圆O的切线相的切线相矛盾。矛盾。因此，因此，OA与直线与直线L垂垂直。直。AOLM第22页，本讲稿共33页 切线的性质定理：切线的性质定理：圆的圆的切线垂直于过切点的半径。切线垂直于过切点的半径。OAl l是是O O的切线，的切线，切点为切点为A A l OAOA第23页，本讲稿共33页过半径外端过半径外端;垂直于这条半径垂直于这条半径.切线切线圆的切线圆的切线;过切点的半径过切点的半径.切线垂直于半径切线垂直于半径切线判定定理：切线判定定理：切线性质定理：切线性质定理：OAl第24页，本讲稿共33页 例例3 3、如图，、如图，PAPA、PBPB分别切分别切O O于于A A、B B，两切线相交于点两切线相交于点P,P,若若P=42P=420 0，求，求ACBACB的度数。的度数。BPCAOPCBCAOmm第25页，本讲稿共33页1 1、如图、如图,O O切切PBPB于点于点B,PB=4,PA=2,B,PB=4,PA=2,则则OO的的半径多少？半径多少？注：注：已知切线、切已知切线、切点，则连接半径，应用点，则连接半径，应用切线的性质定理得到垂切线的性质定理得到垂直关系直关系，从而应用勾股，从而应用勾股定理计算。定理计算。第26页，本讲稿共33页2 2、如图，、如图，ABAB、ACAC分别切分别切O O于于B B、C C，若，若A=60A=600 0，点，点P P是圆上异于是圆上异于B B、C C的一动点，则的一动点，则BPCBPC的的度数是（度数是（）A A、60600 0B B、1201200 0C C、60600 0或或1201200 0D D、1401400 0或或60600 0BPCAO第27页，本讲稿共33页练习与巩固：练习与巩固：2、如图如图,在在ABC中中,AB=AC,BAC=120,A与与BC相切于点相切于点D,与与AB相交于点相交于点E,则则ADE等于等于_ _度度.1、如图，如图，A、B是是 O上的两点，上的两点，AC是是 O的切线，的切线，B=70，则则BAC等等于（于（）A.70 B.35 C.20 D.10OABC（2）（1）3、如图如图,在在OAB中中,OB：AB=3：2,0B=6，O与与AB相切于点相切于点A,则则 O的直径为的直径为 。OAB（3）第28页，本讲稿共33页4、如图如图,PA、PB是是 O的切线的切线,切点分别为切点分别为A、B,且且APB=50,点点C是优是优弧上的一点弧上的一点,则则ACB=_.5、如图，如图，O的直径的直径AB与弦与弦AC的夹角为的夹角为30，过，过C点的切线点的切线PC与与AB的延长线交于的延长线交于P，PC=5，则，则 O的半径为（的半径为（）A.B.C.10D.5 （5）（4）辅助线的作法：辅助线的作法：作过切点的半径作过切点的半径第29页，本讲稿共33页变式一：变式一：在在ABC中，中，AB=2，AC=，以，以A为圆心，为圆心，1为半为半径的圆与边径的圆与边BC相切相切，则，则BC的长为的长为 。ABC6、在在ABC中，中，AB=2，以，以A为圆心，为圆心，1为半径的圆与边为半径的圆与边BC相切于点相切于点D，则，则BD的长为的长为 。ABCD变式二：变式二：如图，点如图，点A是圆是圆O外一点，外一点，OA=4，AB与圆相切于点与圆相切于点B，且，且AB=2 ，弦，弦BC OA，则，则BC的长为的长为 。AOBC第30页，本讲稿共33页7、如图如图,AB为为 O的直径，的直径，C为为 O上一点，上一点，AD和过和过C点的切线互相垂点的切线互相垂直，垂足为直，垂足为D，求证：，求证：AC平分平分DAB。AOBCD（7）8、如图如图,AB为为 O的直径，的直径，BC是是 O的切线，切点为的切线，切点为B，OC平行于弦平行于弦AD，求证：，求证：CD是是 O的切线。的切线。AOBCD（8）第31页，本讲稿共33页1 1、知识：、知识：切线的判定定理切线的判定定理着重分析了定理成立着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可两个条件缺一不可2 2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)(1)根据切线定义判定即与圆有唯一公共点的根据切线定义判定即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线直线是圆的切线.(2)(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线距离等于圆的半径的直线是圆的切线 (3)(3)根据切线的判定定理来判定根据切线的判定定理来判定 其中其中(2)(2)和和(3)(3)本质相同，只是表达形式不同本质相同，只是表达形式不同解题时，灵活选用其中之一解题时，灵活选用其中之一第32页，本讲稿共33页切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半径的这条半径的直线是圆的切线。直线是圆的切线。对定理的理解：对定理的理解：切线切线必须同时满足必须同时满足两条：两条：经过半径外端；经过半径外端；垂直于这条半径垂直于这条半径 AOl第33页，本讲稿共33页