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正交矩阵的性质第1页，本讲稿共19页习题课习题课正交矩阵的性质正交矩阵的性质一、正交矩阵的定义及简单性质一、正交矩阵的定义及简单性质二、有限维欧氏空间里的正交矩阵二、有限维欧氏空间里的正交矩阵三、正交矩阵的特征根三、正交矩阵的特征根第2页，本讲稿共19页一、正交矩阵的定义及简单性质一、正交矩阵的定义及简单性质问题问题正交矩阵之和？正交矩阵之和？1定义定义，若若称称A 为正交矩阵为正交矩阵2运算性质运算性质正交矩阵之积为正交阵正交矩阵之积为正交阵正交矩阵的转置为正交阵正交矩阵的转置为正交阵 正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵 数乘正交矩阵？数乘正交矩阵？第3页，本讲稿共19页 A为正交矩阵为正交矩阵 A为正交矩阵为正交矩阵 A为正交矩阵为正交矩阵3正交矩阵的判定正交矩阵的判定第4页，本讲稿共19页 的关系如何？的关系如何？元素元素与其余子式与其余子式，代数余子式，代数余子式当某当某时，时，的上界？的上界？问题：问题：的上界？的上界？第5页，本讲稿共19页二、有限维欧氏空间里的正交矩阵二、有限维欧氏空间里的正交矩阵 空间空间的一组标准正交基。的一组标准正交基。A为正交矩为正交矩阵阵A的行（列）向量组是的行（列）向量组是n 维行（列）向量维行（列）向量 1矩阵矩阵，则，则第6页，本讲稿共19页2n维欧氏空间维欧氏空间的一组标准正交基的一组标准正交基，矩阵矩阵满足满足则则为标准正交基为标准正交基A为正交矩阵为正交矩阵第7页，本讲稿共19页 A是正交变换是正交变换A为正交矩阵为正交矩阵 则则 标准正交基，若标准正交基，若3A为为n维欧氏空间维欧氏空间的线性变换，的线性变换，是一组是一组A ，第8页，本讲稿共19页 A为第二类的，若为第二类的，若。A为第一类的为第一类的(旋转旋转)，若，若；4n维欧氏空间维欧氏空间的正交变换的分类的正交变换的分类第9页，本讲稿共19页 使使即即 对角矩阵对角矩阵向量，即向量，即A在在下的矩阵为实下的矩阵为实存在标准正交基存在标准正交基是是A的特征的特征A为对称变换为对称变换 则则标准正交基，且标准正交基，且A ，5A为为n维欧氏空间维欧氏空间的线性变换，的线性变换，为一组为一组第10页，本讲稿共19页1在不同的教材上曾出现下面的命题在不同的教材上曾出现下面的命题三、正交矩阵的特征根三、正交矩阵的特征根 正交矩阵的特征根的模等于正交矩阵的特征根的模等于1。正交矩阵的实特征根为正交矩阵的实特征根为1或或1；正交变换的特征根为正交变换的特征根为1或或1；第11页，本讲稿共19页 可得可得即即注意此时注意此时由（由（1）和（）和（2）对（对（1）两边取共轭转置）两边取共轭转置（2）（1）的证明：设的证明：设为为维非零复向量，维非零复向量，为复数，为复数，且且第12页，本讲稿共19页2正交矩阵正交矩阵A的特征根的特征根 共轭出现的。共轭出现的。当当时，由（时，由（3）知）知A的非实的复特征根是成对的非实的复特征根是成对这里这里为矩阵为矩阵A的所有特征根的所有特征根 iii)ii)i)（3）特征多项式特征多项式第13页，本讲稿共19页正交矩阵正交矩阵的特征根的特征根这里这里，为非负整数为非负整数且且非实特征根非实特征根负特征根负特征根（4）正特征根正特征根ii)可设可设 非实特征根为成对共轭非实特征根为成对共轭与与出现，出现，且且实特征根为实特征根为1或或1i)分类分类第14页，本讲稿共19页3正交矩阵正交矩阵A的行列式的行列式 ，是是1作为作为A的特征根的重数的特征根的重数（5）即即在（在（4）之下）之下或或1（简单证明，由定义给出）（简单证明，由定义给出）第15页，本讲稿共19页4正交矩阵正交矩阵的三类特征根的三类特征根 特征根为特征根为1或或1。n为奇数时，为奇数时，与与的奇偶性相反，且至少有的奇偶性相反，且至少有1个个n为偶数时，为偶数时，与与的奇偶性相同的奇偶性相同 第16页，本讲稿共19页5n 维欧氏空间中的正交变换维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况特征根的存在情况 若若A有特征根，则特征根有特征根，则特征根1的重数与的重数与n的奇偶性相同。的奇偶性相同。相同。相同。A必以必以1为特征根且重数为奇数，特征根为特征根且重数为奇数，特征根1的重数与的重数与n的奇偶性的奇偶性A为第二类的为第二类的即即 若若A有特征根，则特征根有特征根，则特征根1的重数为偶数，特征根的重数为偶数，特征根1的重数的重数与与n 的奇偶性相同的奇偶性相同A为第一类的即为第一类的即才是才是A的特征根，约定当的特征根，约定当不是特征根时，其重数为不是特征根时，其重数为0：注意此时注意此时A与在标正基下的正交矩阵与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，的对应关系，A的实特征根的实特征根第17页，本讲稿共19页设设A是是33正交阵且正交阵且证明证明A的特征多项式为的特征多项式为 这里这里，证明第二类正交变换一定以证明第二类正交变换一定以1作为它的一个特征值。作为它的一个特征值。特征值。特征值。证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个作为它的一个 6问题问题第18页，本讲稿共19页与与进一步的结论？进一步的结论？iii)，ii)i)考虑考虑A的所有特征值的可能性的所有特征值的可能性第19页，本讲稿共19页