邱志平_王晓军_航空航天结构中的有限元法_讲义.pdf

航空航天结构中的有限元方法 航空航天结构中的有限元方法 邱志平 王晓军 编著 邱志平 王晓军 编著 北京航空航天大学北京航空航天大学 2011 年年 1 月月 前前 言言 有限元方法经过半个多世纪的发展，现已成为当今工程问题中应用最广泛的数值计算方法。有限元方法集多学科理论知识于一身，且有着自己的理论基础和解题方法。有限元方法首先被航空结构工程师引入并发展，并由于其在解决工程技术问题时的灵活、快速及有效性，发展非常迅速，现在其解题范围几乎渗透到了的各个研究领域，包括固体变形场、流体场、电磁场、温度场和声场等。近年来，由于有限元分析商业化软件的普及，有限元分析不再只为少数专业人员所掌握，转而成为高校、科技工作者和工程技术人员所广泛使用的通用分析工具。拥有了先进的和自动化的有限元分析软硬件平台，并不意味着就掌握了有限元分析方法和能够得到正确的分析结果。对于实际的工程结构，特别是航空航天领域复杂的组合结构，工作环境复杂严峻，技术要求苛刻，要取得合乎工程标准的可信的结构分析结果，需要工程技术人员具有较高的理论素养和实际经验。本书拟作为航空航天院校及相关专业的教学参考书。目前国内介绍有限元法的书籍很多，与同类教材相比，本书具有以下特点：首先，为了使本书具有相对的系统性与完整性，前几章介绍了有限元方法的基本原理和理论基础，内容简洁而重点突出，为后面的实例分析奠定基础；其次，针对航空航天领域的典型结构，如机身结构、机尾翼结构和起落架结构等，详细介绍了其有限元模型的建立、网格划分、边界条件的选取以及载荷施加、求解和结果分析，并把常见的杆件结构、板和壳体问题分析融入到航空航天典型结构的分析当中；第三，介绍了航空航天领域的突出问题的工程应用：静力分析，动力分析和复合材料结构的有限元分析技术等。本书内容完整，具有显著的航空航天特色，可作为航空航天、力学、机械等专业学生的教材，也可作为上述专业教师和工程技术及科研开发人员的参考书。鉴于工科院校学生理论知识与工程应用的并重性，本书分为上下两篇：第一篇主要介绍了有限元法的基本理论，共分九章。第一章绪论部分概述了有限元法的早期工作、现状和未来，并简述了有限元在航空航天领域的应用背景和分析方法。第二章介绍了有限元法的基本概念和理论基础，第三章至第五章分别介绍了杆系结构，平面问题和空间问题的有限元法，第六章和第七章分别介绍了轴对称问题和板壳问题的有限元法，第八章介绍了高阶单元与等参单元的理论，第九章给出了结构动力有限元分析的概念和基本理论，并在第十章介绍了作者在不确定性结构分析的区间有限元方法方面的一些工作。第一篇中的理论部分具有普适性，既为第二篇所述的航空航天有限元奠定基础，又可作为相关专业人士在有限元理论方面的入门参考。第二篇主要介绍了有限元法在航空航天中的应用，分为航空部分和航天部分，目的是为相关专业人士在使用有限元法分析航空航天结构时提供参考。航空部分以大型飞机结构为原型，介绍了模型简化，约束与载荷的施加等，并分别就飞机的机身、机翼、舵面、发动机短舱、气密舱、座舱盖、货舱门、机身机翼对接区和起落架部分的有限元分析方法进行了详细的介绍。航天部分主要介绍了卫星结构分析中的有限元法，包括有限元模型的建立，静力分析和模态分析。最后，作者将近年来在有限元方面所作的工作及在工程中的具体应用做了较为详细的阐述，以期读者能够将理论与实际融会贯通，正确并熟练应用有限元分析方法进行工程结构分析。作者长期以来一直从事航空航天飞行器结构分析设计研究和教学工作，积累了丰富的科研教学经验。目前国内还没有一本书能够全面系统地介绍空天飞行器结构有限元方法的基础性和专门性的教材，本书的出版适应于我国国防类大学学生的需要。在编写本书的过程中，博士研究生祁武超、吴迪等付出了许多辛勤的劳动，仔细录入、校审了初稿，作者在此表示衷心地感谢！感谢本教材编写所参考书目的作者，书中如有漏引之处，还请作者见谅!由于作者水平所限，书中一定存在某些不妥和需要修改之处，敬请读者批评指正。作者 2011 年 1 月 目目 录录 第 1 章 绪 论.-1-1.1 有限元的发展、现状和未来.-1-1.1.1 有限元法的早期工作.-1-1.1.2 有限元法的发展和现状.-1-1.1.3 有限元法的未来.-2-1.2 有限元法在航空航天中的应用.-3-1.2.1 有限单元法在航空航天领域中的应用背景.-3-1.2.2 航空结构分析.-3-1.2.3 航天结构分析.-4-习 题.-6-第 2 章 有限单元法的基本概念和理论基础.-7-2.1 有限元法的基本思想.-7-2.2 有限元法的基本概念.-7-2.2.1 结构离散（有限元建模）.-7-2.2.2 插值函数.-8-2.2.3 有限元法的收敛准则.-8-2.2.4 有限元法的基本步骤.-9-2.2.5 场问题的一般描述.-9-2.3 弹性力学基本理论.-9-2.4 变分原理.-13-2.5 有限元平衡方程.-14-习 题.-15-第 3 章 杆系结构有限元分析.-16-3.1 拉压杆单元.-16-3.1.1 一般规定.-16-3.1.2 位移函数.-16-3.1.3 几何关系和物理关系.-18-3.1.4 平衡关系.-18-3.1.5 坐标变换.-19-3.2 扭转杆单元.-20-3.3 平面直梁单元.-21-3.3.1 位移函数.-22-3.3.2 梁元的刚度矩阵.-25-3.3.3 坐标变换.-26-3.3.4 等效结点载荷.-27-3.4 总体刚度矩阵和总体载荷列向量.-30-3.5 刚度矩阵的物理意义和性质.-32-3.6 位移边界条件.-34-3.7 总刚度平衡方程的求解.-36-3.8 算例.-36-3.9 小结.-38-习 题.-39-第 4 章 平面问题有限元分析.-41-4.1 引言.-41-4.2 常应变三角形单元.-41-4.2.1 离散化.-41-4.2.2 位移模式与形函数.-42-4.2.3 基于最小势能原理的单元特性分析.-44-4.3 单元等效结点载荷列阵.-46-4.4 矩形双线性单元.-49-4.4.1 位移模式与形函数.-49-4.4.2 单元刚度矩阵和单元等效载荷列阵.-51-4.4.3 单元等效结点荷载矩阵.-51-4.5 应力计算结果的整理.-52-习 题.-52-第 5 章 空间问题有限元分析.-54-5.1 三维应力状态.-54-5.2 四面体常应变单元.-55-5.3 直六面体单元.-57-习 题.-59-第 6 章 轴对称问题的有限元分析.-60-6.1 单元位移函数.-60-6.2 单元应变与应力.-61-6.2.1 单元应变.-61-6.2.2 单元应力.-62-6.3 单元刚度矩阵.-63-6.4 整体刚度矩阵.-63-6.5 等效结点载荷.-64-6.5.1 体积力.-65-6.5.2 表面力.-66-习 题.-67-第 7 章 板壳问题有限元分析.-68-7.1 薄板问题的有限元法.-68-7.1.1 矩形单元的位移函数.-70-7.1.2 矩形单元的刚度矩阵.-71-7.1.3 矩形单元的等效结点载荷和内力矩.-72-7.2 薄壳问题的有限元法.-73-7.2.1 结构载荷列阵.-73-7.2.2 单元刚度矩阵.-74-7.2.3 结点应力计算.-75-习 题.-75-第 8 章 高阶单元与等参数单元.-77-8.1 高阶单元.-77-8.1.1 建立形函数的方法.-77-8.1.2 多项式的完备性.-78-8.1.3 矩形单元Lagrange 族单元.-78-8.1.4 矩形单元Serendipity 族单元.-80-8.2 平面四结点等参元.-81-8.2.1 坐标变换与等参单元.-81-8.2.2 单元刚度矩阵的计算.-82-8.2.3 等参变换的条件和等参单元的收敛性.-84-8.3 八结点曲边等参单元.-86-8.3.1 位移函数.-86-8.3.2 等参单元等效结点力.-87-习 题.-88-第 9 章 结构动力有限元分析.-90-9.1 动力问题有限元列式-基本概念.-90-9.2 运动方程式.-90-9.2.1 惯性力和阻尼力.-90-9.2.2 运动方程的建立.-90-9.2.3 动力方程与静力方程的区别.-91-9.3 质量矩阵.-91-9.3.1 集中质量矩阵.-91-9.3.2 一致质量矩阵.-93-9.4 阻尼矩阵.-93-9.4.1 单元阻尼矩阵.-93-9.4.2 总体阻尼矩阵.-94-9.5 无阻尼自由振动分析-特征值问题.-94-9.6 振型的性质.-94-9.6.1 振型的规格化.-95-9.6.2 振型的正交性.-95-9.7 有阻尼的自由振动分析.-95-9.8 结构动力响应分析.-96-9.8.1 振型叠加法.-96-9.8.2 直接积分法.-97-习 题.-102-参考文献.-235-主要符号表 求解域 求解域边界,X Y Z 表面力分量,X Y Z 体积力分量 正应力 剪应力 正应变 剪应变 应力向量 应变向量 E 弹性模量 G 剪切模量 泊松比 I 截面惯性矩 l 杆长 A 横截面积 剪切影响系数 sA 有效抗剪面积 D 弹性矩阵 B 单元应变矩阵 S 单元应力矩阵 方向余弦矩阵 T 坐标变换矩阵 I 单位矩阵 势能泛函 W 总功 U 内力虚功 V 外力虚功，单元体积,rNri j k 单元形函数 N 单元形函数矩阵 o x y z 局部(单元)坐标系 oxyz 整体坐标系,u v w 位移场分量 位移场向量,iiiixiyziu v w 结点位移分量 iu 结点位移向量 eK 单元刚度矩阵 eu 单元结点位移向量 ef 单元结点载荷向量 K 总体刚度矩阵 u 总体结点位移向量 f 总体结点载荷向量,i j k 结点编号 eF 单元结点力 P 集中载荷 q 分布载荷 T 扭矩 M 弯矩 Q 剪力 N 轴力 扭转角 挠度 V 单元体积 三角形单元面积 6 倍四面体单元体积 M 质量矩阵 C 阻尼矩阵 振型矩阵 特征值对角矩阵 12,材料阻尼系数 特征值 特征向量,t 时间 角频率,b 不确定性参数 Ix 区间数 cx 区间数Ix的中点 x 区间Ix的半径 x 区间Ix的上界 x 区间Ix的下界 注：局部坐标系下的量使用上角标符号()航空航天结构中的有限元方法-1-第 1 章 绪 论 1.1 有限元的发展、现状和未来 1.1.1 有限元法的早期工作 有限元法的根本思想可追溯到 Courant 在 1943 年的工作，他首先将在一系列三角形区域上定义的分片连续函数和最小势能原理相结合，来求解 St.Venant 扭转问题。此后，不少数学家、物理学家和工程师分别从不同角度对有限元法的离散理论、方法和应用进行了研究。有限元法的实际应用是随着电子计算机的出现而开始的。首先是 Turner，Clough 等人于 1956 年将刚架分析中的位移法推广到弹性力学平面问题，并应用于飞机结构的分析。1960 年 Clough 等进一步求解了平面弹性问题，并第一次提出了“有限元法”的名称，使人们更清楚地认识到有限单元法的特性和功效。我国著名力学家、教育家徐芝纶院士首次将有限元法引入我国，对它的应用起了很大的推动作用1。1.1.2 有限元法的发展和现状 近几十年来，伴随着计算机科学和技术的快速发展，有限元法作为工程分析的有效方法，在理论、方法的研究、计算机程序的开发以及应用领域的开拓诸方面均取得了根本性的发展2,3。（1）单元的类型和形式 为了扩大有限元法的应用领域，新的单元类型和形式不断涌现。例如等参单元采用和位移插值相同的表示方法，将形状规则的单元变换为边界为曲线或曲面的单元，从而可以更精确地对形状复杂的求解域进行有限元离散。再如在构造节点参数中同时包含有位移和位移导数的梁、板、壳单元，以满足工程实际问题中大量遇到该类结构的需求。构造包括多种材料构成的复合单元，用来分析复合材料、夹板材料、混凝土等组成结构。（2）有限元法的理论基础和离散格式 在提出新的单元类型，扩展新的应用领域和应用条件的同时，为了给新单元和新应用提供可靠的理论基础，研究工作的进展包括将 Hellinger-Reissner 原理、Hu-Washizu 原理等多场变量的变分原理用于有限元分析，发展了混合型、杂交型的有限元表达格式，并研究了各自的收敛条件；将与微分方程等效的积分形式加权余量法，用于建立有限元的表达格式，从而将有限元的应用扩展到不存在泛函或泛函尚未建立的物理问题；有限元解的后验误差估计和应力磨平方法的研究进展，不仅改进了有限元解的精度，更重要的是为发展满足规定精度的要求，以细分单元网格或提高插值函数阶次为手段的自适应分析方法提供了基础。（3）有限元方程的解法 现在用于大型复杂工程问题的有限元分析，自由度达几十万个甚至上百万个已是经常的情况，这与计算机软、硬件发展相配合的大型方程组解法的研究进展密不可分。有限元求解的问题从性质上可以归结为三类，即 独立于时间的平衡问题（或静态问题）。最后归结为求解系数矩阵元素在对角线附近稀疏分布的线性代数方程组。对于常见的结构应力分析问题，求解的是对应给定载荷的结构位移和应力。此类问题至今主要是采用直接解法，先后发展了循序消去法、三角分解法、波前法等。近年来，为了适应求解大型、特大型方程时减少计算机存储和提高计算速度的需要，迭代解法特别是预条件共轭梯度法受到更多的重视，并已成功地应用。特征值问题。求解的是齐次微分方程。解答是使方程存在非零解的特征值和与之对应的特征模态。在实际应用中，它们代表的可能是振动的固有频率和振型，或是结构屈曲的临界载荷和屈曲模态等。针对求解大型矩阵特征值问题，先后发展了幂迭代法、同步迭代法、子空间迭代法等。近10 多年来，里兹（Ritz）向量直接叠加法和 Laczos 向量直接叠加法由于具有更高的计算效率而受到广泛的重视和应用。依赖于时问的瞬态问题。由于这类问题的方程是结点自由度对于时问的一阶、二阶导数的常微分方程组，求解的是在随时间变化的载荷作用下的结构内位移和应力的动态响应，或是波动在介质中的传播、反射等，所以此类问题的求解主要是采用对常微分方程组直接进行数值积分的时问逐步积分法。依据所导致的代数方程组是否需要联立求解，可区分为时间步长只受求解精度限制的隐式算法，以及时问步长受算法稳定限制的显式算法（如以中心差分法为代表）。为了有效地求解不同刚度的介质、材料或单元尺寸在同一问题中耦合作用所形成的方程，常采用隐式显式相结合的算法。还需指出，动力子结构法（又称模态综合法）是动力分析中经常采用的非常有效的方法。它依靠先航空航天结构中的有限元方法-2-求解各子结构的特征值问题，然后只取其对结构响应起主要作用的振动模态进入结构的总体响应分析，从而可以大幅度缩减总体分析的自由度和计算工作量。上述三类问题，从方程自身性质考虑，还存在对应的非线性情形。非线性可以是由材料性质、变形状态和边界接触条件引起的，分别称为材料、几何、边界非线性。求解非线性有限元问题的算法研究主要有以下几种。采用 Newton Raphson 方法或修正 Newton Raphson 方法等将非线性方程转化为一系列线性方程进行迭代求解，并结合加速方法提高迭代收敛的速度。采用预测校正法或广义中心法等对材料非线性本构方程进行积分，决定加载过程中材料的应力应变的演化过程。采用广义弧长法等时间步长控制方法和临界点搜索、识别方法，对非线性载荷位移的全路径进行追踪。采用拉格朗日（Lagrange）乘子法、罚函数法或直接引入法，将接触面条件引入泛函，求解接触和碰撞问题。最后应指出，由于有限元法解题的规模越来越大，为了缩短解题的周期，基于并行计算机和并行计算软件系统的有限元并行算法，近年来得到很大发展。（4）有限元法的计算机软件 由于有限元法是通过计算机实现的，因此它的软件研发工作一直是和它的理论、单元形式和算法的研究以及计算环境的演变平行发展的。从 20 世纪 50 年代以来，软件的发展按其目的和用途可以区分如下4：专用软件。在有限元发展的早期（20 世纪 5060 年代），专用软件是为一定结构类型的应力分析（例如平面问题、轴对称问题、板壳问题）而编制的程序。而后，专用软件更多的是为研究和发展新的离散方案、单元形式、材料模型、算法方案、结构失效评定和优化等而编制的程序。大型通用商业软件。从 20 世纪 70 年代开始，基于有限元法在结构线性分析方面已经成熟并被工程界广泛采用，一批由专业软件公司研制的大型通用商业软件（如 NASTRAN，ASKA，SAP，ANSYS，MARC，ABAQUS，JIFEX 等）公开发行和被应用。它包含众多的单元型式、材料模型及分析功能，并具有网格自动划分、结果分析和显示等先后处理功能。近 30 年来，大型通用软件的功能由线性扩展到非线性，由结构扩展到非结构（流体、热），由分析计算扩展到优化设计、完整性评估，并引入基于计算机技术发展的面向对象技术、并行计算和可视化技术等。现在大型通用软件已为工程技术界广泛应用，并成为 CADCAM 系统不可缺少的组成部分。1.1.3 有限元法的未来 经过近 50 年特别是近 30 年的发展，有限元法的基础理论和方法已经比较成熟，已成为当今工程技术领域中应用最为广泛，成效最为显著的数值分析方法。但是面对 21 世纪全球在经济和科技领域的激烈竞争，基础产业（例如汽车、船舶和飞机等）的产品设计和制造需要引入重大的技术创新，高新技术产业（例如宇宙飞船、空间站、微机电系统和纳米器件等）更需要发展新的设计理论和制造方法。而这一切都为以有限元法为代表的计算力学提供广阔驰骋的天地，并提出了一系列新的课题。（1）为了真实地模拟新材料和新结构的行为，需要发展新的材料本构模型和单元型式。例如对于特种合金、复合材料、陶瓷材料、机敏材料、智能材料、生物材料以及纳米材料等，建立能真实地描述它们各自的力学、物理性质和特征行为，并适合数值计算的本构模型和相应的单元型式，以及优化设计材料性能的计算方法。这方面现在是，未来仍将继续是一个重要的研究课题，因为这是计算分析和优化它们自身性能及由它们所组成的结构在不同环境中的响应分析的前提。（2）为了分析和模拟各种类型和形式的结构在复杂载荷工况和环境作用下的全寿命过程的响应，需要发展新的数值分析方案。例如常见的下述情况：高温结构在随时间变化的载荷和环境的作用下，从损伤的孕育、萌生到其成长、集聚、扩展，直至最后失效和破坏的全寿命过程的数值模拟。其中包括损伤和应力及环境的相互作用，不同性质和形式的损伤彼此之间的相互作用。汽车在碰撞或重物压击作用下，其失稳、过屈曲直至压溃或破裂的全过程的数值模拟。从失稳到破坏可能在很短的时问内发生，其中还涉及变形过程和材料性能以及载荷的相互作用。其他更为复杂的情况，如空间飞行运载系统和推进系统在飞行状态下响应的模拟，核反应堆在事故工况下响应的模拟等。这将涉及材料、结构和流体动力、传热燃烧、化学作用、核裂变和辐射等多种作用的相互耦合。航空航天结构中的有限元方法-3-为实现上述分析和模拟，需要研究和发展以下数值方法。多重非线性（材料、几何、边界等）相耦合的分析方法。多场（结构、流体、热、电、化学）耦合作用的分析方法。跨时间空间多尺度。非确定性（随机模糊）的分析方法。分析结果评估和自适应的分析方法。（3）有限元软件和 CADCAMCAE 等软件系统共同集成完整的虚拟产品开发（VPD）系统。这是从 1990 年开始的技术方向。VPD 系统是计算力学、计算数学以及相关的计算物理、计算工程科学和现代计算机科学技术、信息技术（IT）、知识工程（KBE）相结合而形成的集成化、网络化和智能化的信息处理系统。并通过网络将科学家、设计工程师、制造商、供应商及有关咨询顾问连结起来协同工作。它强烈地影响着未来工程系统的设计、制造和运行，主要表现在：它能提供对所设计的工程系统从加工制造到运行，直至失效和破坏的全寿命过程的更深入认识，从而能更好地识别它的属性和特征。它能够鉴定和评估所设计对象的性能和质量，并允许以最低的费用在设计过程中就对所设计的对象进行修改和优化。它能显著地缩短工程对象设计和投产的周期，降低生产成本，提高市场竞争力。1.2 有限元法在航空航天中的应用 1.2.1 有限单元法在航空航天领域中的应用背景 有限单元法发展至今天，已成为工程数值分析的有力工具。有限单元法首先被应用于航空工业中结构的力学特性分析。我国航空工业领域早在 60 年代，就已将有限元法应用于航空结构分析，现在已形成了一支有相当规模高素质的结构分析科技队伍，在飞机设计、生产和科研中做出了巨大的贡献。由于航空结构大多数为复杂的组合结构，例如机身、机翼和起落架等大都由成百上千，甚至上万个零件组成，力学特性非常复杂，工作环境严峻，而技术要求又非常苛刻，所以要取得合乎工程标准的可信的结构分析结果，高明的建模技术是关键所在。有限单元法可以通过适当选择单元的大小和形状，对几何形状不规则的实体几乎可达到任意的近似，并且可考虑任意形式的外载荷和处理各向异性材料，这些都为有限单元法能够用来设计一个好的结构分析模型，在航空航天结构分析方面做出杰出的贡献奠定了良好的基础。在航天领域，有限元分析具有同样重要的作用。现在的有限元分析软件不仅可以进行结构的静力学和动力学分析，而且可以计算结构在热载荷及声载荷等作用下的应力应变分布情况，这使得有限单元法的应用范围进一步拓展到了更广阔的领域。1.2.2 航空结构分析 本书将根据航空主要结构（机身，机翼，起落架）的特点，简要探悉如何对工程问题进行有限元分析，使理论基础和实际结构合理的贯穿在一起。（1）机身结构分析 对于机身结构来说，其受力形式复杂，为了得到可信的工程结构分析结果，需要建立一个符合真实受力状态的有限元分析模型。机身结构是典型的薄壁式结构，主要受力构件为长桁、蒙皮和隔框。长桁一般都按左右对称布置，承受机身弯矩引起的轴力。蒙皮承受全部剪力和扭矩，同时还承受不同程度的轴力作用。隔框有普通框和加强框之分，普通框用以维持机身外形，支持机身长桁和蒙皮，加强框除了起到普通框的作用外，还承受集中载荷。在机身有限元应力分析中，把机身这一薄壁加筋结构计算模型的网格尽量取得与真实工程结构一致，即每个加筋与加筋相交处都取为一个节点，两个节点之间模拟加筋取为杆元或梁元，相邻加筋间取为板元。长桁一般都取为二力杆以承受轴力，蒙皮简化为承受平面应力的正应力板元，隔框外圈的缘条取为梁元，并应考虑缘条横切面形心与节点之间的偏心。机身所承受的载荷较为复杂，包括气动载荷、惯性载荷、地面载荷、动力装置载荷等，在用有限元进行总体应力分析时需要将各种情况的外载荷处理到有限元模型的各个节点上，载荷处理的正确与否，直接影响计算结果的正确性。一般来说，需要用加权系数法处理切面增量载荷，用刚体元处理切面等效载荷和集中载荷，对客舱和驾驶员舱气密压力载荷的添加可通过在板元上施加分布载荷来实现。航空航天结构中的有限元方法-4-另外，进行有限元分析还需要给出节点的约束信息，模型的边界条件则是结构的外部约束，需要根据结构的实际支持情况仔细给出。（2）机/尾翼结构分析 机翼与尾翼均属于飞机的翼面部件，其结构元件基本相同，只是因为在飞机上所处的位置和功能上的差异得以区别。翼面结构也具有一些典型受力元件，包括蒙皮，翼肋，翼梁、长桁、翼梁和墙。蒙皮起传递气动力和维持外形的作用。普通肋起传递局部气动载荷及维持剖面形状的作用，加强肋一般具有腹板和缘条两部分，以承受剪力和弯矩。翼梁主要承受机翼的弯矩和剪力，纵墙主要承受剪力。长桁的主要功能是承受机翼弯矩引起的轴向力，此外还起传递气动载荷和支持蒙皮的作用。机翼单元类型选取应视具体分析对象而选定，若是大型飞机，因其结构高度较高，机翼大梁和墙的缘条可选为杆元，梁、墙、腹板则被选为剪力板元素。这样，在翼面的有限单元分析中将只包括杆元和板元。机翼所承受的载荷主要为气动力和惯性力，这些载荷的添加和对边界条件的模拟与机身类似，这里不再赘述。（3）起落架结构分析 起落架是飞机的重要组成部分，其结构形式复杂，并存在大量的应力集中。有限元素法在起落架的静强度分析以及疲劳寿命估算中有着重要的地位。起落架有限元模型的处理与机身机翼有相似之处，这里不再赘述，但应注意起落架有限元模型所选的单元一般为体元。值得指出的是，在工程应用中，有限元分析模型一般均建立在由 CAD 软件生成的实体模型之上，在航空领域，采用较多的 CAD 软件为 Catia，利用 Catia 模型，导入相应的有限元分析软件，再经过加工处理，即可形成用于计算的有限元模型。1.2.3 航天结构分析 航天器系指在地球大气以外宇宙空间（太空）执行探索、开发和利用太空以及地球以外天体的特定任务的飞行器，又称空间飞行器。航天器按是否载人，可分为无人航天器和载人航天器；无人航天器包括人造地球卫星、空间探测器和货运飞船；载人航天器包括载人飞船、空间站和航天飞机等。人造地球卫星系指环绕地球运行的无人航天器，简称卫星，它目前是人类探索、开发和利用太空的最主要工具。各类航天器结构的设计和分析在很多方面是相同的，但也有许多不同的特色。本书主要介绍卫星结构的有限元分析。简单地说，卫星结构是指为卫星及其各分系统提供支撑，承受和传递载荷，并保持一定刚度和尺寸稳定性的部件和附件的总称。这里，附件是指在空间可伸展在卫星本体之外的大型结构件，如可展开的太阳翼和天线。（1）卫星结构的功能 卫星结构为卫星的主要分系统，属于卫星的服务保障性分系统。每颗卫星都设有结构分系统，卫星结构的主要功能包括承受载荷、安装设备和提供构型 3 个方面。承受载荷。卫星结构需要承受作用在卫星上的静力和动力载荷。这些载荷包括：卫星在地面操作和运输过程中产生的载荷，卫星发射过程中产生的加速度、振动、冲击和噪声载荷，卫星机构动作产生的冲击载荷，卫星在轨运行时由于温度交变、真空状态和变轨运动产生的载荷，卫星再人返回产生的气动力和气动热以及着陆冲击载荷，等等。卫星结构应保证在以上各种载荷作用下不产生破坏，即结构应具有一定的强度。另外，卫星结构需要满足运载火箭对卫星模态基频的要求，避免动力耦合载荷的产生，且在上述载荷作用下不能产生过大的有害变形，如在发射过程中，卫星的变形不能使卫星与运载火箭的整流罩发生碰撞；在轨运行过程中，温度交变环境造成的星上各种敏感器与卫星精度基准的位移偏差不超过允许范围；等等，即结构应具有一定的刚度。安装设备。卫星结构需要为星载仪器设备提供固定安装界面并保持一定精度，包括电子设备、推进剂贮箱、气瓶和管路，以及天线、太阳能电池阵等附件。卫星热控部件的安装也需要通过结构来实施，如热管需预埋在卫星结构中，散热用的 OSR 片需黏贴在结构板表面等等。卫星结构应对星载设备提供保护，例如，保证星载仪器设备和附件上的载荷不超过规定的范围，对空间环境具有一定的防护能力等。提供构型。卫星结构是卫星的骨架，为整星提供构造外形，为卫星和运载火箭的连接提供接口，为卫星伸展附件的连接提供接口，以及为卫星地面操作设备的安装提供接口等。（2）卫星结构的设计特点 卫星一般需要经历发射、空间轨道运行、离轨或返回地面的三个特殊的环境条件。发射是指用航空航天结构中的有限元方法-5-运载火箭将卫星送入卫星运行轨道。发射过程中卫星要经历恶劣的加速度、振动、冲击和噪声等的力学环境。空间轨道运行是指卫星进入空间轨道后提供正常功能和服务的阶段，在该阶段，卫星需要经受真空、微重力、高低温交变、辐射、原子氧和微流星等空间环境。返回或离轨是指当卫星完成预定的在轨飞行任务后，需要返回地面或离轨销毁。返回地面的卫星，还需经历再人过程产生的非常严酷的气动力和气动热环境及着陆冲击环境等。以上卫星经历的环境条件与飞机或其他地面机械有很大差别，因此，在这些特殊环境条件下，根据上述卫星结构和机构的功能要求，对于卫星结构和机构的设计，除了具有一般机械构件设计的特征外，还具有以下明显的特点。尽量减小质量。卫星依靠运载火箭来发射，由于受运载火箭发射能力的限制，卫星质量大小与发射条件和发射成本关系密切。结构和机构的质量占据整星质量的较大比例，因此对结构和机构的质量要求非常苛刻，尽量减小其质量是设计的首要任务。利用有限容积。由于卫星的体积和形状受到运载火箭或其整流罩的严格限制，因此卫星结构必须设计得非常紧凑，充分利用有限空间来安装各种星载设备；需设计各种机构，将卫星上的展开附件收拢固定在运载火箭整流罩的有限空间内，并能在空间展开。突出刚度设计。卫星结构承受的主要载荷是卫星发射时运载火箭产生的载荷，特别是动态载荷。因此卫星结构设计以提高结构刚度为主要目标，以提高卫星结构的自然频率来最大限度地减轻与运载火箭的动力耦合作用，从而降低卫星结构承受的动载荷和动应力，由此最终保证卫星结构不被破坏。适应空间环境。空间环境包括高真空、温度交变、电子辐照、紫外辐照、微重力、空间碎片、低轨道原子氧等特殊条件，由此对设计提出了特殊的要求，例如：暴露在上述环境中的结构和机构表面材料需要能承受上述环境条件而不发生性能退化；密封或封闭的结构应避免入轨后因内外压差增高而导致结构破坏；机构的活动部件应防止真空冷焊现象发生；结构和机构应考虑防止因温度交变而导致过大的变形；等等。保证高度可靠。卫星发射入轨之后，工作时间往往达到几年或更长，而卫星一般在空间是无法维护的，如果出现故障就难以修复。不可维护的特点要求卫星设计具有很高的可靠性，特别是具有运动功能的卫星机构的可靠性。满足一次使用。与可重复使用的飞机不同，卫星只能或只需使用一次，也就是说，只经历一次发射过程，卫星承受的运载火箭的动力载荷时间很短。因此，卫星结构的疲劳问题一般不太严重，但需要考虑的是入轨后的温度交变重复作用下的热疲劳载荷问题。（3）卫星结构的分类 大中型卫星都有能够独立承载的结构系统，通信卫星结构的由中心承力筒、结构板等承力构件构成主传力路径。太阳翼、天线及仪器设备等通过机构、支架等连接到承力构件上，并将载荷传递到主传力路径上。返回式卫星结构包括回收舱、制动舱、服务舱和密封舱 4 个舱段，其载荷沿舱壁逐舱向下传递。其中密封舱为金属壳体的密封结构；回收舱包括金属壳体的密封结构和外层防热结构；制动舱和服务舱为加筋壳体结构。而壳体内的“井”字梁、仪器盘和相机大梁等其他支架结构通过连接将载荷传递到舱壁的框或桁条上。由于卫星结构的功能不同，卫星结构形式多种多样，目前一般可以按照以下不同方式对结构进行分类。按照载荷传递的作用 按照结构在载荷传递中的作用可以把结构分为主结构和次结构：主结构是卫星各组件与运载火箭之间的支撑，构成主传力路径；次结构是安装在主结构上的各种支撑结构和卫星附件，典型的卫星附件为太阳翼和展开天线。也可将卫星结构分为三级，第一、二级与上述主、次结构基本对应，三级结构为电缆、管路等的细小支架及电子设备的结构等。按照结构的功能 结构除了传递载荷外，某些卫星或航天器结构还起密封作用，形成气密空间；而返回式卫星或其他航天器还有热防护要求。因此，可以按照结构的功能将结构分为承力结构、密封结构和防热结构。在多数情况下，结构的功能是多重的，如密封结构也起承载作用。按照组成结构的部件形状 按照结构部件的形状，它可分为：杆系结构、板式结构和壳体结构。航空航天结构中的有限元方法-6-杆系结构。杆系结构可分为桁架和刚架：桁架是由杆和接头组成的杆系结构，载荷作用在结构的节点上，各构件只承受轴向载荷（拉、压力）；刚架又可称为框架，是可通过其节点和构件承受剪切和弯曲的结构。板式结构。板式结构最主要的要求是提高其抗弯刚度和稳定性，但又要保证具有最小的质量，因此，目前在卫星结构中广泛采用具有蜂窝芯子的夹层板结构。另外，板式结构也可由框架组成，以承受面外剪力和弯矩，形成框架板式结构。壳体结构。壳体结构大多采用与板式结构类似的组成和制造工艺。其中，圆柱壳结构是最常采用的壳体结构，典型的结构是作为卫星主承载结构部件的中心承力筒。另外，对卫星或其他航天器的密封舱体也可做成不同形状的旋转壳体形式。习 题 习 题 1-1 简述有限元法的发展和现状。1-2 简述有限元法的未来。航空航天结构中的有限元方法-7-第 2 章 有限单元法的基本概念和理论基础 本章将介绍有限单元法的一些基本概念及有限元方程建立的理论基础4,5。2.1 有限元法的基本思想5,6(1)有限元法，也叫有限单元法，它的基本思想是将一个结构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过它们边界上的结点相互联结成为组合体，如图 2.1 和图 2.2 所示。（a）三角形单元 （b）四边形单元 图 2.1 二维结构的有限元离散 （a）四面体单元 （b）六面体单元 图 2.2 三维结构的有限元离散(2)有限元法用每一个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知函数或/及其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的插值函数来表示。由于在联结相邻单元的结点上，场函数应具有相同的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。这样一来，求解原来待求场函数的无穷自由度问题转换为求解场函数结点值的有限自由度问题。(3)有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数的结点值）的代数方程组或微分方程组。此方程组称为有限元求解方程，并表示成规范的矩阵形式。接着用数值方法求解此方程，从而得到问题的解答。2.2 有限元法的基本概念 2.2.1 结构离散（有限元建模）内容：1）网格划分即把结构按一定规则分割成有限单元；2）边界处理即把作用于结构边界上的约束和载荷处理为结点约束和结点载荷。要求：1）离散结构必须与原始结构保形单元的几何特性；2）一个单元内的物理特性必须相同单元的物理特性。单元与结点：单元：原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域；结点：单元与单元间的连接点；航空航天结构中的有限元方法-8-结点力：单元与单元间通过结点的相互作用力（内力）；结点载荷：作用于结点上的外载荷，与结点力的区别如图 2.3 所示。结点自由度：结点所允许的独立运动参数的数目。图 2.3 结构载荷与结点力 表 2.1 典型单元类型 注意：1)结点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过结点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；2)结点力与结点载荷的差别。2.2.2 插值函数 插值函数用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元结点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。选择位移函数的一般原则：1）位移函数在单元结点的值应等于结点位移（即单元内部是连续的）；2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解。2.2.3 有限元法的收敛准则 在单元形状、结点个数确定之后，单元的位移模式的选取是影响解答的关键。当位移模式满足下述准则时，解答一定是收敛的，即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。收敛准则：1)位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）；2)位移函数必须包括常量应变（即线性项）；3)位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）；4)位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）。航空航天结构中的有限元方法-9-注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的单元称为完备协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的单元称为完备元。影响有限元解的误差：1)离散误差 边界上以直线代曲线导致离散化模型与实际物体的差异。2)位移函数误差 一般情况下单元位移函数不可能与实际单元的位移场一致。3)计算机计算舍入误差 计算机字长的限制、相差悬殊的数值加减运算。2.2.4 有限元法的基本步骤 图 2.4 力学模型与有限元模型 1）研究问题的力学模型，例如图 2.4 所示的平面应力问题；2）结构离散；3）单元分析；4）整体分析与求解；5）结果分析及后处理。2.2.5 场问题的一般描述 图 2.5 场问题 描述图 2.5 场问题的微分方程组为：12()()()0 .AA在内uA uu；边界条件为：12