欧拉方程的求解.pdf

欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707-1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用表示圆周率、e表示自然对数的底、f(x)表示函数、表示求和、i表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献1中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如y xK的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义定义 1 1 形状为xny(n)a1xn1y(n1)an1xy any 0（1）的方程称为欧拉方程.（其中a1，a2，an1，an为常数）12.1 二阶齐次欧拉方程的求解（求形如y xK的解）二阶齐次欧拉方程：x2ya1xya2y 0.（2）(其中a1,a2为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y、y和y的系数都是幂函数（分别是x2、a1x和a2x0），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数y xK来尝试，看能否选取适当的常数K，使得y xK满足方程（2）.对y xK求一、二阶导数，并带入方程（2），得(K2 K)xK a1KxKa2xK 0或K2(a11)K a2xK 0,消去xK，有K2(a11)K a2 0.（3）定义定义 2 2 以K为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数K满足特征方程（3），则幂函数y xK就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理定理 1 1 方程（2）的通解为(i)y c1xK1c2xK1ln x,（K1 K2是方程（3）的相等的实根）(ii)y c1xK1c2xK2,(K1 K2是方程（3）的不等的实根)(iii)y c1xcos(ln x)c2xsin(ln x).（K1,2i是方程（3）的一对共轭复根）（其中c1、c2为任意常数）2证明（i）若特征方程（3）有两个相等的实根:K1 K2，则y1 xK是方程（2）的解,1且设y2 u(x)，y1 xK1u(x)（u(x)为待定函数）也是方程（2）的解（由于y2 u(x)，即y1，y2线性无关），将其带入方程（2），得y1xK1(K12 K1)u 2K1xu x2ua1xK1(K1u xu)a2xK1u 0,约去xK1，并以u、u、u为准合并同类项，得x2u(2K1 a1)xuK12(a11)K1a2u 0.由于K1是特征方程（3）的二重根，因此K12(a11)K1 a2 0或2K1(a11)0,于是，得x2uux 0或xuu 0,即(xu)0,故u(x)c1ln xc2.不妨取u(x)ln x，可得方程（2）的另一个特解y2 xK1ln x,所以，方程（2）的通解为3y c1xK1c2xK1ln x.（其中c1，c2为任意常数）（ii）若特征方程（3）有两个不等的实根:K1 K2，则y1 xK，y2 xK是方程（2）的解.12y2xK2又K1 x(K2K1)不是常数，即y1，y2是线性无关的.y1x所以，方程（2）的通解为y c1xKc2xK.12（其中c1，c2为任意常数）（iii）若特征方程（3）有一对共轭复根：K1,2i（0），则y1 x(i)，y2 x(i)是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有y1 x(i)xeilnx x(cos(ln x)isin(ln x)，y2 x(i)xeilnx x(cos(ln x)isin(ln x),显然，xcos(ln x)y1 y22和y1 y22i是方程（2）的两个线性无关的实函数解.xsin(ln x)所以，方程（2）的通解为y c1xcos(ln x)c2xsin(ln x).（其中c1，c2为任意常数）4例例 1 1 求方程x2y xy y 0的通解.解解 该欧拉方程的特征方程为K(K 1)K 1 0，即(K 1)2 0,其根为：K1 K21,所以原方程的通解为y (c1c2ln x)x.（其中c1，c2为任意常数）例例 2 2 求方程x2y xy8y 0的通解.解解 该欧拉方程的特征方程为K2(11)K 8 0，即K22K 8 0,其根为：K1 2，K2 4，所以原方程的通解为y c1c2x4.2x（其中c1，c2为任意常数）例例 3 3 求方程的通解x2y3xy5y 0.解解 该欧拉方程的特征方程为K(K 1)3K 5 0，即K22K 5 0,5其根为：K1,2 12i,所以原方程的通解为1y c1cos(2ln x)c2sin(2ln x).x（其中c1，c2为任意常数）2.2 二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）x2ya1xya2y f(x).二阶非齐次欧拉方程：（4）（其中a1，a2为已知实常数，f(x)为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设a11K1K2，a2 K1K2,（5）则方程（4）变为x2y(1K1K2)xyK1K2a2y f(x)，即x(xyK2y)K1(xyK2y)f(x),（6）根据韦达定理，由（5）式可知，K1，K2是一元二次代数方程K2(a11)K a20（3）的两个根.具体求解方法：定理定理 2 2 若K1，K2为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为y xK2xK1K21xK11f(x)dxdx.（7）证明证明 因为K1，K2为方程（2）的两个特征根，6于是方程（4）等价于方程（6），令xy K2y p,代入方程（6）并整理，得K1f(x)p xxK2py,xxp和y解之，得方程（4）的通解为y xK2xK1K21xK11f(x)dxdx.由定理 2 知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理定理 3 3 若K1，K2为方程（2）的两个特征根，则（i）当K1 K2是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为y xKlnxxK 1f(x)dxln xxK 1f(x)dx,111（ii）当K1 K2是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为y 1xK1xK11f(x)dx xK2xK21f(x)dx,K1 K2（iii）当K1,2i是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为y 1xsin(ln x)x1cos(ln x)f(x)dxcos(ln x)x1sin(ln x)f(x)dx证明证明（ii）当K1 K2是方程（2）的互不相等的的实特征根时，将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得7y xKxK K 1xK 1f(x)dxdx2121（8）1K11K2K1K2K1K2K11x xxf(x)dxxdxf(x)dxK1 K21xK2xK11f(x)dxdxK1K2K1 K21K 1K 1xK1x1f(x)dxxK2x2f(x)dxK1 K2（iii）当K1,2i是方程（2）的共轭复特征根时，K1 K2 2i，再由欧拉公式有xK xi xeilnx xcos(ln x)isin(ln x),1xK xi xeilnx xcos(ln x)isin(ln x),2将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为y 1xsin(ln x)x1cos(ln x)f(x)dxcos(ln x)x1sin(ln x)f(x)dx（i）的证明和（ii）类似.例例 1 1 求方程x2y3xy4y x2ln x x2的通解.解解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为K24K 4 0，特征根为K1 K2 2,所以由定理 3，原方程的通解为y x2ln xx3(x2ln x x2)dxln xx3(x2lnx x2)dx113211c1x2ln xc2x2 x2(lnx)3(lnx)262 x2ln x(ln x)2ln xc1(ln x)3(ln x)2c212（其中c1，c2为任意常数）8例例 2 2 求方程x2y2xy2y x3ex的通解.解解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为K23K 2 0，特征根为K1 2，K21，所以由定理 3，原方程的通解为y x2x3x3exdx xx2x3exdx x2(exc1)x(xexexc2)c1x2c2x xex（其中c1，c2为任意常数）例例 3 3 求方程x2yxy2y x的通解.cos(ln x)解解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为k22k 2 0，特征根为K1,21i,所以由定理 3，原方程的通解为xxdxcos(lnx)x2sin(lnx)dxcos(lnx)cos(lnx)11 sin(lnx)xsin(lnx)dxcos(lnx)dxxx cos(lnx)y xsin(lnx)x2cos(lnx)xsin(lnx)(lnxc1)cos(lnx)ln(cos(lnx)c2)xc1sin(lnx)c2cos(lnx)xsin(lnx)ln xcos(lnx)ln(cos(ln x)（其中c1，c2为任意常数）在定理 3 中，若令f(x)0，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.9推论推论 方程（2）的通解为(i)y c1xK1c2xK1ln x,（K1 K2是方程（2）的相等的实特征根）(ii)y c1xK1c2xK2,（K1 K2是方程（2）的不等的实特征根）(iii)y c1xcos(ln x)c2xsin(ln x).（K1,2i是方程（2）的共轭复特征根）（其中c1，c2为任意常数）2.3 三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：x3ya21x ya2xya3y f(x).（其中a1，a2，a3为常数）（9）对应的齐次方程为x3ya1x2ya2xya3y 0.特征方程为K3(a13)K2(2 a1a2)K a3 0.定理定理 4 4 设K1是方程（11）的根，K2是方程K2(3K2 a11)K 3K2(K21)2a1K1 a2 0的根，则（9）的通解为y xK1xK2x(2K23K1a11)x(K22K1a12)f(x)dxdxdx.证明证明 根据条件y cxK1（c为任意常数）是方程（10）的解.设y c(x)xK1是方程（9）的解（其中c(x)是待定的未知数），将其代入方程（9），整理得c(x)(3K1a1)x1c(x)3K1(K11)2a1K1a2x2c(x)K3(a2313)K(2a1a2)K1a3x c(x)x(K1113)f(x)10（9）（10）（11）（12）13）（因为K1是（11）的根，则K13(a13)K12(2a1a2)K1a30,于是（13）式化为c(x)(3K1 a1)x1c(x)3K1(K11)2a1K1 a2x2c(x)x(K13)f(x)（14）这是以c(x)为未知函数的二阶欧拉方程.设K2为（14）对应的齐次方程的特征方程K2(3K1 a11)K 3K1(K11)2a1K1a2 0,（15）的根，则c(x)xK2x(2K23K1a1)x(K2K12)f(x)dxdx.从而c(x)xK2x(2K23K1a1)x(K22K1a12)f(x)dxdxdx.故方程（1）的通解为y xKxKx(2K 3K a 1)x(K 2K a 2)f(x)dxdxdx.12211211定理定理 5 5 设K1是方程（11）的根，K2是方程（15）的根，则（i）当K1是方程（11）的单实根，K2是方程（15）的单实根，则（9）的通解为xK1K2(K1K22)1(3K1K2a1)(2K1K2a1)y xxf(x)dx xxf(x)dxdx(3K12K2a1)1（ii）当K1是方程（11）的单实根，K2是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为xy xK1sin(ln x)x(K12)cos(ln x)f(x)dxcos(ln x)x(K12)sin(ln x)f(x)dxdx（其中13K1a113K126K12a1K14a2(a11)2），2211(iii）当K1是方程（11）的单实根，K2是方程（15）的重实根，则（9）的通解为y xKxKlnxx(K K 2)f(x)dxln xx(K K 2)f(x)dxdx,121212（iv）当K1是方程（11）的三重实根，方程（15）变为K22K 10，有K2 1，则（9）的通解为y xK1x1lnxx(K11)f(x)dxlnxx(K11)f(x)dxdx.证明（i）因为K2是方程（15）的单实根，得（14）的通解为c(x)1xK2x(K1K22)f(x)dx x1(3K1K2a1)x(2K1K2a1)3f(x)dx(3K12K2a1)1则（9）的通解为xK1K2(K1K22)1(3K1K2a1)(2K1K2a1)3y xxf(x)dx xxf(x)dxdx(3K12K2a1)1（ii）因为K2是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根K21,2(1a13K1)i 3K126K12a1K14a2(a11)2,2得（14）的通解为c(x)xsin(ln x)x(K12)cos(ln x)f(x)dx cos(ln x)x(K12)sin(ln x)f(x)dx则（9）的通解为y xK1sin(ln x)xx(K12)cos(ln x)f(x)dxcos(ln x)x(K12)sin(ln x)f(x)dxdx（其中13K1a113K126K12a1K14a2(a11)2），22（iii）因为K2是方程（15）的重实根，得（9）的通解为y xKxKlnxx(K K 2)f(x)dxln xx(K K 2)f(x)dxdx.12121212（iv）当K1是方程（10）的三重实根（a1 33K1），方程（15）变为K22 2K21 0，有K2 1，将a1 33K1，K2 1代入（12）式得y xK1x1x1x(K11)f(x)dxdxdx,对上式分部积分得（9）的通解为y xKx1lnxx(K 1)f(x)dxln xx(K 1)f(x)dxdx.111例例 1 1 求三阶欧拉方程x3y3x2y6xy6y x的通解.解解 原方程对应的齐次方程为x3y3x2y6xy6y 0,其特征方程为K36K211K 6 0，解得其特征根为1，2，3，取K11，将K11，a1 3，a2 6，代入方程（15），得K22 K2 0,解得K21或0，利用定理 5（i）的通解公式有y xxx3dxx2dxdx 11xlnxc1x3c2x2c3x.22（其中c1，c2，c3为任意常数）13例例 2 2 求三阶欧拉方程x3y4x2y13xy13y x的通解.解解 原方程对应的齐次方程为x3y4x2y13xy13y 0,其特征方程为(K 1)(K26K 13)0，从而解得特征单实根为K11，将K11，a1 4，a213代入方程（15），得到K222K25 0，解得K21,212i.令K212i，则1，2，利用定理 5（ii）的通解公式有y x sin(2ln x)x3cos(2ln x)dxcos(2ln x)x3sin(2ln x)dxdx11xln xc2sin(2ln x)c1cos(2ln x)c3x816x2（其中c1，c2，c3为任意常数）2.4n阶齐次欧拉方程的求解（求形如y xK的解）令y xK是方程（1）的解，将其求导（需要求出y、y代入方程（1），并消去xK，得K(K 1)y(n1)、y(n)）(K n1)a1K(K 1)(K n 2)14 a(n1)K an 0.(16）定义定义 3 3 以K为未知数的一元n次方程（16）称为n阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.由此可见，如果选取k是特征方程（16）的根，那么幂函数y xk就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理定理 6 6 方程（1）的通解为y c1y1c2y2cn1yn1cnyn（其中c1，c2cn1，cn为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：方程（16）的根单实根：K一对单共轭复根：K1,2i方程（1）通解中的对应项给出一项：cxK给出两项：c1xcos(ln x)c2xsin(ln x)k重实根：K一对k重共轭复根：K1,2i给出k项：xKc1c2ln x给出2k项：cK(ln x)Kxc1c2lnxx d1d2lnxck(lnx)kcos(lnx)dk(lnx)sin(lnx)k例例 1 1 求方程x4y(4)8x3y(3)15x2y5xy 0的通解.解解 该欧拉方程的特征方程为K(K 1)(K 2)(K 3)8K(K 1)(K 2)15K(K 1)5K 0,整理，得K(K22K 2)0，其根为15K1 K2 0，K3,4 1i，所以原方程的通解为y c1c2ln xc3ccos(lnx)4sin(ln x).xx（其中c1，c2，c3，c4为任意常数）例例 2 2 求方程x4y(4)6x3y(3)7x2yxy y 0的通解.解解 该欧拉方程的特征方程为K(K 1)(K 2)(K 3)6K(K 1)(K 2)7K(K 1)K 10，整理，得K41 0，其根为K1,2 i，K3,4 i（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为y c1cos(ln x)c2sin(ln x)c3ln xcos(ln x)c4ln xsin(ln x).（其中c1，c2，c3，c4为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在x 0范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在x 0范围内对其求解，则文中的所有ln x都将变为ln(x)，所得的结果和x 0范围内的结果相似.164.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础.其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！175、参考文献1王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程M.第 3 版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.2华东师范大学数学系.数学分析（上）M.第 3 版.北京：高等教育出社,1999:87-199.3钟玉泉.复变函数论M.第 3 版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.4胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报J,2009,11(2):143-144.5胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学J,2005,21(2):116-119.6米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报J，2008,21(3):260-263.7胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报J,2004,18(1):4-748.8冀弘帅.认识伟大的数学家-欧拉.数学爱好者J,2006，10：52-53.9卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)J,2007,Z2:101-102.18