高三数学试题(理科).pdf

高三数学试题（理科）本试卷分、两卷,第卷 1 至 2 页,第卷 3 到 6 页,共 150 分,考试时间 120 分注意事项：考生必须将自己的姓名、学号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上，并在答卷前将班别、姓名、学号、等填写在试卷上.第一大题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.请用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔答卷.考试结束后，试卷必须全部上交.参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件 A、B 相互独立，那么 P（AB）=P（A）P（B）如果事件 A 在一次试验中的发生的概率是P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：Pn（k）=CnkPk（1-p）n-k球的表面积公式为：S=4R2，其中 R 表示球的半径.球的体积公式为：V=4R3，其中 R 表示球的半径.3第卷（选择题第卷（选择题共共 6060 分）分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的4 个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 U 为全集，若集合 A、B、C 满足 AB=AC，则可以推出()A B=CBAB=ACCA(CUB)=A(CUC)D(CUA)B=(CUA)C2函数 g(x)满足 g(x)g(x)1，且 g(x)1，g(x)不恒为常数，则函数f(x)=A.是奇函数不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数B.是偶函数不是奇函数D.既不是奇函数也不是偶函数g(x)+1g(x)-1()x22x3(x 1)3已知函数f(x)=，则f 1(3)=()x13x1(x 1)A10B121CD 2321(x为有理数)4设f(x)=，使所有 x 均满足 xf(x)g(x)的函数 g(x)是（）0(x为无理数)Ag(x)=sinxBg(x)=xCg(x)=x2Dg(x)=|x|5二项式(1x3x)n展开式中含有 x4项，则 n 的可能取值是（）xA5B6C3D7uuu vvuuu vvuuu vvvvv6 设OA=a，OB=b，OC=c，当c=a+b(,R)，且+=1 时，点 C 在（）A线段 AB 上B直线 AB 上C直线 AB 上，但除去点 AD 直线 AB 上，但除去点 B7从 17 个相异的元素中选出 2a1 个不同元素的选法记为 P，从 17 个相异的元素中选出2a 个不同元素的选法记为Q，从 18 个相异的元素中选出 12 个不同元素的选法记为S，若P+Q=S，则 a 的值为（）A 6B 6 或 8C3D3 或 68若一个平面与正方体的12 条棱所成的角均为，那么cos等于（）A6326BCD3326uuuu vuuu vuuu v uuuu vuuu vuuu v1OM1，0OPON1 的9设OM=（1，），ON=（0，1），则满足条件0OP2动点 P 的变动范围（图中阴影部分，含边界）是（）y2yy121121-2y1-1ooA1x1oxoCxx10已知函数f(x)=3sinxkBD图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在 x2+y2=k2上，则f(x)的最小正周期为（）A1B2C3D4112003 年 12 月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究终于发现了一种细菌在杀死“禽流感”病毒 N 的同时能够自我复制，已知 1 个细菌 M 可以杀死 1 个病毒 N，并生成 2 个细菌 M，那么 1 个细菌 M 和 2047 个“禽流感”病毒 N 最多可生成细菌 M的数值是（）A 1024B2047C2048D2049uuu v1uuu vuuu v12 已知抛物线的一条过焦点F 的弦 PQ，点 R 在直线 PQ 上，且满足OR=（OP+OQ），2R 在抛物线准线上的射影为S，设，是 PQS 中的两个锐角，则下面4 个式子中不一定正确的是（）Atantan=1Bsin+sin2Ccos+cos1D|tan()|tan2高三(112 班)数学试题（理科）班 别 _学 号 _姓 名 _得 分_第 II 卷(非选择题 共 90 分)二、填空题13把函数y v3cos x sin x的图象，按向量a m,n（m0）平移后所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为_14若关于 x 的不等式 2x|xa|至少有一个负数解，则 a 的取值范围为_.15利用函数f(t)=12+3sin22(t81)可用来估计某一天的白昼时间的长短，其中f(t)365表示白昼的小时数，t 是某天的序号，t=0 表示 1 月 1 日，依此类推 0t365，若二月份 28 天，则这一地区一年中白昼最长的大约是月日.16在平面几何里，有勾股定理“设ABC 的两边 AB、AC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 OABC 的三个侧面 OAB、OAC、OBC 两两相互垂直，则_.”三、解答题：本大题 6 个小题，共 74 分A BvA Bvv17（本小题满12 分）已知 A、B 是ABC 的两个内角，i sinj，a2cos22vv6v其中i、j为互相垂直的单位向量，若|a|.2()试问 tanAtanB 是否为定值?若为定值，请求出；否则请说明理由()求 tanC 的最大值，并判断此时三角形的形状18.(本小题 12 分)设数列an的前n项和为 Sn，已知 a1=1，Sn=nan2n(n1)，(nN*)()求证数列an为等差数列，并写出通项公式；()是否存在自然数n，使得S1若不存在，说明理由；SS2S3 n 400?若存在，求出 n 的值；23n19.（本小题满分 12 分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为 P（）如果甲、乙两人共比赛 4 局，甲恰好负 2 局的概率不大于其恰好胜3 局的概率，试求P的取值范围；（）如果 P=1，当采用 3 局 2 胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率.320.（本小题满分 12 分）在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱是底面边长的 2 倍，P 是侧棱 CC1上的一点.A1（）求证：不论 P 在侧棱 CC1上任何位置，总有 BDAP；（）若 CC1=3C1P，求平面 AB1P 与平面 ABCD 所成二面的余弦值.（）当 P 点在侧棱 CC1上何处时，AP 在平面 B1AC 上的射影是B1AC 的平分线.D1B1C1P21.（本小题满分 1分）DABC已知点 Q 位于直线x 3右侧，且到点F1,0与到直线x 3的距离之和等于 4.()求动点 Q 的轨迹 C；r uuu ruuu r1uuu ruuuu ruuuEPgAB 0，()直线l过点M1,0交曲线 C 于 A、B 两点，点 P 满足FP(FA FB)，2uuu r又OE=(x0,0)，其中 O 为坐标原点，求x0的取值范围；()在()的条件下，PEF能否成为以 EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l的方程；若不能，请说明理由.22（本小题满分 12 分）已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=()当 nN+时，求f(n)的表达式.()设 an=nf(n),nN+，求证 a1+a2+an1 时f(x)4x1x1当 x1 时f(x)=3x+14令 t=f1(3)f(t)=3f(173)即 t=172 时，365365OBHC16题最大，而 172=305+22=31+28+31+30+31+21，故为 6 月 22 日.16.2222SOAB+SOAC+SOBC=SABCA解答：如图 设 OA=a,OB=b,OC=c,H 为垂心ADBC 又OA、OB、OC 两两垂直1111SOAB=abSOBC=bcSOAC=acSABC=BCAD2222111222SOAB+SOAC+SOBC=(a2 b2+b2 c2+a2 c2)=a2(b2+c2)+b2 c2444代入得：SOAB+SOBC+SOAC=三、解答题17.解 答：()|a|2=222又在 RtBOC 中,ODBCOB2OC2=b2 c2=OD2BC2=OD2（b2+c2）112（b2+c2）AD2=BC2AD2=SABC44v3A B2AB23)(sin)(2cos即22222cos2A BAB3sin22221cos(A B)3cos(AB)cos(A B)1cos(A B)02221为定值.3tan A tan B31tan AtanB()tanC tan(A B)=(tan A)21tan Atan B23tan A3cosAcosB 3sin AsinBtan AtanB 312 323tanC|max=3当且仅当tan A tan B 3o即A B 30取得最大值，3此时ABC 为等腰钝角三角形.(只答等腰三角形不扣分)18.解答：()当n 2时，an Sn Sn1 nan(n 1)an1 4(n 1)，得an an1 4(n 2)，所以an为等差数列，且an 4n 3.()假设存在满足条件的自然数n，则Sn1(a1 an)n 2n2 n,2SnSSS 2n 1.所以S123 n135 7 (2n 1)n2，n23n由n2 400，得n 20.19.解答：设每一局比赛中甲获胜为事件A，则 P(A)P，0P1()在 n 局比赛中甲胜 k 局，相当于事件 A 独立重复试验 n 次发生 k 次22233223由 题 意，C4P(1 P)C4P(1 P)6P(1 P)4P(1 P)3p 0或 P 1为所求.5()设“比赛 2 局，甲全胜”为事件 A，“比赛 3 局，前 2 局中甲胜 1 局，第 3 局甲胜”为事件 B，则“采用 3 局 2 胜制比赛规则，甲获胜”为事件A+B,故 P(A+B)=P(A)+P(B)=C2()C2(1)2132113117为所求.332720.解答：（）由题意可知，不论P 点在棱 CC1上的任何位置，AP 在底面 ABCD 内射影为 AC.BDAC，BDCC1，BDAP.（）延长 B1P 和 BC，设 B1PBC=M，连结 AM，则 AM=平面 AB1P平面 ABCD.过 B 作 BQAM 于 Q，连结 B1Q，由于 BQ 是 B1Q 在底面 ABCD 内的射影，所以 B1QAM，故B1QB 就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2BC，从而 BM=3BC.所以AM AB2 BM2BC29BC2 10BC.在 RtABM 中，BQ ABBMBC 3BC3BC，在 RtB1BQ 中，AM10BC10tanB1QB B1B2BC2 102 101,tanB1QB.1 tan2B1QB 2BQ3BC33cos B1QB101cos2B1QB7cosB1QB 3为所求.7得1409（）设 CP=a，BC=m，则 BB1=2m，C1P=2ma，从而B1P2 m2(2m a)2,AB12 m2 4m2 5m2,AC 2m.在RtACP中,cosPAC AC.AP222在PAB1中，cosPAB1AP AB1 B1P，依题意，得PAC=PAB1，2AP AB1222AP AB B PAC11.AP2 AB12 B1P2 2AC AB1.AP2AP AB1即a2 2m2 5m2m2(2m a)2 2 2m5m.a 10 1m 10 1BB1.24故 P 距 C 的距离是侧棱的21.（本小题 14 分）10 1.4解：（）设Qx,y，则QF x3 4x 3，即：x 12 y2 x 3 4x 3，化简得：y2 4x3 x 02所以，动点 Q 的轨迹为抛物线y 4x位于直线x 3右侧的部分uuu r uuu ruuu ruuu r1uuu ruuuu r（）因为FP(FA FB)，所以，P 为 AB 中点；又因为EPgAB 0，且OE=(x0,0)，2所以，点 E 为线段 AB 垂直平分线与 x 轴焦点。由题可知：直线l与x轴不垂直，所以可设直线l的方程为y kx1，代入轨迹 C 的方程得到：k2x2 4 2k2x k2 03 x 0（）设fxk2x2 4 2k2x k2，要使得l与 C 有两个不同交点，需且只需 4 2k22 4k4 04 2k233 02解之得：k212k4f 3 0 f0 02k2 4由（）式得：xA xB，所以，AB 中点 P 的坐标为：k2xPxA xB2212，yP kxF1 所 以，直 线EP的 方 程 为2kk21 2 x 12kkky 令y 0得到点 E 的横坐标为xE 13）（3）不可能23112x因为，所以，（，k 1E43k2要使PEF成为以 EF 为底的等腰三角形，需且只需2xP xE xF，即：2212k212 11，解得：。k2k22另一方面，要使直线l满足（2）的条件，需要k 3,1，4所以，不可能使PEF成为以 EF 为底的等腰三角形。22.（）由 f(x+y)=f(x)f(y)得 f(n+1)=f(n)f(1)=数列f(n)是以 f(1)=1f(n),(nN+).2111n为首项，是以为公比的等比数列 f(n)=()222()an=nf(n)=n()令 S=a1+a2+an.12n1131n1121n+2()+3()+(n1)()+n()222221131n112141nS=()+2()+3()+(n1)()+n()2222221112131n11n11n 得：S+()+()+()+()n()2222222111()n2n(1)n1(1)n1n(1)n12122212S=