第四届数理化学科竞赛九年级数学试题解答.pdf

第四届数理化展示活动九年级数学试题及解答一、选择题一、选择题1亲爱的同学，欢迎参加全国中学生数理化学科能力展示活动，今天是星期日，请问 92012天后是（B）A星期一B星期二C星期三D星期四解：（一）91,92,93,94,95,96除以 7 的余数分别为 2、4、1；2、4、1.每三次一循环2012 除以 3 余 1，所以 92012除以 7 余 2.（二）92012=（7+2）2012=72012+.+22012只考虑最后一项即可。2根据国际货币基金组织数据，2010 年中国经济总量约占全球经济总量的9%。而据世界银行最新预测，2011年全球经济总量将增长3%，中国经济增长对全球经济增长的贡献度（即中国经济增长量占全球经济增长量的比例）将达到30%。据此推算，2011 年中国经济总量比 2010 年增加了（C）A8%B9%C10%D11%解：设2010 年全球经济总量为 W，2010 年中国经济总量为 9%W。2011年中国经济总量比2010年增长率为x,2011年中国经济增长量为9%Wx,2011年全球经济增长量为 3%W则：9%Wx=3%W30%，x=10%32011 年 9 月 1 日开始实施的 个人所得税法 规定：全月总收入不超过 3500元的免征个人工资、薪金所得税，超过3500 元的部分需征税。税率如下表级数 1 2 3.全月应纳税金额 x-3500 元不超过 1500 元的部分税率 3%超过 1500元至 4500元的部分 10%超过 4500元至 9000元的部分 20%.如某人工资薪金所得为 7000 元，则应交税（C）.A45B145C245D700解：3%+200010%=2454假设动物世界中狐狸只讲假话，绵羊只讲真话，4 只动物 A、B、C、D 中有狐狸，也有绵羊。A 说“和我不是同一种动物”说：“是绵羊”，说“是绵羊”，说：“我们位中，至少有只绵羊”据此可以推断只动物有（C）只狐狸。ABCD解：(1)不论 A 是绵羊（真话），还是狐狸（假话），那么 D 一定是狐狸。（2）从而说：“我们位中，至少有只绵羊”是假话，所以至多有一只绵羊。因为4 只动物 A、B、C、D 中有狐狸，也有绵羊，所以B、C 是狐狸，A 是绵羊。5如图，给定线段 AB、直线 l;在直线上取一点 C，使得ABC为等腰三角形，那么满足条件的点 C 最多有（D）个A2BB3C4D5与 L 有 1 个交点。AL解：分别以A、B 为圆心，以AB 为半径画弧，与L 有 4 个交点；作AB 的中垂线x(x y)6To define the operation:xy=y(x y)If|m1|m=|m1|,then the value rang of the m is（B）Am11Bm22Cm2Dm2解：因为|m1|m=|m1|；所以|m1|m,所以 m0;当 m1 时，m-1m恒成立；当 0m1 时，由 1-mm 得 m二、填空题7、已知为整数，且 x+y=2012，则满足此等式的不同整数对有（3）对解：2012=4503，2012=2 503，又 x、y 为整数，所以x=0，y=2012；x=2012，y=0；x=y=503.X=0,y=2012;x=2012,y=0;x=y=503.8、把一枚 6 个编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷3 次，得到的点19数分别为 a，b，c，则二次函数 y=ax2+bx+c的图像与 x 轴有 2 个不同交点的概率是10811故 m222解：要使 b2-4ac0，因为 ac1,4ac4，所以 b 4,b2,所以 3b6.先求对应不同的 ac 值，a、c 的可能性。ac=1,(a=c=1)-1ac=2,(a=1,c=2;a=2,c=1),-2ac=3(a=1,c=3;a=3,c=1),-2ac=4,(a=1,c=4;a=4,c=1;a=c=2)-3ac=5,(a=1,c=5;a=5,c=1)-2ac=6,(a=1,c=6;a=6,c=1;a=2,c=3;a=3,c=2)-4ac=7,(不存在),-0ac=8,(a=2,c=4;a=4,c=2)-2,。当 b=3，ac=1，2-共 3 种当 b=4，ac=1，2，3-共 5 种当 b=5，ac=1，2，3，4，5，6-共 14 种当 b=6，ac=1，2，3，4，5，6，7，8-共 16 种19共计 38 种可能，38（666）=10819则二次函数 y=ax2+bx+c的图像与 x 轴有 2 个不同交点的概率是。1089、观察下列等式：2 cos2=2cos-142 cos4=8cos-8cos+1642 cos6=32cos-48cos+18cos-18642 cos8=128cos-256cos+160cos-32cos+1108642 cos10=mcos-1280cos+1120cos+ncos+pcos-1可以推测，m-n+p=解：2,8,32,128,.通项公式为 22t-1,所以 m=29=5122,-8,18,-32,.通项公式为(-1)t+12t2,所以 p=50108642在 cos10=mcos-1280cos+1120cos+ncos+pcos-1 中令=0，则 cos10=cos=1，代人得：1=512-1280+1120+n+50-1，所以 n=-400所以 m-n+p=962.10、太阳光线与地面成60的角，照射在地面上得一只皮球上，皮球直径为30，皮球在地面上得投影为（20 3）11、为了缓解北京地铁八通线上进城方向的早高峰拥挤状况，市交通指示在京通快速上施画公交车道，提高公交的运行速度，改变这一区域部分人群的出行方式，使得选择私家车或地铁出行的部分人群选择公交.下表为统计数据.画线前，这一路段车流平均时速为 30 公里.假定画线后社会车辆总量不变，且车流速度与在每一车道单位时间通过的车辆数成反比例关系，那么画线后在这一路段社会车辆的平均时速为（22 公里/时）.车辆通行数量车道情况现状画线后3 条车道1 条公交车道2 条社会车道每 5 分钟经过社会车辆数5000500每 5 分钟经过公交车辆数50500解：每条车道每 5 分钟的通行容量：（55030）3=5500（辆.公里/时）画线后，在这一路段社会车辆的平均时速为（55002）500=2212、三颗行星围绕同一颗恒星同方向公转，它们的轨迹都在同一平面上，是以恒星为圆心的圆周，其公转周期分别为 60、84、140 年。现在这些恒星在同一直线上，它们下一次共线在 105 年后。解：三颗行星每年扫过的角度分别为：360/60、360/84、360/140，360360因为：180（-）=105;6084360360105 180(-)=；601402360360 180（-）=105.84140所以下一次共线在 105 年后.E三、解答题（每题 12 分，共 36 分）F A G H DBC13、如图，五边形 ABCDE 由正方形 ABCD 和等腰直角ADE 组成.F 是 ED 上一点，BF 平分五边形 ABCDE 的面积并与 AD 相交于 G.试求 GD：AD 的值。解：设正方形 ABCD 的边长为 1，GD=x,过 F 作垂直于于，设t,则 DH=FH=t,GH=x-t,AG=1-x,AE=ED=2.2x因为 ABFH，所以 FH:AB=GH:AG,得：t=2-x1111xABFE 的面积为：AGAB+SAEDSGDF=(1-x）+-x22422-x111xBCDF 的面积为：（GD+BC）1+SGDF=(1+x)+x2222-x2二式相等，解之得：x=，所以 GD：AD=2:9.914.高斯记号x表示不超过实数x的最大整数，求方程32x 1+3x 8=7x+的最小正数解。23解：原式可化为：2x+1+3x+8=7x+22x+3x+15=7x215=7x+7a2令x xa0 a 1，2x+3x+2a+3a+即：2a+3a+分段讨论：115（1）当 0a时，2a=3a=0,=2x+7a2315=2x+7a27333因为x为整数，07a，所以x=3,7a=,a=,x=3.2141431115（2）当a时，2a=0，3a=1,1+=2x+7a32277555因为x为整数，7a，所以x=3,7a=,a=,x=3.32141432115（3）当a时，2a=1，3a=1,2+=2x+7a223147711因为x为整数，7a，所以x=3,7a=,a=,x=3.22223215（4）当a1 时，2a=1，3a=2,3+=2x+7a3214131313因为x为整数，7a7，所以x=2,7a=,a=,x=2.32141413x=2是最小正数解。14附：高斯函数附：高斯函数知识概要知识概要1，定义：定义：设xR，用x表示不超过x的最大整数。则y x称为高斯函数，也叫取整函数。显然，y x的定义域是 R，值域是 Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即x xa0 a 1，因此，x x x1，这里，x为x的整数部分，而x xx为x的小数部分。2 2，性质，性质1，函数y x是一个分段表达的不减的无界函数，即当x1 x2时，有x1x2；2，n x nx，其中nZ；3，x1x x x1；4，若xy n，则x n a,y nb,其中0 a,b 1；5，对于一切实数x,y有xyx y；6，若x 0,y 0，则xyxy.15.如图，将单位正方形的每边分成n 等分，再连接每个顶点与其相对顶点附近的等分点，构造图1中阴影部分所示的小正方形，并使其面积为，且 A 为合数.求 n 的最小值。A D C1C D1 B1AB1n-1解：过 D1 作 DB 的垂线，垂足为 E，DD1=，D1A=，AB=1,nnD1B=(n-1)2+n2/n,由DD1ED1 BA 得D1E:AB=DD1:D1B,D1E=1/(n-1)2+n2,所以 A=1/D1E2=（n-1）2+n2=2n2 2n+1当 n=4 时,A=25，为合数。n 的最小值为 4.济宁市任城区济东中学数学组供稿