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物理 三重积分1第1页，本讲稿共25页类似二重积分解决问题的思想类似二重积分解决问题的思想,采用采用引例引例:设在空间有限闭区域设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的内分布着某种不均匀的物质物质,求分布在求分布在 内的内的物质的物质的质量质量 MM.可得可得“分割、求和、取极限分割、求和、取极限”解决方法解决方法:密度函数为密度函数为第2页，本讲稿共25页一、三重积分的定义一、三重积分的定义第3页，本讲稿共25页第4页，本讲稿共25页1)坐标面投影法（先一后二法）坐标面投影法（先一后二法）二、三重积分的计算二、三重积分的计算（只限于叙述方法）（只限于叙述方法）如图，如图，1、利用直角坐标系计算、利用直角坐标系计算直角坐标直角坐标柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标第5页，本讲稿共25页得得第6页，本讲稿共25页注意：含含z方程上下面，无方程上下面，无z消消z围围D线。线。寻找变量上下限的口诀：寻找变量上下限的口诀：第7页，本讲稿共25页其中其中 为三个坐标为三个坐标例1.计算三重积分所围成的闭区域所围成的闭区域.解解:面及平面面及平面第8页，本讲稿共25页解：解：第9页，本讲稿共25页第10页，本讲稿共25页解解第11页，本讲稿共25页 将将用三次积分表示用三次积分表示,其中其中 由由所所提示提示:练习六个平面六个平面围成围成,第12页，本讲稿共25页2)坐标轴投影法（先二后一）（平面截割法）第13页，本讲稿共25页注：用先二后一法计算三重积分的机会不多。一般只在 1、截面D较规范时使用，例如截面D是圆或椭圆时 2、当被积函数不含 x,y 只含 z 时。第14页，本讲稿共25页解法解法1：坐标轴投影法：坐标轴投影法第15页，本讲稿共25页解法解法2：坐标面投影法（向：坐标面投影法（向yoz面投影）面投影）解法解法3：坐标面投影法：坐标面投影法 向向xoy面（相对麻烦）面（相对麻烦）第16页，本讲稿共25页解：解：第17页，本讲稿共25页原式原式第18页，本讲稿共25页19提示提示已知椭球V:内点(x,y,z)处质量的体密度为:求椭球的质量.第19页，本讲稿共25页20解因为因为而而其中其中先二后一法先二后一法(截面法截面法)第20页，本讲稿共25页21由对等性知由对等性知因此因此所以第21页，本讲稿共25页例6.计算三重积分其中 是曲线第22页，本讲稿共25页解解如图如图,第23页，本讲稿共25页第24页，本讲稿共25页三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）小结小结定限口诀：含定限口诀：含z方程上下面，无方程上下面，无z消消z围围D线。线。含含x方程前后面，无方程前后面，无x消消x围围D线。线。含含y方程右左面，无方程右左面，无y消消y围围D线。线。第25页，本讲稿共25页