专题10 已知函数的零点个数,求参数的取值范围-2018版高人一筹之高一数学特色专题训练(解析版)144411.pdf

欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 专题 10 已知函数的零点个数，求参数的取值范围 一、选择题 1【河南省安阳三十五中 2018 届高三开学考】已知函数是定义在 上的偶函数，且满足，当时，若在区间上，方程恰有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，等价为有四个不相等的实数根，即函数和，有四个不相同的交点，函数的周期是 2，当时，此时，是定义在 上的偶函数，即，作出函数和的图象，当经过时，两个图象有 3个交点，此时，解得，当经过时，两个图象有 5个交点，此时，解得，要使在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则，故选 C.学！科网 2【江西省六校 2018 届高三联考】设函数，若对于在定义域内存在实数 满足，则称函数为“局部奇函数”若函数是定义在 上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（）A.1，1+）B.1，2 C.2，2 D.2，1【答案】B【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，函数 f（x）=f（x）有解即可，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2 即 f（x）=4xm2x+m23=（4xm2x+m23），4x+4xm（2x+2x）+2m26=0，即（2x+2x）2m（2x+2x）+2m28=0 有解即可 设 t=2x+2x，则 t=2x+2x2，方程等价为 t2mt+2m28=0 在 t2 时有解，设 g（t）=t2mt+2m28，对称轴 x=，若 m4，则=m24（2m28）0，即 7m232，此时 m 不存在；若 m4，要使 t2mt+2m28=0 在 t2 时有解，则，解得1m2，综上：1m2，故选 B 3【2017 届山东省济宁市高三模考】定义在1,上的函数 f x，满足 1fxfx，且当1,1x时，lnf xx，若函数 g xf xax在1,上有零点，则实数a的取值范围是（）A.ln,0 B.ln,0 C.1 ln,e D.1,2e【答案】B【解析】设1,x，则11,1x，因为 1fxfx且当1,1x时，lnf xx，所以 1lnfxfxx，则 1ln,1ln,1,x xx xf x，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！3 【点睛】本题考查了方程的根的存在性以及根的个数的判断，数形结合思想，分段函数，属于中档题，解决本题的重点是根据函数的性质 1fxfx求出函数的解析式，再利用数形结合的思想即可得出a的范围，解答此题的关键是利用数形结合，使复杂的问题简单化.4【山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年期末】函数 f x是定义在 R 上的偶函数，且满足 20,1f xf xx，当时，2f xx，若方程 0(0)axaf xa恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A.1,12 B.0,2 C.1,2 D.1,【答案】A【解析】试题分析：由 2f xf x可得函数 f x的周期为 2，当 0,1x时，2f xx，又 f x为偶函数，则当1,0 x 时，2f xx，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！4 由 0(0)axaf xa得 f xaxa，作出 yf x和yaxa即1ya x的图象，可知直线1ya x斜率为a且过定点1,0.要使方程 0(0)axaf xa恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线1ya x的斜率必须满足ACABkak，由题意可得1,0,1,2,3,2ABC，则12ACk，1ABk即有112a故选 A 考点：1 函数方程的根;2 数形结合.5【山东省聊城市 2016-2017 学年高二期末】已知定义在R上的函数 f x，周期为 4，当0,4x时，22,02,24,24.xxxf xxx当4,xb 时，函数 1yf x有 5 个零点，则实数b的取值范围为（）A.135,2 B.135,2 C.135,2 D.135,2【答案】A【解析】根据题意，当0,4x时，22,02,24,24.xxxf xxx，若 10f x ，即 1f x，则有221 02xxx或241 24xx，解得1x 或52x，即0,4x上，函数 1yf x有两个零点，即1x 或52x，又函数 f x的周期为4，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！5 在4,0上，函数 1yf x也有两个零点，即3x 或32x ，在4,8上，函数 1yf x也有两个零点，即5x 或132x，当4,b时，函数 1yf x也有5 个零点，必有1352b，故选 A.点睛：本题考查了方程的根的存在性及根的个数的判定、函数的零点问题，解答中涉及到分段函数的性质及其应用、函数的零点的判定及函数的周期性，其中正确根据分段函数的解析式，得到一个周期中函数零点的个数是解答的关键.6【山东省菏泽市 2016-2017 学年高二期末】已知函数 22,0 32,0 xxfxxxx，函数 g xf xa恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A.1,4 B.1,24 C.2,D.0,2【答案】B【解析】函数 g(x)=f(x)a 恰有三个不同的零点，即 y=f(x)和 y=a 恰有三个不同的交点，画出函数 f(x)的图象，如图所示：，x0 时,f(x)的最小值是14，结合图象,14a2，故选：B.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！6(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 7【福建省南平市 2016-2017 学年高二联考】已知函数 21log3xf xx，设0abc，且满足 0f a f b f c，若实数0 x是方程 0f x 的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（）A.0 xa B.0 xc C.0 xc D.0 xb【答案】B 点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.8【西藏自治区拉萨中学 2017 届高三月考】已知函数 12,0 21,0 xexf xxxx，若关于x的方程 230fxf xaaR有 8 个不等的实数根，则a的取值范围是 A.10,4 B.1,33 C.1,2 D.（2,94）【答案】D【解析】函数 12,0 21,0 xexf xxxx，的图象如图：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！7 关于x的方程 230fxf xaaR有 8 个不等的实数根，f x必须有两个不相等的实数根，由函数 f x图象可知12f x（）（，），令tf x（），方程 230fxf xa化为：2312attt，（，），23att，开口向下，对称轴为：32t，可知：a的最大值为：23393224（），a的最小值为 2，924a（，故选 D.9【北京市昌平区 2017 年高三】已知函数 22,0,0 xxf xxx，若函数 1g xf xk x恰有两个零点，则实数k的取值范围是 A.,14,B.,14,C.1,04,D.1,04,【答案】C【解析】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！8 1g xf xk x恰有两个零点，等价于 yf x与1yk x有两个交点，同一坐标系，画出 yf x与1yk x的图象，直线过0,1时，1k，直线与20yxx，相切时4k，由图知，1,04,k 时，两图象有两交点，即 k的取值范围是 1,04,，故选 C.【方法点睛】根据 yf x 零点个数求参数 的常用方法：直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数 yf x 零点个数就是方程 0f x 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；数形结合法：一是转化为两个函数 ,yg xyh x的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为,ya yg x的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法.10【天津市河东区 2017 届高三二模】已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是()A.-1,1)B.-1,2)C.-2,2)D.0,2【答案】B【方法点睛】判断函数 yf x零点个数的常用方法：(1)直接法：令 0,f x 则方程实根的个数就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间,a b上是连续不断的曲线，且 0,f a f b 再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！9 11【山东莱芜市第一中学 2017 年高三】已知函数 21f xx，g xkx，若 f xg x有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A.10,2 B.1,12 C.1,2 D.2,【答案】B【解析】试题分析：由题意可得函数 f（x）的图象（蓝线）和函数 g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：KOA=12，数形结合可得-1k12 考点：根的存在性及根的个数判断 12【河北省馆陶县第一中学 2016-2017 学年高二期末】已知函数 ，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】函数 ,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c)，如图，不妨 abc，由已知条件可知：0a1bece2，lna=lnb，ab=1 lnb=21ncbc=e2，,(1b0,此时方程为 m2m+t=0 即方程有两个不等的实根，且两根都大于 0；，解得：0t，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 1 满足条件 t 的范围是(0,)，故选：A.点睛：由题意得，函数是增函数，构造出方程组，将问题转化为方程在定义域上有两个不等实根，利用方程组的解都大于 0，求出 t 的取值范围 二、填空题 14【湖北省部分重点中学 2018 届高三起点考】若函数有四个零点,则实数 的取值范围是_【答案】【解析】因，故令，则，故问题转化为求函数有四个实数根时实数 的取值范围。当时，只有两个实数根，不合题设；当时，解之可得，当时，方程只有两个实数根，不合题设，故且；又由可得，求导可得或舍去，当时，恰好有四个实数根，应填答案。点评：解答本题的关键是运用换元转化的数学思想，先将令，则，故问题转化为求函数有四个实数根时实数 的取值范围。进而借助函数的图像与导数的有关知识进行分析求解，从而探求出实数 的取值范围，使得问题巧妙获解。15【河南省南阳市一中 2018 届高三第一次考】已知函数 21,0 1,0 xxg xxx，若函数 2yg g xm有 3 个不同的零点，则实数m的取值范围是_.【答案】1,12【解析】当 x0,此时 g(g(x)=(x+1)21=x22x 当 0 x1 时,g(x)=x210,此时 g(g(x)=(x21)+1=x2+2 当 x1时,g(x)=x210,此时 g(g(x)=(x21)21=x42x2，函数 y=g(g(x)的图象如下：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 2 结合图象可得若函数 y=g(g(x)2m 有 3 个不同的零点,则实数 m 的取值范围是1,12 故答案为：1,12 16【河北省正定中学 2016-2017 学年高二月考】设函数，若恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是_【答案】考点：分段函数图象与性质【思路点晴】本题主要是讨论分段函数零点的问题当时，这是一个单调递增的函数，所以至多有一个零点，所以对于时，至少要有一个零点，也即两个零点至少有一个是在上对参数 分成三类进行分类讨论，求得 的取值范围转化为指数式就是，要熟悉指数式和对数式互化 17【江苏省如皋市 2016-2017 学年高二期末】已知函数 ln4f xxx的零点在区间,1k k 内，则正整数k的值为_.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 3 【答案】2【解析】由函数的解析式可得函数在(0,+)上是增函数，且 f(2)=ln2+240，故有 f(2)f(3)0，根据函数零点的判定定理可得函数在区间(2,3)上存在零点。结合所给的条件可得，故 k=2.18【江苏省连云港市 2016-2017 学年高二期末】若关于x的二次方程221200mxmxmm的两个互异的实根都小于 1，则实数m的取值范围是_.【答案】37,4【解析】关于x的二次方程221200mxmxmm的两个互异的实根都小于 1，则 2021420 1 21212120mmmmmmfmmm ，即0373744 1412mmmmm 或求得374m，即m的取值范围是374，故答案为374.【方法点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，属于难题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上,m n的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、,f mf n的符号）的方法解答.19【云港市 2016-2017 学年高二期末】已知函数 121,0 1lg,0 xxf xxx，若 g xf xa有两个零点，则实数a的取值范围为_.【答案】2 21【解析】作出 f x的函数图象如图所示：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 4 画出函数 121,0 1lg,0 xxf xxx的图象，由图象可知当10a 时，g xf xa有1零点，当01a时，g xf xa有3个零点，当1a 或0a 时，g xf xa有2个零点，故答案为 1,0.【方法点睛】判断方程 yf x 零点个数 的常用方法：直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数 yf x 零点个数就是方程 0f x 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；数形结合法：一是转化为两个函数 ,yg xyh x的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为,ya yg x的交点个数的图象的交点个数问题.本题（2）就利用了方法.20【2016-2017 年上海市闵行区高三 4 月调研】若函数 21xf xxa在区间 0,1上有零点，则实数a的取值范围是 .【答案】1,12【解析】因为函数 f x在区间 0,1上有零点,则 01ff=1 210aa,解得112a.即实数a的取值范围是1,12.故答案为1,12.21【湖南师范大学附属中学 2016-2017 学年高一期中】已知函数 f(x)，若 f(x)恰有 2个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_【答案】2，)【解析】设 g(x)4(xa)(x2a)(x1)，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 5 h(x)2xa(x1)，且 h(x)至多有一个零点 若 g(x)有两个零点，h(x)没有零点，则，得 a2.若 g(x)和 h(x)各有 1 个零点，则 得 a1.综上，a2，)22【福建省 2016 届高三毕业班总复习】关于x方程220 xxm有四个不相等的实数根，则m的取值范围是_【答案】0,1【解析】构造函数22,.yxx ym结合图象可得m的取值范围是0,1.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 23【牡丹江市第一高级中学 2016-2017 学年高二期末】函数 22xf xax的一个零点在区间1,2内，则实数a的取值范围是 .【答案】0,3【解析】试题分析：由于函数 22xf xax在1,2上单调递增，且函数 22xf xax的一个零点在区间1,2内，则有 10fa 且 230fa，解得03a.考点：1.函数的单调性；2.零点存在定理 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 6 24【黄山市屯溪第一中学 2016-2017 学年高二】设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数 yf(x)g(x)在 xa，b上有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若 f(x)x23x4 与 g(x)2xm 在0,3上是“关联函数”，则 m 的取值范围为_【答案】考点：数学阅读能力与函数的零点及数形结合思想.25已知函数 f(x)|x22x2 015|，若关于 x 的方程 f(x)m(mR)恰有四个互不相等的实根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4_【答案】4 【解析】不妨设 x1x2x3x4，则 x1x42，x2x32.x1x2x3x44 三、解答题 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 7 26【2017 年江西省“北阳四校”高三开学摸底】设函数（）.（）当时，求不等式的解集；（）若方程只有一个实数根，求实数 的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：利用零点分区间讨论法解绝对值不等式，转化为，只有一个根，转化为函数 与的图象只有一个交点，画出 的图象解决.试题解析：（）依题意：原不等式等价于：，当时，即：，此时解集为；当时，即：，此时；当时，即：，此时.综上所述：所求的解集为：.（）依题意：方程等价于，令.（图象如图）.要令原方程只有一个实数根，只需或.实数 的取值范围是.【点睛】本题为不等式选讲，属于选修内容，解绝对值不等式是常见考试题，只需分段讨论去解；利用转化思想解决零点问题也是常考问题，画出函数图像，把零点问题转化为图象与 轴的交点问题去解决.27【巴中市 2016-2017 学年高一期末】已知函数（）.（1）若函数有零点，求实数 的取值范围；（2）若对任意的，都有，求实数 的取值范围.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 8 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）令 f(x)=0，变形为，有两种解题思种，一是换元令，则，变形为关于 的方程有正根，分,讨论。二是分离参数,只需求右边的值域即可。（2）变形为，恒成立。当，即，。试题解析：（1）由函数有零点得：关于 的方程（）有解 令，则 于是有，关于 的方程有正根 设，则函数的图象恒过点且对称轴为 当时，的图象开口向下，故恰有一正数解 当时，不合题意 当时，的图象开口向上，故有正数解的条件是 解得：综上可知，实数 的取值范围为.（2）由“当时，都有”得：，故变形为：当时，不等式简化为，此时实数 当时，有 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 9 ，当时，当且仅当时取等号 综上可知，实数 的取值范围.【点睛】对于有角和恒成立问题，如果参数能很好的分离，我们首选参数分离法。28【2017 浙江省金华十校联考】已知函数().()当时，解不等式；()证明：方程最少有 1 个解，最多有 2 个解，并求该方程有 2 个解时实数 的取值范围.【答案】().()答案见解析.【解析】试题分析：()由题意分段求解不等式可得不等式的解集为.()分类讨论a=0 和两种情况即可证明方程最少有 1 个解，最多有 2 个解，计算可得该方程有 2个解时实数 的取值范围是 试题解析：（），当时，由，解得，当时，由，解得，综上所得，不等式的解集是.（）证明：（1）当时，注意到：，记的两根为，在上有且只有 1个解；（2）当时，1）当时方程无解，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2 0 2）当时，得，若，则，此时在上没有解；若，则，此时在上有 1个解；（3）当时，在上没有解.综上可得，当时只有 1个解；当时有 2个解.点睛：当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围 29【江苏省南通市海安高级中学 2016-2017 学年期末】设a为实数，函数 2,f xx xaa xR.（1）求证：f x不是R上的奇函数；（2）若 f x是R上的单调函数，求实数a的值；（3）若函数 f x在区间2,2上恰有 3 个不同的零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）0,42 3.【解析】试题分析：（1）由 00 110fff无解，即可得结论；（2）分三种情况讨论，结合二次函数的图像及单调性，排除不合题意的a值即可.（3）三种情况分别结合函数单调性判断出函数零点个数，即可得出结果.试题解析：（1）假设 f x是R上的奇函数，则对任意的xR，都有 fxf x （*）取0 x，得 00f，即20aa，解得0a，此时 2f xx x，所以 13,11ff，从而 11ff，这与（*）矛盾，所以假设不成立，所以 f x不是R上的奇函数；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2 1 当2a 时，对称轴22axa，所以 f x在,2上单调递减，在2，上单调递减，所以 f x是R上的单调减函数 综上，2a （3）当2a 时，由（2）知，f x是R上的单调减函数，至多 1 个零点，不符；当2a 时，由（2）知，222axa，所以 f x在2,2上单调递减，所以 f x在2,2上至多 1 个零点，不符；当2a 时，由（2）知，222axa，所以 f x在,a上单调递减，在2,2aa上单调递增，在2,22a 上单调递减 因为 f x在区间2,2上恰有 3 个零点，所以 212222380,0,024aaafaf aaf，20fa ，解得042 3a或42 3a，又2a，故042 3a，综上，实数a的取值范围是0,42 3 30【2017 河南省商丘市九校联考】已知函数 243,f xxxaaR(1)若函数 yf x的图象与 x 轴无交点，求 a 的取值范围；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2 2 (2)若函数 yf x在-1,1上存在零点，求 a 的取值范围；(3)设函数 52,g xbxb bR，当0a 时，若对任意的 11,4x，总存在 21,4x，使得，求b 的取值范围.【答案】（1）1.a（2）80a（3）6b或3b【解析】试题分析：（1）若函数 yf x的图象与x轴无交点，令0即可；（2）因为 f x在1,1上单调递减，1010ff，解不等式组求得a的范围（2）画出两个函数的图象，根据题意知两函数图象在区间 1,4上有交点，根据数形结合的思想求得b的范围 试题解析：（1）f x的图象与x轴无交点，(2)f x的对称轴为 x=2，f x在1,1上单调递减，欲使 f x在1,1上存在零点，应有 1010ff，即08080aaa.（3）若对任意的 11,4x，总存在 21,4x，使，只需函数 yf x的值域为函数 yg x值域的子集即可.函数 yf x在区间 1,4上的值域是1,3，当0b时，g x在 1,4上的值域为525b b，只需51,6253bbb；当0b 时，5g x 不合题意，当0b时，g x在 1,4上的值域为25,5bb，只需251,353bbb ，综上知b的取值范围是6b或3b 考点：函数的零点，函数图像的应用