常微分方程.doc

|常微分方程第一二章考测验试卷(8)班级： 学号： 姓名： 得分：一填空题（10 分）1 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。2当 时，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程。3.方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含 x的积分因子的充要条件是 ，有只含 y的积分因子的充要条件是 。4 称为伯努利方程，它有积分因子 。5 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经换 ，可化为伯努利方程。二.求一曲线，是其切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。 （10 分）三.出伯努利方程的积分因子。 （15 分）四求下列方程的通解。 （45 分）1 3()0yx2. = d123x(4ydx+2xdy)+y (3ydx+5xdy)=034 （y-1-xy）dx+xdy=05 =y+sinxdxy6(x y +xy)y =123'7(x -1)y +y -2xy+1=0'28. dx+ dy=03yx4x五证明题。 （20 分）（1） 一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解（2） 齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。参考答案|一 填空题。1 =P（x）y+Q(x) e e ( )dydxP)(dxP) cdxeQP)(2 yNM),(),(3 Xyx)(MXNy)(4 enxQPd)(dxPn)(15 y(x)= +z(2Ryxy y二解：设曲线的切点为（x,y） ，设切线的方程为 Y-y=y (X-x)， '与坐标轴的交点为（0,y-xy ） ， （x- ）' 'y由题意得：y-xy =x, 即 = -1 'dx令 =u 得 y=ux 则 =u-1 u=-ln +c 即 =-ln +cxyuxyx方程的通解为 y=cx-xln三解：伯努利方程为： =P (x)y+Q(x)ydxyn两边同乘以 y 得：y = p(x)y +Q(x)nn1则 p(x)y +Q(x)dx- y dy=01= =(n-1)P(x)NxyMnP)(则积分因子为 =e)()(1xP则 y dy= p(x)y +Q(x)dx)(xnn令 (x) =y = y e ' )()(1xP则 (x)即为伯努利方程的积分因子。'四 1解：令 y =tx 则方程化为 t x -x (1-tx)=0 ' 3t -1+tx=0 x= -t y =t( -t )=1- t 3t2'12|dy=(1- t )d( -t )312dy=(1- t )(- -2t) dt=(2t -t- )dt 2421ty= t - t + +c5则方程的通解为 cttytx12522 解：方程可化为xdy+ ydx+ y dy+3dy-xdx-dx=0 2两边积分即得方程的通解为 xy+ +3y- -x=c 3y2x3解：用 x y 乘以方程两边得 24x y dx+2x yd y +3x y dx+5x y dy=042534y d x + x dy + y dx +x dy =03d(x y +x y )=0 4235两边积分即得方程的通解为 x y +x y =c42354解：因为 = =-1NM1则 =e =e )(xdx分别乘方程两边得：e (y-1-xy)dx+e xdy=0xx=e x u=xe y+yux)(=e y-xye + (x)= e (y-1-xy) (x)= -e (x)=e xx'x'xx得 u= e +xye 即方程的通解为 e +xye =c5 解：因为方程为线性方程，所以y=e ( )dxcdx)sin=e ( )e=e (c- )xx2osi方程的通解为 y=ce -x2cosinx6解：y = 即 =' yx321dy31|= 两边同乘以 xdyxy3212x =x y+y 令 x =z 则-x =21312dyz=-zy-y z=e ( +c)dyz3ydey3z=ce +y -221则 = ce +y -2,y=0 为方程的通解。x2y7解： (x)=x 为方程的特解，令 y(x)= (x)+z 为方程的解 ,y则 (x -1)(1+ )+(x+z) -2x(x+z)+1=02dxz2方程可化为 （x -1） =-z2变量分离得： = dx2z1积分得： = ln +c1x= ln +cxy28.解：两边同乘以 31y=062432dxdx+y dy=06323y2d( )+d( )=032x31即方程的通解为： + =c 32yx1|五证明：（1）设一阶非齐线性方程为 =P（x）y+Q(x)） （*）dy齐线性方程为 =P（x）y （*）d设 y ,y 为（*）的任意两个解12则 =P（x）y +Q(x) =P(x)y+Q(x)d11dxy2= =P(x)(y -y )(212112y -y 为方程（*）的解，命题成立。12（2） 设 y ,y 为（*）的任意两个解，c 为任意常数=cP(x)y =P(x)(cy )dx11)(11=cP(x)y =P(x)(cy )yc22)(22则其方程的常数倍仍为方程（*）的解=P(x)(cy )+P(x)(cy )dxycdxy2121)(12=P(x)(cy +cy )12则 cy +cy 为方程的解。 命题成立。12常微分方程第一、二章测验试卷(14)|一 填空题：1当 时，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 称为恰当方程，或者全微分方程。2 . 称为一阶线性方程，它有积分因子 , 其通解 。3 . 称为奇次方程。4 . 称为伯努利方程，它有积分因子 。 二求下列方程的解:1. 21dxy2. tg3. xy2e3d4. ydx+(y-x)dy=05. x y(y -x ) 2xyd26. 求微分方程 的通解；7. 2)(dxy8 0ey9. 求微分方程 满足 的特解|10 1)ln(yx11. 0d212. )1(2yxy13. 2)(d14 求微分方程 满足初始条件 的特解答案一、填空题：1. xyNyxM),(),(2. y=e ( +c)(Qpdxdxpe)(dxp)Q)dxpe)(3. yg4. (n ) nxpdx)(1.0dxpeyn)(1二求下列方程的解:1. 解:当 时，分离变量得 0y xyd12等式两端积分得 Cln)l(ln2即通解为 21xCy2. 解:令 tgudux,tgd| cxInIsiyui,3. 解:齐次方程的通解为 xC3e令非齐次方程的特解为 xy)(代入原方程，确定出 xx5e1原方程的通解为 + xCy3x24. 解： 1yxd令 1,udyucyIn0x5. 解: 令 )1(2, 3uyxduxuyd32)1(dxu32)(cIn414得 xyIx22426. 解：令 pe2,'则 pdeedyxdyp)()(',' 22|dpep)2(两边积分 或者pycex20y7. 解: 令 ，则 ，uyxud代入原方程，得，2duxu当 时，分离变量，再积分，得0Cxud2，ln1ln1即： Cxyl8. 解: 令 ，则原方程的参数形式为ttyxte由基本关系式ttxyd)e1(d积分 Ctt2得原方程参数形式通解Cttyxt)1(e29. 解: 方程为齐次一阶线性微分方程，可分离变量|上式两端积分得即其中 为任意常数，将 代入上式，得 ，满足初始条件的特解为10. 解: 令 ，则原方程的参数形式为pyypxln1由基本关系式 ，有yxdppy)d1(2)1(积分得 Cpyln11. 解: 方程化为x21d令 ，则 ，代入上式，得xuyuy