注册土木工程师(岩土)基础考试各科常用公式.doc

公式一、 高等数学导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：axactgxxctgln1)(logs)(es)(2 221)(1)(arcosinxarctgxxCaxaxdshcxadCxctgxctgddx)ln(lnsseesineco2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsinl21n1slsenilcs22Caxxadxa axaxdaxIndInnn rcsin22l)(221cossi2 22 22020222 11cos1sin udxtguxux ， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg- -sin cos -tg -ctg90°- cos sin ctg tg90°+ cos -sin -ctg -tg180°- sin -cos -tg -ctg180°+ -sin -cos tg ctg270°- -cos -sin ctg tg270°+ -cos sin -ctg -tg360°- -sin cos -tg -ctg360°+ sin cos tg ctg·和差角公式： ·和差化积公式： 2sini2cosco2sin2sincoictgtctg1)(1sincos)cos(ini xarthcxsechstxeshxxx1ln2)(l:2:2）双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .59047182.)1(limsin0exx·倍角公式：·半角公式： cos1insico12cos1insico12 cssin tgtg ·正弦定理： ·余弦定理： RCBbAa2iiin Cab22·反三角函数性质： rctgxarctgxxxarcsrcs 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()! nknnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(F)()( )曲率： .1;0.)1(limMsM:.,13202aKayds Mstgyxd 的 圆 ：半 径 为直 线 ：点 的 曲 率 ： 弧 长 。：化 量 ；点 ， 切 线 斜 率 的 倾 角 变点 到从平 均 曲 率 ： 其 中弧 微 分 公 式 ： 定积分的近似计算：23313cos4cosiniintgt22 2221sicosin1cossinitgtt ba nnnba n yyyyxfnyyxf )(4)(2)(3)( 21)()( 131240110 抛 物 线 法 ：梯 形 法 ：矩 形 法 ：定积分应用相关公式： babadtfxfykrmFApsW)(1),221均 方 根 ：函 数 的 平 均 值 ： 为 引 力 系 数引 力 ：水 压 力 ：功 ：多元函数微分法及应用zyzx yxxyyxFzyxF dFddyvxvyudxvzuzfz tvttdtu xffzdzuduyxz ， ， 隐 函 数 ， ， 隐 函 数隐 函 数 的 求 导 公 式 ： 时 ，当 ：多 元 复 合 函 数 的 求 导 法全 微 分 的 近 似 计 算 ： 全 微 分 ： 0),( )()(,),(),()(, ),(),(2),(1),(1),(),( ,),yuGFJyvvyGFJyuxxxx GvuvJuyvvu 隐 函 数 方 程 组 ：多元函数的极值及其求法： 不 确 定时 值时 ， 无 极为 极 小 值为 极 大 值时 ，则 ： ， 令 ：设 ,0),( ),(,),(,),(0),(),(202 0000BACyxA CyxfByxfAffyxf xy重积分及其应用： DzDyDx zyxyx DyDxDD adfaFayxdfFayxdfF FMzo II dxdyxzAyxfzrdrfdf 232232232 2222 )(,)(,)(, 0( ),(,),(,),(1),()sin,co(, ， ， ， 其 中 ：的 引 力 ：轴 上 质 点平 面 ） 对平 面 薄 片 （ 位 于 轴 对 于轴对 于平 面 薄 片 的 转 动 惯 量 ： 平 面 薄 片 的 重 心 ：的 面 积曲 面常数项级数： 是 发 散 的调 和 级 数 ：等 差 数 列 ：等 比 数 列 ： nqqnn13212)(12 级数审敛法： 散 。存 在 ， 则 收 敛 ； 否 则 发、 定 义 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ：、 比 值 审 敛 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ： 别 法 ） ：根 植 审 敛 法 （ 柯 西 判、 正 项 级 数 的 审 敛 法 nnnnsusUulim;31li21lim211 。的 绝 对 值其 余 项， 那 么 级 数 收 敛 且 其 和如 果 交 错 级 数 满 足 莱 布 尼 兹 定 理 ：的 审 敛 法或交 错 级 数 111324321 ,0lim)0,( nnn n urrusuuu绝对收敛与条件收敛： 时 收 敛 时 发 散 级 数 ： 收 敛 ； 级 数 ： 收 敛 ；发 散 ， 而调 和 级 数 ： 为 条 件 收 敛 级 数 。收 敛 ， 则 称发 散 ， 而如 果 收 敛 级 数 ；肯 定 收 敛 ， 且 称 为 绝 对收 敛 ， 则如 果 为 任 意 实 数 ；， 其 中1)1(1)()2()1(232pnpnun 幂级数： 01)3(lim)3(111 1121032 RaaRxRaxaxxx nnnn 时 ，时 ，时 ，的 系 数 ， 则是， 其 中求 收 敛 半 径 的 方 法 ： 设 称 为 收 敛 半 径 。， 其 中时 不 定时 发 散时 收 敛， 使在数 轴 上 都 收 敛 ， 则 必 存 收 敛 ， 也 不 是 在 全， 如 果 它 不 是 仅 在 原 点 对 于 级 数 时 ， 发 散时 ， 收 敛 于 函数展开成幂级数： nnn nnxfxffxfx RffR xfxfxxf !)0(!2)0()(0)(0 lim,()!1 )(!)(!2)()10( 00)(2000时 即 为 麦 克 劳 林 公 式 ： 充 要 条 件 是 ：可 以 展 开 成 泰 勒 级 数 的余 项 ：函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 ：一些函数展开成幂级数： )()!12()!53sin )1(1)(1)( 2 xnxxx nmmm 欧拉公式： 2sincosincoixiixiix exe 或三角级数： 。上 的 积 分 在任 意 两 个 不 同 项 的 乘 积正 交 性 ： 。，其 中 ， 0 ,cos,in2cos,incs,i1 )in()i()( 100 xxxtAbaAxbattf nnn傅立叶级数： 是 偶 函 数 ，余 弦 级 数 ： 是 奇 函 数 ，正 弦 级 数 ： （ 相 减 ）（ 相 加 ） 其 中 ， 周 期 nxaxfnxdfab bnxdfbaxbxfnn nnnn cos2)(2,10cos)(20 i3,i41316246142853)3,(si)(12,10co)si(2)( 00 22221 周期为 的周期函数的傅立叶级数：l2一、向量代数1、向量的有关概念：向量间的夹角、向量的方向角、方向余弦、向量在数轴上的投影向量的坐标 ,xyzxyzaaijk在相应坐标轴上的投影模长： 22zyx方向余弦： ， ，22cos|xxyzaa22cos|yyxzaa22s|xyz单位向量 0co,ca2、向量的运算：线性运算：加法 、 减法 、数乘 babaa乘积运算：数量积、向量积-向量的数量积 abcosxyzab几何意义； 在 上的投影0b性质：（1）2a22zyxaa（2） 0b0zyxbb微分方程的相关概念：即 得 齐 次 方 程 通 解 。 ，代 替分 离 变 量 ， 积 分 后 将， 则设 的 函 数 ， 解 法 ：， 即 写 成程 可 以 写 成齐 次 方 程 ： 一 阶 微 分 方 称 为 隐 式 通 解 。 得 ： 的 形 式 ， 解 法 ：为： 一 阶 微 分 方 程 可 以 化可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 或 一 阶 微 分 方 程 ： uxyudxudxuxdyxu xyyfyCxFGdxfg dxfgyQdyPyf )()(,)()()( )()(0,),( 一阶线性微分方程：)1,0()(2 )0)(, )(1 )()(nyxQPdxy eCdxeQCxxyPdx dxPPd，、 贝 努 力 方 程 ：时 ， 为 非 齐 次 方 程 ，当 为 齐 次 方 程 ，时当、 一 阶 线 性 微 分 方 程 ：全微分方程： 通 解 。应 该 是 该 全 微 分 方 程 的 ， 其 中 ： 分 方 程 ， 即 ：中 左 端 是 某 函 数 的 全 微如 果 Cyxu yxQuyxPdyxdP),( ),(),(0),(,)(二阶微分方程： 时 为 非 齐 次时 为 齐 次， 0)()()(2 xfyxQdPx二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 212,)(2 ,(*)0)(1,0(*)r yrqpqyp式 的 两 个 根、 求 出 的 系 数 ；式 中的 系 数 及 常 数 项 恰 好 是， 其 中、 写 出 特 征 方 程 ：求 解 步 骤 ： 为 常 数 ；， 其 中 式 的 通 解 ：出的 不 同 情 况 ， 按 下 表 写、 根 据 (*),321r的 形 式，1r(*)式的通解两个不相等实根 )04(2qp xrxrecy21两个相等实根 r1)(21一对共轭复根 )(2241pqpirir， ， )sinco2xeyx二阶常系数非齐次线性微分方程 型为 常 数 ；型 ， 为 常 数， sin)(cos)()(,xPxexffylm二、空间解析几何（一） 空间直角坐标系（三个坐标轴的选取符合右手系）空间两点距离公式 212121 )()()( zyxPQ（二）空间平面、直线方程1、 空间平面方程a、 点法式 0)()()(00 zCyBxAb、 一般式 Dzc、 截距式 1cbyad、 点到平面的距离 2200CBAzyxd2、 空间直线方程a、 一般式 02211Dzyxb、 点向式（对称式） （分母为 0，相应的分子也理解为 0）nzmyl0c、 参数式 ktzytx03、空间线、面间的关系a、 两平面间的夹角：两平面的法向量 ， 的夹角 （通常取锐角）1n2两平面位置关系： / /12212CBA121n011平面 与 斜交 ， b、两直线间的夹角：两直线的方向向量的夹角 （取锐角）两直线位置关系： / /1L21a2211nml