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|高等数学（本科少学时类型）第一章 函数与极限第一节 函数函数基础（高中函数部分相关知识） （）邻域（去心邻域） （）,|Uaxa|0第二节 数列的极限数列极限的证明（）【题型示例】已知数列 ，证明nxlimnxa【证明示例】 语言N1由 化简得 ，nxag g2即对 ， ，当 时，始终0Nn有不等式 成立，nx axlim第三节 函数的极限 时函数极限的证明（）0【题型示例】已知函数 ，证明xfAxf0lim【证明示例】 语言1由 化简得 ，fxAg g2即对 ， ，当 时，0g0x始终有不等式 成立，fx Ax0lim 时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 ，证明xfAxflim【证明示例】 语言X1由 化简得 ，fxg g2即对 ， ，当 时，始终有0Xx不等式 成立，fxA xlim第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）函数 无穷小f0lixf函数 无穷大x无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设 为有界函数， 为无穷小，xfxg则 lim0g（定理四）在自变量的某个变化过程中，若 f为无穷大，则 为无穷小；反之，若1fx为无穷小，且 ，则 为无穷xf xf1大【题型示例】计算： （或 ）0lixfg1 函数 在 的任一去心fM0x邻域 内是有界的；,0U（ ，函数 在 上有界；fxfD）2 即函数 是 时的无穷小；lim0gxxg0（ 即函数 是 时的无穷小；）3由定理可知 0lixfx（ ）lixfg第五节 极限运算法则极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式 、 商式的极限运算pxq设： nnmmbbaa10则有 0lixqpn00limxfgf000,xf（特别地，当 （不定型）时，通常0lixfg分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）|【题型示例】求值 23lim9x【求解示例】解：因为 ，从而可得 ，所以3x原式 23331lilili96xxx其中 为函数 的可去间断点29f倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解： 0233321limlilim96xLxx连续函数穿越定理（复合函数的极限求解） （）（定理五）若函数 是定义域上的连续函数，那f么， 0 0lilixx【题型示例】求值： 93lim2x【求解示例】 3316lixx第六节 极限存在准则及两个重要极限夹迫准则（P53） （）第一个重要极限： 1sinlm0x ， 2,xtai1sinl0x000lililsinsxxx（特别地， ）00()lim1x单调有界收敛准则（P57） （）第二个重要极限： exx1li（一般地， ，其中limliggxff）0limf【题型示例】求值：123lixx【求解示例】 21112221 121 1lim1213lililililixxxx xxx xxx解 ： 2lim1121lim1 xxx eee 第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（）1 sintarcsinartln(1)UUe 2 o（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值： xx31lnlim20【求解示例】 31li31li3ln1li l, 000 2 xxx xx所 以 原 式即解 ： 因 为第八节 函数的连续性函数连续的定义（） 000limlixxfff间断点的分类（P67） （） ）无 穷 间 断 点 （ 极 限 为第 二 类 间 断 点 可 去 间 断 点 （ 相 等 ）跳 越 间 断 点 （ 不 等 ）限 存 在 ）第 一 类 间 断 点 （ 左 右 极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数 ， 应该怎样xaef20选择数 ，使得 成为在 上的连续函数？axR【求解示例】1 201feaf2由连续函数定义 efxfxx 0limli00| ea第九节 闭区间上连续函数的性质零点定理（）【题型示例】证明：方程 至少有一个fxgC根介于 与 之间ab【证明示例】1 （建立辅助函数）函数 在fx闭区间 上连续；,2 （端点异号）0ab3由零点定理，在开区间 内至少有一点 ，ba,使得 ，即 （0fgC）104这等式说明方程 在开区间fx内至少有一个根ba,第二章 导数与微分第一节 导数概念高等数学中导数的定义及几何意义（P83） （）【题型示例】已知函数 ， 在baxef10x处可导，求 ，0xab【求解示例】1 ，01fe012fef2由函数可导定义 002afffb 1,2ab【题型示例】求 在 处的切线与法线方程xfy（或：过 图像上点 处的切线与法线,af方程）【求解示例】1 ，xfyfyax|2切线方程： xa法线方程： 1ff第二节 函数的和（差） 、积与商的求导法则函数和（差） 、积与商的求导法则（）1线性组合（定理一）： ()uvv特别地，当 时，有12函数积的求导法则（定理二）：()uv3函数商的求导法则（定理三）： 2第三节 反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则（）【题型示例】求函数 的导数xf1【求解示例】由题可得 为直接函数，其在定于域上单调、可导，且 ；D0xf1fxf复合函数的求导法则（）【题型示例】设 ，求2arcsin12lxyeay【求解示例】 2222 222arcsin12arcsin1 2arcsin12arcsin12arcsin122arcsin12arcsiarcsin12xxxxxxxe aexaee 解 ： 2n122x x 第四节 高阶导数 （或 ） （）1nnfxfx1ndyx【题型示例】求函数 的 阶导数yl【求解示例】 ，11x，2yx2 31x1()(nnnyx！第五节 隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导（等式两边对 求导） （）【题型示例】试求：方程 所给定的曲线 ：yeC|在点 的切线方程与法线方程xy1,e【求解示例】由 两边对 求导yx即 化简得y ye e1切线方程： exy1法线方程： 参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程 ，求ty2dxy【求解示例】1. 2.tdx2t第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则（） dxfy第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理引理（费马引理） （）罗尔定理（）【题型示例】现假设函数 在 上连续，在fx0,上可导，试证明： ，0,使得 成立 cossinff【证明示例】1 （建立辅助函数）令 sixfx显然函数 在闭区间 上连续，在开区间0,上可导；0,2又 sinf即 03由罗尔定理知，使得 成0,cossin0ff立拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当 时，1xxe【证明示例】1 （建立辅助函数）令函数 ，则对 ，f1显然函数 在闭区间 上连续，在开区间fx1,x上可导，并且 ；1,fe2由拉格朗日中值定理可得， 使得等式,成立，xee又 ， ，111xex化简得 ，即证得：当 时，x 【题型示例】证明不等式：当 时，0ln【证明示例】1 （建立辅助函数）令函数 ，则对1fx，函数 在闭区间 上连续，在开0xf,区间 上可导，并且 ；,f2由拉格朗日中值定理可得， 使得等式0,x成立，1ln1l0x化简得 ，又 ，x,x ， ，1fln1即证得：当 时，xxe第二节 罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1 等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A属于两大基本不定型（ ）且满足条件，0,则进行运算： limlixaxaffg（再进行 1、2 步骤，反复直到结果得出）B 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） 型（转乘为除，构造分式）0【题型示例】求值： 0lilnx【求解示例】 1000020lllimniiim1lixxLxxxa 解 ：|（一般地， ，其中 ）0limln0x,R 型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值： 01lisnxx【求解示例】 20001isinlimlilmsnxxx解 ： 00002 1cocsililililLxxLxx 型（对数求极限法）【题型示例】求值： 0lix【求解示例】 0000limnl0002 ln,ln1llliii1limlili 1xx xxxLxyyxxxyyee解 ： 设 两 边 取 对 数 得 ：对 对 数 取 时 的 极 限 ： ， 从 而 有 型（对数求极限法）【题型示例】求值： 10licosixx【求解示例】 01000limnl10 lncosicosin, ,lilnliscos1i ,inl=xxxLx xy xyyyee 解 ： 令 两 边 取 对 数 得对 求 时 的 极 限 ， 从 而 可 得 型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan0lixx【求解示例】tan00200022011,lntal,llimi1lnlniili1sec1tatantasisilmllixxxxLxxxLxyyx 解 ： 令 两 边 取 对 数 得对 求 时 的 极 限 ， 0mnl0 o,=i1xyyee从 而 可 得运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（） 0001 (1)(2)(3)通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求）第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性连续函数单调性（单调区间） （）【题型示例】试确定函数 的32913fxx单调区间【求解示例】1函数 在其定义域 上连续，且可导fxR 26182令 ，解得：0f 1,x3 （三行表） ,1,22,f00xA极大值 A极小值 A4函数 的单调递增区间为 ；f ,1单调递减区间为 1,2【题型示例】证明：当 时，0xxe【证明示例】1 （构建辅助函数）设 ， （ ）102 ， （ ）1xe| 0x3既证：当 时， 1xe【题型示例】证明：当 时， lnx【证明示例】1 （构建辅助函数）设 ，（ ）0x2 ， （ ）10xx3既证：当 时， ln连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数 的单调性、极231yx值、凹凸性及拐点【证明示例】1 2361yxx2令 解得：0yx120,x3 （四行表）x(,0)(,1)(,)(,)0y(,3)54函数 单调递增区间为 ,21yx(1)单调递增区间为 , ；(,)02函数 的极小值在 时取到，3x为 ，0f极大值在 时取到，为 ；2x5f函数 在区间 , 上凹，31y(0)1在区间 , 上凸；()函数 的拐点坐标为2,3第五节 函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系（）设函数 的定义域为 ，如果 的某个邻fxDMx域 ，使得对 ，都适合不MUU等式 ，ff我们则称函数 在点 处有极大x,Mfx值 ；Mfx令 123,.Mnxx则函数 在闭区间 上的最大值 满足：fab；123ma,.,Mnfb设函数 的定义域为 ，如果 的某个邻fxDmx域 ，使得对 ，都适合不UU等式 ，mff我们则称函数 在点 处有极小值x,mfx；mfx令 123,.mn则函数 在闭区间 上的最小值 满足：fab；123in,.,mmnxxfb【题型示例】求函数 在 上的最值f1【求解示例】1函数 在其定义域 上连续，且可导f, 23x2令 ，10fx解得： 12,3 （三行表） x,1,3f00极小值 A极大值 A4又 12,8fff maxmin31x第六节 函数图形的描绘（不作要求）第七节 曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求）第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间 上，可导函数 的导函IFx数为 ，即当自变量 时，有Fxx或 成立，则称fdfd为 的一个原函数原函数存在定理：（）|如果函数 在定义区间 上连续，则在fxI上必存在可导函数 使得 ，也IFxf就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间 上，函数 的带有任意常数If项 的原函数称为 在定义区间 上的不定积CfxI分，即表示为： dFC（ 称为积分号， 称为被积函数，f称为积分表达式， 则称为积分变量）fxdx基本积分表（）不定积分的线性性质（分项积分公式） （）1212kfgdkfkgxd第二节 换元积分法第一类换元法（凑微分） （）（ 的逆向应用）xfdydfxd【题型示例】求 21a【求解示例】 22211arctn1xdxxdC解 ：【题型示例】求 【求解示例】 111222dxdxdxC解 ：第二类换元法（去根式） （）（ 的正向应用）fy对于一次根式（ ）：0,abR：令 ，于是 ，axbtx2tbxa则原式可化为对于根号下平方和的形式（ ）：令 （ ） ，2xtan2t于是 ，则原式可化为 ；arctsec对于根号下平方差的形式（ ）：0a ：令 （ ） ，2xsint2t于是 ，则原式可化为 ；arcsinxtcosatb ：令 （ ） ，2set02于是 ，则原式可化为 ；arcotxtan【题型示例】求 （一次根式）12d【求解示例】 21 21txdtttCxx 解 ：【题型示例】求 （三角换元）a【求解示例】 2sin()222arcos1cos1iixtxdt atdtdattCtC 解 ：第三节 分部积分法分部积分法（）设函数 ， 具有连续导数，则ufxvg其分部积分公式可表示为： udvu分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：（ ）vdx使用分部积分公式： uvdu展开尾项 ，判断a若 是容易求解的不定积分，则直接计vx算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果） ；b若 依旧是相当复杂，无法通过 a 中方ud法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求 2xed【求解示例】|222222xxxxxxxxedededC解 ：【题型示例】求 sined【求解示例】 sicoscocoininsisxxxxxxxeededee 解 ： icoisixxxxdde即 ： 1nsn2C第四节 有理函数的不定积分有理函数（）设： 10mmnnPxpaxaQqbb对于有理函数 ，当 的次数小于 的PQx次数时，有理函数 是真分式；当 的次x数大于 的次数时，有理函数 是假分式Qx有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）将有理函数 的分母 分拆成两个没有PxQx公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式 ；而另一个多项式可以表ka示为二次质因式 ， （ ） ；2lxpq240即： 12Q一般地： ，则参数nmxnam22bcabcax则参数 ,pq则设有理函数 的分拆和式为：PxQ12klPxPxQapq其中112.kk AAxxa212222.lllPMNpqpqpqx参数 由待定系1212,.,.lkAN数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求 （构造法）21xd【求解示例】 2 2111lnxdxdxdC 第五节 积分表的使用（不作要求）第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质定积分的定义（） 01limnbiafxdfxI（ 称为被积函数， 称为被积表达式，d则称为积分变量， 称为积分下限， 称为积分ab上限， 称为积分区间）,b定积分的性质（） aafxdfu 0 bbaakffxd（线性性质） 1212b bba aafxgkfkgxd（积分区间的可加性） bcbaacfdfxfxd|若函数 在积分区间 上满足 ，fx,ab0fx则 ；0bad（推论一）若函数 、函数 在积分区间 上满fxgx,足 ，则 ；bbaafdgx（推论二） baf积分中值定理（不作要求）第二节 微积分基本公式牛顿-莱布尼兹公式（）（定理三）若果函数 是连续函数 在区间Fxfx上的一个原函数，则,abbafdba变限积分的导数公式（） （上上导下下导）xdftfxfx【题型示例】求21cos0limtxed【求解示例】 22110coscos0lili解 tt xxLxed2 222221cs cos0 0cos0coscos0cos1inilimlminliiinsliminixx xxLxxxxx edexe 第三节 定积分的换元法及分部积分法定积分的换元法（）（第一换元法） b ba afxdfxd【题型示例】求 201【求解示例】 22 200 0111lnln5l解dxdxx（第二换元法）设函数 ，函数 满足：,fxCabxta ，使得 ；,bb在区间 或 上， 连,ftt续则： afxdftdt【题型示例】求 4021x【求解示例】 2210,4 304,3323211 159解 ttxttxddxtt t （分部积分法） b ba auxvduxvxud 偶倍奇零（）设 ，则有以下结论成立：,fxC若 ，则f02aafxdfxd若 ，则fxa第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节 定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节 反常积分（不作要求）如：不定积分公式 的证明。很21arctndxC多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这|样一种证明方法以说明问题： tan2rc2 2211tantossecartnxtxddttC 如此，不定积分公式 也就21artnxdxC很容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难免，希望同学们积极指出，以便互相学习改进。本文档由 www.dsmf.net 编辑