河南省豫南九校2017-2018年度学年高二上学期第一次联考(10月)数学(文)试题~Word版含解析.doc

|豫南九校 20172018 学年上学期第一次联考高二数学（文科）试题一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知角 的终边过点 P（3a，4a） ，且 a0 的 n的最大值为（ ）A. 11 B. 12 C. 21 D. 22【答案】C【解析】由题意得 ，由前 n 项和 Sn有最大值可知等差数列a n为递减，d0， >0,0，且 sin>sin；若函数 y=2cos 的最小正周期是 4 ，则 a= ；函数 y= 的周期是 ；函数 y=sinx+sin 的值域是 。其中叙述正确的语句个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A|【解析】错， 不符。错 。周期是 当 时，y= ,错。所以选 A.【点睛】，的周期是 ， 因为 可正可负。 只有当b=0 时，周期才是 ，其余情况周期都是 。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 不等式 0 的解集为 _.【答案】【解析】由题意得 ，所以解集为 ，填 。14. 已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sinA= ，cosC= ，a=1，则b=_.【答案】【解析】因为 cosC= ，所以 ，因为 ，所以因为 ， 所以 ，所以【点睛】 （1）正弦定理的简单应用常出现在选择题或填空题中，一般是根据正弦定理求边或列等式余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解15. 已知 f（x）=sin （ >0） ，f =f ,且 f（x）在区间 有最小值，无最|大值，则 =_.【答案】【解析】由题意得 ，第一种情况是 ，此种情况不满足，因为相差周期，会既有最大值也有最小值，不符。第二种情况是 ，又在区间 有最小值，无最大值，所以 ，且对称轴两个数代入一定是关于最小值时的对称轴对称，即 ，解得，又 ，所以 ，填 。【点睛】本题是考虑三角函数图像与性质综合，由于在区间 有最小值，无最大值，且f =f ，所以两个数之差一定小于周期，且两个 x 值一定关于最小值时的对称轴对称。16. 已知 an=log2（1+ ） ，我们把满足 a1+a2+an（n N*）的和为整数的数 n 叫做“优数” ，则在区间（0,2017）内的所有“优数”的和为_.【答案】2036【解析】由题意得 an=log2（1+ ） ，所以 a1+a2+an， 要为整数，只需所以和为 ，填 2036【点睛】log2（1+ ） 可以裂项是解本题的一个关键，所以 求和是一个裂项求和。三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 设 f（x）=2x 2+bx+c，已知不等式 f（x）<0 的解集是（1,5）.（1）求 f（x）的解析式；（2）若对于任意 x ，不等式 f（x）2+t 有解，求实数 t 的取值范围。|【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由不等式解集与方程关系可知，1 和 5 是方程 2x2+bx+c=0 的两个根,由根与系数关系可求得 b,c.(2)由（1）得 ，所以分离参数得 2x2-12x+8 t 在1，3有解，即 t ，x 。试题解析：（1） f（ x）=2 x2+bx+c，且不等式 f（ x）0 的解集是（1，5） ， 2 x2+bx+c0 的解集是（1，5） ，1 和 5 是方程 2x2+bx+c=0 的两个根，由根与系数的关系知， 解得 b=-12， c=10， （2）不等式 f（ x）2+t 在1，3有解，等价于 2x2-12x+8 t 在1，3有解，只要 t 即可， 不妨设 g（ x）=2 x2-12x+8， x1，3， 则 g（ x）在1，3上单调递减 g（ x） g（3）=-10，t-10，t 的取值范围为-10，+ ）【点睛】不等式存在性问题与恒成立问题一般都是转化函数最值问题，特别是能参变分离时，且运算不复杂，优先考虑参变分离，进而求不带参数的函数在区间上的最值问题。18. 已知向量 =（cos ，sin ） ， =（cos ，-sin ） ，且 x 。（1）求 及 ；（2）当 （0,1）时，若 f（x）= - 的最小值为 - ，求实数 的值。【答案】 （1） ；（2）试题解析:（1） ，| ， . ， ，因此 .（2）由（1）知 ， ， ，当 时， 有最小值 ，解得 .综上可得：【点睛】求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如 y=asinx bcosx k 的三角函数化为 y=Asin(x ) k 的形式，再求最值(值域)；（2）形如 y=asin2x bsinx k 的三角函数，可先设 sinx=t，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；（3）形如 y=asinxcosx b(sinx±cosx) c 的三角函数，可先设 t=sinx±cosx，化为关于t 的二次函数求值域(最值)本题属于题型（2） 。19. 设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=n2+2n（n N*） 。（1）求数列a n的通项公式；（2）设 ，求数列b n的前 n 项和为 Tn。【答案】 （1） ；（ 2）【解析】试题分析;(1)由前 n 项和与项 的关系，可求得 。 （2）由（1） ，= =所以由错位相减法可求得 ,试题解析;（1）解:因为 |当 时，当 n2 时, = =又因为 也符合上式，所以 ，n （2）因为 = =所以 得 ，所以 【点睛】当数列通项形式为 ，且数列 是等差数列，数列 是等比数列，则数列 的前n 项和，我们常采用错位相减法。20. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c， ，且ABC 的面积为 。（1）若 b= ，求 a+c 的值；（2）求 2sinA-sinC 的取值范围。【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由向量的数量积公式和面积公式可求得 ，再由 B 角的余弦定理，可求。 （2）己知角 , 所以统一成角 C,化成关于角 C 的三角函数，注意角 C 的范围。试题解析：（1）由 得， 由 得， |由得， ， 又 b= 则 3= -3ac， a+c=（2）由（1）知因为 ，所以 ，所以 的取值范围是【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.21. 已知数列a n的前项和为 Sn，a 1= ，S n=n2an-n（n-1） ，n N*。（1）证明：数列 是等差数列；（2）设 bn= ，证明：数列b n的前 n 项和 Tn<1.【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）统一成 ，得（ n2-1）S n=n2Sn-1+n（ n-1） ，两边同时除以 ，可证。 （2）由（1）得， bn= = ，裂项求和，可证。试题解析：（1）证明：数列 an的前 n 项和为 Sn， n2 时，有 an=Sn-Sn-1， S n=n2（S n-Sn-1）- n（ n-1） ， （ n2-1）S n=n2Sn-1+n（ n-1） ， 又