2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(浙江.理)含详解.doc

|2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）浙江卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知 是实数， 是纯虚数，则 =ai1a（A）1 （B）-1 （C） （D）-22（2）已知 U=R，A= ,B= ,则0|x1|xACBAuu（A） （B）|0x（C） （D）|1x 1或（3）已知 ，b 都是实数，那么“ ”是“ >b”的a2baa（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（4）在 的展开式中，含 的项的系数是)5(4)3(2)( xxx 4x（A）-15 （B） 85 （C）-120 （D ）274（5）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象和直线)20)(32cos(，y的交点个数是21y（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（6）已知 是等比数列， ，则 =na4152a， 1321naa（A）16（ ） （B）16（ ） n4 （C） （ ） （D ） （ ）321 n（7）若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率2byax是（A）3 （B）5 （C） （D）35（8）若 则 =,sincoatn（A） （B）2 （C） （D）1212（9）已知 ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ,a c0)(cba则 的最大值是c（A）1 （B）2 （C） （D） 2（10）如图，AB 是平面 的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面 内运动，使得ABP 的aa|面积为定值，则动点 P 的轨迹是| ABPABCDEFABCD（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线二填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。（11）已知 >0，若平面内三点 A（1，- ） ，B（2， ） ，aa2C（3， ）共线，则 = 。（12）已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 A、B 两点21F、 952yx1F若 ，则 = 8 。BA（13）在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 、b、 c ，若a，则 。acbos3Acs3/（14）如图，已知球 O 点面上四点 A、B、C 、D，DA 平面ABC，AB BC，DA=AB=BC= ，则球 O 点体积等于 9/2 。关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形 DAC,三角形DBC 都是直角三角形，且有公共斜边。所以 DC 边的中点就是球心（到 D、A、C、B 四点距离相等） ，所以球的半径就是线 段DC 长度的一半。（15）已知 t 为常数，函数 在区间0，3上的最大值为 2，则 t= 1 。txy2（16）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字） ，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是 40 （用数字作答)。（17）若 ，且当 时，恒有 ，则以 ,b 为坐标点0,ba1,0yx1byaxaP（ ，b）所形成的平面区域的面积等于 思路一：可考虑特殊情形，比如 x0，可得 a1；y0 可得 b1。所以猜测 a 介于 0 和 1 之间，b 介于 0 和 1 之间。点P（a，b）确定的平面区域就是一个正方形，面积为 1 。三解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（18） （本题 14 分）如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE/CF， BCF= CEF= ,AD= ,EF=2。93（）求证：AE/平面 DCF；（）当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 ？60 |（19） （本题 14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 ；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的52概率是 。97（）若袋中共有 10 个球，（i）求白球的个数； （ii）从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ,求随机变量 的数学期望。E（）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 。并指出107袋中哪种颜色的球个数最少。（20） （本题 15 分）已知曲线 C 是到点 P（ ）和到直线 距离相等的点的83,2185y轨迹。 是过点 Q（-1，0）的直线，M 是 C 上（不在 上）的动点；A 、B 在 上，l ll轴（如图） 。,ABx（）求曲线 C 的方程；（）求出直线 的方程，使得 为常数。lAB2 OQAMxl|（21） （本题 15 分）已知 是实数，函数 。a()fxa（）求函数 的单调区间；()fx（）设 为 在区间 上的最小值。g2,0（i）写出 的表达式；)(a（ii）求 的取值范围，使得 。2)(6ag（22） （本题 14 分）已知数列 ， ， ， 记na01a221()nnaN|nnaaS21)1()(1)1( 221 nn aaT 求证：当 时，N（） ；1na（） ；2S（） 。3nT2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分1A 2D 3D 4A 5C 6C 7D 8B 9C 10B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 28 分11 12 13 14 151 1640 1718392一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知 是实数， 是纯虚数，则 =( A )a1ia|（A）1 （B）-1 （C） （D）-22解析：本小题主要考查复数的概念。由 是纯虚数，()111aiiai则 且 故 =1.102a,（2）已知 U=R，A= ,B= ,则 ( D )|x|xuuACBA（A） （B）|0x（C） （D）|1x|1或解析：本小题主要考查集合运算。 uAC|0xuCA|xuuAB|1或（3）已知 ，b 都是实数，那么“ ”是“ >b”的( D )a2baa（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件解析：本小题主要考查充要条件相关知识。依题“ >b”既不能推出 “a>b”；反之，由“a>b”也不能推出“ 2ba”。故“ 2ba”是“ a>b”的既不充分也不必要条件。（4）在 的展开式中，含 的项的系数是( A )5(4)3()1( xxx 4x（A）-15 （B） 85 （C）-120 （D ）274解析：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题。本题可通过选括号（即 5 个括号中 4 个提供 ，其余 1 个提供常数）的思路来完成。故含 4xx的项的系数为 (1)2(3)4(5)1.（5）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象)2032cos，xy和直线 的交点个数是( C )2y（A）0 （B）1 （C）2 （D）4解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为：)0)(3cos(，xy= 作出原函数图像，sin,0.x截取 部分，其与直线 21y的交点个数是 2 个.0,2x|（6）已知 是等比数列， ，则 =( C )na4125a， 231naa（A）16（ ） （B）16（ ） n41 （C） （ ） （D） （ ）32 n解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由 ，解得35214aq1.2q数列 仍是等比数列:其首项是 公比为 所以,1na 128,.12318()3(4)4nnna（7）若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,2byax则双曲线的离心率是( D )（A）3 （B）5 （C） （D）35解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线 ，2axc则左焦点 到右准线的距离为 ，左焦点 到右准线的距离1F22acc1F为 ，依题 即 ，2ac2c223,ac25a双曲线的离心率 5.e（8）若 则 =( B )cos2in,tan（A） （B）2 （C） （D）1212解析：本小题主要考查三角函数的求值问题。由 可知，cosin5两边同时除以 得 平方得cos0,cos1tae,222(1tan)5e(n),解得 或用观察法.40ta（9）已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ,b c()0abc|则 的最大值是( C )c（A）1 （B）2 （C） （D）22解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。 |1,0,ab展开 2()0|()|cos,acbcab则 的最大值是 ;|oss,2或者利用数形结合, ， 对应的点 A,B 在圆 上,a 1xy对应的点 C 在圆 上即可. c2xy（10）如图，AB 是平面 的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面 内运动，a使得ABP 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是( B )（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线解析：本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而 P 到直 线AB 的距离为定值，若忽略平面的限制，则 P 轨迹类似为一以 AB 为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除 C 与 D,又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！二填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。（11）已知 >0，若平面内三点 A（1，- ） ，B（2， ） ，C（3， ）共线，则 =_aa23aa_12解析：本小题主要考查三点共线问题。 2(,),32(1,),(舍负).23210aaa（12）已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 A、B 两点21F、 952yx1F若 ，则 =_8_。2BAA解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线 过椭圆的左焦点 ,在AB1F| ABCD中， ，又 ，2FAB22|420FABa22|1FAB|8.（13）在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 、b、 c ，若，则 _。acbos3Acs3解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得：,即 ,(sin)sinsBCC3incosin()siBCB 3co.A（14）如图，已知球 O 点面上四点 A、B、C 、D，DA 平面 ABC，AB BC，DA=AB=BC= ，3则球 O 点体积等于_ 。 92解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形 DAC,三角形 DBC 都是直角三角形，且有公共斜边。所以 DC 边的中点就是球心（到D、A、C、B 四点距离相等） ，所以球的半径就是线段 DC 长度的一半。（15）已知 t 为常数，函数 在区间0，3上的最大值为 2，则 t=_1_2yxt解析：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为 下方图像翻到 轴上方.由区间0，3 上1,xx的最大值为 2，知 解得 检验 时, max(3)2yft5,t或 t不符,而 时满足题意.(0)5f1t（16）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字） ，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是_40 _（用数字作答)。解析：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除 1 和 2 的剩余 4 个元素有 28A种方案，再向这排好的 4 个元素中插入 1 和 2 捆绑的整体，有 种插法，15不同的安排方案共有 种。2540A（17）若 ，且当 时，恒有 ，则以 ,b0,ba1,yx1byaxa为坐标点 P（ ，b）所形成的平面区域的面积等于_1_。